本讲义是“函数、导数与数列”专题知识课的配套文字版，内容与课堂上使用的交互课件一一对应，共 7 章、53 个专题，覆盖函数基础、方程与零点、代数不等式、导数与函数图像、函数不等式与放缩、导数解答题方法和数列。
每个专题自成一节，大体按课堂的节奏展开：
浅紫色框：解题思路、关键观察、规律总结。
浅黄色框：需要特别留意的条件和细节。
浅红色框：常见错误与辨析。
白底紫框：需要记住的公式与二级结论。
标有提高压轴的内容难度较高，可按自己的目标选读。书中插图取自课堂交互课件中的动态图形，是某一时刻的静态画面，图注说明了图中各部分的含义。
函数是从非空数集 $A$ 到数集 $B$ 的对应关系 $f$：$A$ 中每一个 $x$，在 $B$ 中都有唯一的 $f(x)$ 与之对应。定义域、对应关系、值域是函数的三要素，前两个定了，函数就定了。
$x\mapsto x^2$ 多对一 $x\mapsto\pm\sqrt x$ $x\mapsto x-1$
$x\mapsto x^2$：$A$ 中每个数都恰好发出一根箭头，是函数。$-1$ 与 $1$ 都指向 $1$（多对一）；$B$ 中的 $2$ 没被指到，值域是 $\{0,1,4\}$。
两个关键词：“任意”与“唯一”
看 $x\mapsto x-1$：$1\mapsto0\notin B$
多对一可以，一对多不行
值域 $\subseteq B$，不一定等于 $B$
函数的本质是“输入一个数，输出唯一一个数”的规则。规则可以用式子写（解析法），也可以列表（列表法）或画图（图像法）。
圆被竖线截出两个点：不是函数图像
值域是“算出来的”
与用什么字母无关：$f(x)=x^2$ 与 $g(t)=t^2$ 相同
| 两个函数 | 相同吗 | 原因 |
|---|---|---|
| $y=x$ 与 $y=\sqrt{x^2}$ | 不同 | $\sqrt{x^2}=\vert x\vert $，对应关系不同 |
| $y=x$ 与 $y=\dfrac{x^2}{x}$ | 不同 | 后者定义域 $x\ne0$ |
| $y=x$ 与 $y=\sqrt[3]{x^3}$ | 相同 | 定义域都是 $\R$，$\sqrt[3]{x^3}=x$ |
| $y=\lg x^2$ 与 $y=2\lg x$ | 不同 | 前者 $x\ne0$，后者 $x\gt0$ |
求函数 $y=\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)}$ 的定义域。
被开方数非负
真数为正
分母不为零
每一条都要满足，所以是“且”
| 结构 | 要求 |
|---|---|
| 分式 $\dfrac1{g(x)}$ | $g(x)\ne0$ |
| 偶次根式 $\sqrt{g(x)}$ | $g(x)\ge0$ |
| 对数 $\log_a g(x)$ | $g(x)\gt0$ |
| 零次幂 $[g(x)]^0$ | $g(x)\ne0$ |
| $\tan x$ | $x\ne k\pi+\frac\pi2$ |
![y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)}；定义域 (-1,0)\cup(0,2]；x 轴上的动点 P](book-01/images/A01-f5.png)
抽象函数的定义域：$f(2x-1)$ 的定义域是 $[0,2]$，指的是 $x\in[0,2]$，于是 $2x-1\in[-1,3]$，所以 $f(x)$ 的定义域是 $[-1,3]$。括号里的整体范围不变，定义域永远指 $x$ 的范围。
左段到 $4.00$，右段从 $1.00$ 起，两段有重叠，值域是 $\R$。
各段 $x$ 的范围不能重叠
分界点归哪一段，看等号
设函数 $f(x)=\begin{cases}1+\log_2(2-x),&x\lt1\\2^{x-1},&x\ge1\end{cases}$，则 $f(-2)+f(\log_212)=$（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
第一段
