概率与数理统计解答题 · 第 001 题

红旗淀粉厂 2024 年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 $x$ (万元) 与年收益 $y$ (万元) 的 8 组数据:

$x$	10	20	30	40	50	60	70	80
$y$	12.8	16.5	19	20.9	21.5	21.9	23	25.4

(1) 用 $y = b\ln x + a$ 模拟生产食品淀粉年收益 $y$ 与年投入资金 $x$ 的关系,求出回归方程;
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%. 2024 年该企业计划投入 200 万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值. （精确到 0.1 万元）
附：①回归直线 $\widehat{u} = \widehat{b}v + \widehat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\widehat{b} = \frac{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{v}_{i}{u}_{i} - n\bar{v} \cdot \bar{u}}{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{v}_{i}^{2} - n{\bar{v}}^{2}},\widehat{a} = \bar{u} - \widehat{b} \cdot \bar{v}$
②

$\sum_{i=1}^{8}y_i$	$\sum_{i=1}^{8}\ln x_i$	$\sum_{i=1}^{8}x_i^2$	$\sum_{i=1}^{8}(\ln x_i)^2$	$\sum_{i=1}^{8}y_i\ln x_i$
161	29	20400	109	603

③ $\ln 2 \approx 0.7,\ln 5 \approx 1.6$

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