第 043 题 / 90

校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯, 如图, 奖杯的设计思路是将侧棱长为 6 的正三棱锥 $P - {ABC}$ 的三个侧面沿 ${AB},{BC},{AC}$ 展开得到面 ${P}_{1}{AB},{P}_{2}{BC},{P}_{3}{AC}$ ,使得平面 ${P}_{1}{AB},{P}_{2}{BC},{P}_{3}{AC}$ 均与平面 ${ABC}$ 垂直,再将球 $O$ 放到上面使得 ${P}_{1},{P}_{2},{P}_{3}$ 三个点在球 $O$ 的表面上,若奖杯的总高度为 $6\sqrt{2}$ , 且 ${AB} = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（ ）

A. $\frac{140\pi }{3}$
B. $\frac{100\pi }{9}$
C. $\frac{98\pi }{9}$
D. $\frac{32\pi }{3}$