第二段；$2^{\log_2 12}=12$
值域为 $\R$ 的条件是两段值域相接，即 $m+3\ge$ 右段最小值。例如，$m=-4$ 时两段值域为 $(-\infty,-1)$ 与 $[0,+\infty)$，缺少 $[-1,0)$；$m=2.5$ 时两段值域为 $(-\infty,5.5)$ 与 $[6.25,+\infty)$，中间有空缺。
| 方法 | 适用 | 做法 |
|---|---|---|
| 配方法 | 二次型 | $(x-2)^2-3$，看对称轴在不在区间内，得 $[-3,6]$ |
| 分离常数 | $\frac{ax+b}{cx+d}$ | $2+\frac3{x-1}$，$\frac3{x-1}\ne0$，得 $y\ne2$ |
| 换元法 | 含 $\sqrt{ax+b}$ | 见例 3，换元后写出新元范围 |
| 单调性 | 单调函数 | 端点值（A02） |
| 基本不等式 / 导数 | 一般函数 | C02、D04 |
求函数 $y=x+\sqrt{1-2x}$ 的值域。
新元的范围必须写
变成二次函数，配方
对称轴 $t=1$ 在 $[0,+\infty)$ 内
| 问题 | 方法 | 注意 | 本课例 |
|---|---|---|---|
| 是不是函数 | 每个 $x$ 恰有一个 $y$；图像过竖线检验 | 多对一可以，一对多不行 | 圆不是函数图像 |
| 是不是同一函数 | 定义域、对应关系都相同 | 先化简前算定义域 | $y=x$ 与 $y=\frac{x^2}x$ |
| 求定义域 | 列出每一个限制条件，取交集 | 结果写成集合或区间 | 例 1：$(-1,0)\cup(0,2]$ |
| 分段函数求值 | 先定段，再代入 | 分界点归哪段 | 例 2：$9$ |
| 求值域 | 配方、分离常数、换元、单调性 | 先求定义域；换元要写新元范围 | 例 3：$(-\infty,1]$ |
**易错 1：先化简再求定义域。**$y=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 化成 $x+1$ 后会漏掉 $x\ne1$。定义域要看原式。
**易错 2：换元不写新元范围。**例 3 若忘了 $t\ge0$，就会把 $-\frac12(t-1)^2+1$ 在 $\R$ 上的情况当成答案，碰到对称轴不在范围内的题就会错。
**抽象函数：**$f(g(x))$ 中 $g(x)$ 的范围 = $f$ 的定义域；题目说的“$f(g(x))$ 的定义域”永远指 $x$ 的范围。
**后续：**单调性与最值见 A02；图像平移、伸缩见 A04；数列是定义在正整数上的函数，见 G01。
下列各组中，表示同一个函数的是
答案C
定义域都是 $\R$，对应关系都是“平方后加 1”，与字母无关。
已知 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则 $f(2x)$ 的定义域为
答案A
$x\in[-2,3]\Rightarrow x+1\in[-1,4]$，即 $f$ 的定义域为 $[-1,4]$；再由 $2x\in[-1,4]$ 得 $x\in[-\frac12,2]$。
$f(x)=\begin{cases}x+2,&x\le-1\\x^2,&-1\lt x\lt2\\2x,&x\ge2\end{cases}$，若 $f(x)=3$，则 $x=$
答案B
只有第二段：$x^2=3$，$x=\sqrt3\in(-1,2)$；$x=-\sqrt3$ 不在 $(-1,2)$ 内。
相关专题：A02 单调性与最值 · A04 图像变换 · G01 数列的概念
单调性是函数在区间上的性质：区间内任取 $x_1\lt x_2$，总有 $f(x_1)\lt f(x_2)$ 就是增函数。定义法“取值、作差、变形、定号”是一切单调性证明的底子；后面的导数法（D04）只是把作差换成了求导。
关键词：“任意”两个
由 $f(x)-f(-x)=x^3(a-1)(2^x+2^{-x})$ 可见，只有 $a=1$ 时恒为 $0$。里的 $k$
