第 087 题 / 100

设 $m$ 为正整数，数列 ${a}_{1}$ ， ${a}_{2}$ ， $\ldots$ ， ${a}_{{4m} + 2}$ 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ${a}_{i}$ 和 ${a}_{j}\left( {i < j}\right)$ 后剩余的 ${4m}$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{{4m} + 2}$ 是 $\left( {i,j}\right) -$ 可分数列.
(1)写出所有的 $\left( {i,j}\right) ,1 \leq i < j \leq 6$ ,使数列 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{6}$ 是 $\left( {i,j}\right)$ -可分数列;
（ 2 ）当 $m \geq 3$ 时，证明：数列 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{{4m} + 2}$ 是（ 2,13 ）- 可分数列；
(3)从 $1,2,\ldots ,{4m} + 2$ 中任取两个数 $i$ 和 $j\left( {i < j}\right)$ ,记数列 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{{4m} + 2}$ 是 $\left( {i,j}\right)$ -可分数列的概率为 ${P}_{m}$ ,证明: ${P}_{m} > \frac{1}{8}$ .