所以 $x^2$ 在 $\R$ 上不单调
$1/x$ 的定义域分为两个区间；跨越 $0$ 的两点不能用来判定任一单调区间。
$\frac1x$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减，但不能说在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上递减：$-1\lt1$ 而 $f(-1)=-1\lt f(1)=1$。
![y=x+\frac4x；(0,2]；最低点 (2,4)](book-01/images/A02-f4.png)
证明：函数 $f(x)=x+\dfrac4x$ 在 $(0,2]$ 上单调递减，并写出它在 $(0,+\infty)$ 上的单调区间。
“任取”不能换成具体数
提公因式，化成积商
$x_1\lt x_2\le2$ 推出 $x_1x_2\lt4$
分界点 $2$ 从哪来？让 $x_1x_2-4$ 变号的位置就是 $x_1=x_2=2$，即 $x^2=4$。这就是对勾函数 $x+\frac ax$ 的拐弯点 $\sqrt a$（A08）。
增·增、减·减为增；一增一减为减
两次“保序”
函数 $f(x)=\ln(x^2-2x-8)$ 的单调递增区间是（ ）
A. $(-\infty,-2)$ B. $(-\infty,1)$ C. $(1,+\infty)$ D. $(4,+\infty)$
在 $(-\infty,-2)$ 上 $u$ 减，$f$ 减
![y=x+\frac4x；区间 [a,b]；最大值点；最小值点](book-01/images/A02-f7.png)
两个条件缺一不可
求 $f(x)=x+\dfrac4x$ 在 $[1,3]$ 上的最大值与最小值。
两端点都要算，再比较
“上界”不一定是最大值：$x+\frac4x$ 在 $[1,2)$ 上 $f(x)\gt4$ 恒成立，但 $4$ 取不到，所以没有最小值。把 $b$ 调到刚好小于 $2$ 体会一下。
| 方法 | 做法 | 例 |
|---|---|---|
| 定义法 | 取值、作差、变形、定号、结论 | 例 1 |
| 图像法 | 画图看升降 | $\vert x-1\vert $、分段函数 |
| 运算性质 | 增 + 增 = 增；增 − 减 = 增；$f$ 增则 $-f$ 减；$f\gt0$ 增则 $\frac1f$ 减 | $x^3+x$ 增 |
| 复合函数 | 先求定义域，再同增异减 | 例 2 |
| 导数法 | $f'(x)\gt0$ 则增（D04） | 一般函数 |
**易错 1：单调区间用“$\cup$”连接。**$\frac1x$ 的减区间要写成“$(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$”，用逗号或“和”隔开。
**易错 2：复合函数忘了定义域。**例 2 里 $u$ 在 $(1,+\infty)$ 上增，但 $(1,4]$ 不在定义域内。
易错 3：已知单调求参数，区间是子集。“$f$ 在 $[1,2]$ 上递减”只要求 $[1,2]$ 含在某个减区间里，不要求 $[1,2]$ 就是减区间。
**后续：**奇偶性与对称性见 A03；二次函数“轴动区间定”见 A05；导数判断单调性见 D04。
关于 $f(x)=\frac1x$，下列说法正确的是
答案C
在每个区间内任取 $x_1\lt x_2$，$f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0$。
函数 $y=\log_{\frac12}(x^2-4x+3)$ 的单调递增区间是
答案B
定义域 $x\lt1$ 或 $x\gt3$；$u$ 在 $(-\infty,1)$ 上减，外层减，同向得增。
若 $f(x)=-x^2+2ax$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是
答案A
开口向下，对称轴 $x=a$，减区间是 $[a,+\infty)$；要 $[1,2]\subseteq[a,+\infty)$，即 $a\le1$。
相关专题：A01 函数的概念 · A03 奇偶性与对称性 · D04 导数与单调性
奇偶性是关于 $y$ 轴或原点的对称；把对称轴、对称中心挪到别处，就是 $f(a+x)=f(b-x)$ 这类式子。两条对称同时成立时，图像被反复“折”出去，函数就有了周期。
$f(-x)=-x^3+3x=-f(x)$：奇函数，$P$ 与 $P'$ 关于原点对称，且 $f(0)=0$。
否则 $f(-x)$ 可能没有意义，直接“非奇非偶”
因此 $f(-x)-f(x)\equiv0$。
因此 $f(-x)+f(x)\equiv0$。
$f(0)=-f(0)$
| 运算（公共定义域上） | 奇 · 奇 | 偶 · 偶 | 奇 · 偶 |
|---|---|---|---|
| 和、差 | 奇 | 偶 | 一般非奇非偶 |
| 积、商 | 偶 | 偶 | 奇 |
记法：奇函数像“负号”，偶函数像“正号”，积商的奇偶按符号相乘。
$f(-x)=f(x)$：偶函数，$P$ 与 $P'$ 关于 $y$ 轴对称。
$f(-x)=x^2-x$，既不等于 $f(x)$ 也不等于 $-f(x)$（只在个别点相等）：非奇非偶。
定义域 $(-2,3]$ 不关于原点对称：$x=2.5$ 时 $-x\notin D$，$P'$ 不存在。虽然 $x^2$ 的式子是偶的，这个函数非奇非偶。
已知函数 $f(x)=x^3(a\cdot2^x-2^{-x})$ 是偶函数，则 $a=$______。
奇 · 奇 = 偶
奇函数在 $0$ 处有定义则 $g(0)=0$
由 $f(x)-f(-x)=x^3(a-1)(2^x+2^{-x})$ 可见，只有 $a=1$ 时恒为 $0$。
用 $g(0)=0$ 求出的参数要检验：它只是必要条件。用定义 $f(-x)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立来求，则不必检验。
设函数 $f(x)=\ln(1+|x|)-\dfrac1{1+x^2}$，则使得 $f(x)\gt f(2x-1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（ ）
A. $(\frac13,1)$ B. $(-\infty,\frac13)\cup(1,+\infty)$ C. $(-\frac13,\frac13)$ D. $(-\infty,-\frac13)\cup(\frac13,+\infty)$
增 + 增 = 增
两边都落在增区间 $[0,+\infty)$ 上
偶函数 + 在 $[0,+\infty)$ 单调：比较函数值 ⟺ 比较绝对值。这比分类讨论 $x,2x-1$ 的正负省事得多。
两个自变量之和恒为 $a+b$
对应点的横坐标中点为 $\frac{a+b}2$，纵坐标平均数为 $c$。
“$f(x+2)$ 偶”说的是 $x$ 换成 $-x$
别混：$f(x+a)=f(x+b)$（两边 $x$ 同号）是周期 $|b-a|$，不是对称。判断方法：括号里两式相加消掉 $x$ 是对称，相减消掉 $x$ 是周期。
关于两条平行线各反射一次 = 平移两倍间距
一次反射多一个负号，要两次才消掉
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| $f(x+a)=-f(x)$ | $T=2a$ |
| $f(x+a)=\pm\dfrac1{f(x)}$ | $T=2a$ |
| 两轴 / 两中心，间距 $d$ | $T=2d$ |
| 一轴一中心，间距 $d$ | $T=4d$ |
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\R$，$f(x+2)$ 为偶函数，$f(2x+1)$ 为奇函数，则（ ）
A. $f(-\frac12)=0$ B. $f(-1)=0$ C. $f(2)=0$ D. $f(4)=0$
令 $t=2x$；中心是 $(1,0)$ 不是 $(\frac12,0)$
$f(-1)=f(-1+4)$，$3$ 关于 $x=2$ 对称到 $1$
该函数族中 $f(-1)$ 恒为 $0$，而 $f(2)=-1-k$、$f(4)=1+k$、$f(-\frac12)$ 随 $k$ 变化，因此 A、C、D 都不一定成立。
$f(x)$ 是 $\R$ 上的奇函数，$x\gt0$ 时 $f(x)=x^2-2x$，则 $x\lt0$ 时 $f(x)=$
答案B
$x\lt0$ 时 $-x\gt0$，$f(x)=-f(-x)=-[(-x)^2-2(-x)]=-x^2-2x$。
若 $f(1+x)=f(3-x)$ 对一切 $x$ 成立，则 $y=f(x)$ 的图像
答案C
括号里相加 $(1+x)+(3-x)=4$，对称轴 $x=2$。
$f(x)$ 定义域为 $\R$，图像关于直线 $x=1$ 对称，又关于点 $(3,0)$ 对称，$f(0)=2$，则 $f(2026)=$
答案D
间距 $3-1=2$，$T=8$；$2026=8\times253+2$，$f(2026)=f(2)=f(0)=2$（关于 $x=1$ 对称）。
相关专题：A02 单调性与最值 · A04 图像变换 · A09 抽象函数
平移、伸缩改的是坐标，对称、翻折改的是符号和绝对值。规律只有一条：对 $x$ 的变换写在 $f(\ )$ 的括号里，且作用在 $x$ 本身上；对 $y$ 的变换写在 $f$ 外面。
每一步变换都把原曲线上的点 $(x,y)$ 映到新位置，所得点仍在变换后的曲线上。$|f(x)|$ 和 $f(|x|)$ 不是“搬点”，而是“翻上去”和“左边换成右边的镜像”。
$y=f(x-1)+1\qquad (f(x)=x^3-3x)$
| 变换 | 解析式 | 点 $(x_0,y_0)$ 变到 |
|---|---|---|
| 左右平移 | $y=f(x-h)$ | $(x_0+h,\ y_0)$ $h\gt0$ 右移 |
| 上下平移 | $y=f(x)+k$ | $(x_0,\ y_0+k)$ $k\gt0$ 上移 |
| 横向伸缩 | $y=f(\omega x)$，$\omega\gt0$ | $\big(\tfrac{x_0}{\omega},\ y_0\big)$ 横坐标变为 $\tfrac1\omega$ 倍 |
| 纵向伸缩 | $y=Af(x)$，$A\gt0$ | $(x_0,\ Ay_0)$ 纵坐标变为 $A$ 倍 |
反过来想：新点的横坐标减 $h$ 才回到旧点
括号里减，图像反而往右
括号里乘 2，横坐标反而除以 2
对 $y$ 不反向
$A\lt0$ 时先关于 $x$ 轴对称，再纵向伸缩 $|A|$ 倍；$A=0$ 时图像退化为水平直线 $y=B$。
| 解析式 | 图像 | 点的对应 |
|---|---|---|
| $y=f(-x)$ | 关于 $y$ 轴对称 | $(x,y)\to(-x,y)$ |
| $y=-f(x)$ | 关于 $x$ 轴对称 | $(x,y)\to(x,-y)$ |
| $y=-f(-x)$ | 关于原点对称 | $(x,y)\to(-x,-y)$ |
| $y=\vert f(x)\vert $ | $x$ 轴上方不动，下方翻到上方 | $y\lt0$ 的点 $\to(x,-y)$ |
| $y=f(\vert x\vert )$ | $y$ 轴右侧不动，左侧换成右侧的镜像 | $x\ge0$ 的点再复制一份到 $(-x,y)$ |
**$|f(x)|$：翻“下面”。**结果 $\ge0$，图像全在 $x$ 轴上（含）方。原来的零点变成“尖角”。
**$f(|x|)$：换“左边”。**结果是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称；原来 $x\lt0$ 的部分丢掉。
记法：绝对值套在谁身上，就把谁的负值变正。套在 $f$ 上，管 $y$；套在 $x$ 上，管 $x$。
要得到 $y=\ln(2x+1)$ 的图像，下列做法中错误的是（ ）
A．先把 $y=\ln x$ 向左平移 $1$ 个单位，再把横坐标缩短为原来的 $\dfrac12$
B．先把 $y=\ln x$ 的横坐标缩短为原来的 $\dfrac12$，再向左平移 $1$ 个单位
C．先把 $y=\ln x$ 的横坐标缩短为原来的 $\dfrac12$，再向左平移 $\dfrac12$ 个单位
D．先把 $y=\ln x$ 向左平移 $\dfrac12$ 个单位，再把横坐标缩短为原来的 $\dfrac12$，最后向左平移 $\dfrac14$ 个单位
伸缩只把 $x$ 换成 $2x$：$x+1\to2x+1$
平移是把 $x$ 换成 $x+1$，括号里的 $2$ 也要乘上去
先伸缩后平移，平移量是 $\frac12$
每一步都只替换 $x$
$y=\ln x\ \to\ \ln(x+1)\ \to\ \ln(2x+1)\ =\ \ln(2x+1)\ \checkmark$
每一步只做一件事：把 $x$ 换掉。平移把 $x$ 换成 $x+a$，伸缩把 $x$ 换成 $\omega x$。$2x+1$ 里的 $1$ 不是平移量，$2\big(x+\frac12\big)$ 里的 $\frac12$ 才是。
$y=\ln x\ \to\ \ln(2x)\ \to\ \ln(2x+2)\ \ne\ \ln(2x+1)$
$y=\ln x\ \to\ \ln(2x)\ \to\ \ln(2x+1)\ =\ \ln(2x+1)\ \checkmark$
$y=\ln x\ \to\ \ln(x+\tfrac{1}{2})\ \to\ \ln(2x+\tfrac{1}{2})\ \to\ \ln(2x+1)\ =\ \ln(2x+1)\ \checkmark$
若关于 $x$ 的方程 $|x^2-4x+3|=a$ 有四个不同实根，求 $a$ 的取值范围。
数形结合：根的个数 = 交点个数
先画 $f(x)$
$|f(x)|$ 管 $y$
交点个数随水平线 $y=a$ 的位置变化；相切时对应重根。
验算：$0\lt a\lt1$ 时四根为 $2\pm\sqrt{1+a}$、$2\pm\sqrt{1-a}$，互不相等。$a=1$ 时 $2\pm\sqrt{1-a}$ 重合成一个根 $x=2$。
| 题目信号 | 做法 | 注意 |
|---|---|---|
| $y=f(\omega x+\varphi)$ 由 $y=f(x)$ 得到 | 写成 $f\big(\omega(x+\frac\varphi\omega)\big)$ | 先伸缩后平移，平移量是 $\frac{\varphi}{\omega}$ 不是 $\varphi$ |
| $y=\vert f(x)\vert $ | 画 $f$，把 $x$ 轴下方翻上去 | 零点处出现尖角，值域变成非负 |
| $y=f(\vert x\vert )$ | 画 $x\ge0$ 的部分，再关于 $y$ 轴对称复制 | 原来 $x\lt0$ 的部分丢掉，是偶函数 |
| $y=\dfrac{ax+b}{x+c}$、$y=\ln(x-1)+2$ | 化成“母函数 + 平移” | 渐近线、定点跟着平移（A08 再讲分式） |
| 方程 $\vert g(x)\vert =a$、$g(\vert x\vert )=a$ 的根 | 翻折后数与 $y=a$ 的交点 | 端点值 $a=0$、$a=$ 极值时单独数 |
**易错 1：平移量。**由 $y=\sin2x$ 得 $y=\sin(2x+1)$ 是左移 $\frac12$，不是左移 $1$。
**易错 2：两个图像对称 ≠ 一个图像对称。**$y=f(1+x)$ 与 $y=f(1-x)$ 的图像关于 $y$ 轴（$x=0$）对称；而“$f(1+x)=f(1-x)$ 恒成立”说的是 $y=f(x)$ 自身关于 $x=1$ 对称（A03）。
**易错 3：$f(-x)$ 与 $-f(x)$ 混淆。**负号在括号里，改 $x$，左右翻；负号在外面，改 $y$，上下翻。
**一般结论：**$y=f(x)$ 与 $y=f(2a-x)$ 关于直线 $x=a$ 对称；$y=f(x)$ 与 $y=2b-f(x)$ 关于直线 $y=b$ 对称。
把 $y=2^x$ 的图像怎样平移，可得 $y=2^{x-1}+3$ 的图像
答案B
括号里 $x-1$：右移 1；外面 $+3$：上移 3。
方程 $|x^2-2x|=1$ 的实根个数是
答案C
$x^2-2x=1$ 得 $1\pm\sqrt2$；$x^2-2x=-1$ 得 $x=1$。共 3 个，$y=1$ 正好碰到翻上去的顶点。
由 $y=f(2x)$ 的图像得到 $y=f(2x-4)$ 的图像，需要
答案A
$f(2x-4)=f\big(2(x-2)\big)$，把 $x$ 换成 $x-2$：右移 2。
相关专题：A03 奇偶性、对称性与周期性 · A05 幂函数与二次函数 · B03 零点个数
幂函数 $y=x^\alpha$ 只有一个参数，$\alpha$ 的正负决定在 $(0,+\infty)$ 上的增减，所有图像都过 $(1,1)$。二次函数在区间上的最值，只看对称轴和区间的相对位置：轴在区间左边、里面、右边，三种情况。
常用：
这是幂函数唯一的公共点（$x\gt0$ 部分）
$\alpha\gt1$ 下凸（越来越陡），$0\lt\alpha\lt1$ 上凸（越来越平）
增减的分界
$x\to0^+$ 时 $y\to+\infty$
“指大图高”只在 $x\gt1$ 成立
对任意 $x_0>0$ 且 $x_0\ne1$，有 $\dfrac{\ln y_0}{\ln x_0}=\alpha$，说明幂函数由参数 $\alpha$ 决定。其导数 $\alpha x^{\alpha-1}$ 在 D02 讨论。
| $y=x$ | $y=x^2$ | $y=x^3$ | $y=x^{\frac12}$ | $y=x^{-1}$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| 定义域 | $\mathbb R$ | $\mathbb R$ | $\mathbb R$ | $[0,+\infty)$ | $x\ne0$ |
| 值域 | $\mathbb R$ | $[0,+\infty)$ | $\mathbb R$ | $[0,+\infty)$ | $y\ne0$ |
| 奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
| 单调性 | 增 | $(-\infty,0]$ 减 $[0,+\infty)$ 增 |
增 | 增 | $(-\infty,0)$ $(0,+\infty)$ 上分别减 |
| 公共点 | 都过 $(1,1)$；$\alpha\gt0$ 的还都过 $(0,0)$ |
$y=x^{-1}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减，不能说“在定义域上递减”：$-1\lt1$，但 $\frac1{-1}\lt\frac11$。
判断奇偶看 $\alpha=\frac qp$（既约）：$p$ 奇 $q$ 奇是奇函数，$p$ 奇 $q$ 偶是偶函数，$p$ 偶时定义域只有 $x\ge0$，非奇非偶。如 $x^{\frac23}$ 是偶函数，$x^{\frac13}$ 是奇函数。
已知幂函数 $f(x)=(m^2-m-1)x^{m^2+m-3}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，求 $m$ 的值。
$y=x^\alpha$ 前面不能带系数
右边选 $m=2$ 看图
指数为负就递减
漏掉“系数为 1”这一步，直接解 $m^2+m-3\lt0$，会得到一个区间，这是最常见的错误。
$m=-1:\ f(x)=x^{-3}=\dfrac1{x^3},\ (0,+\infty)\ \text{上递减}\ \checkmark$
$m=2:\ f(x)=x^{3},\ (0,+\infty)\ \text{上递增，不合题意}$
求 $f(x)=x^2-2ax+1$ 在区间 $[0,2]$ 上的最小值 $g(a)$ 与最大值 $h(a)$。
先把三个候选值算出来
当 $a\le0$ 时，对称轴在区间 $[0,2]$ 左侧。
开口向上，离轴越远越大
求最小值分三段（轴在左、中、右），求最大值分两段（轴在中点左、右）。分界点就是区间端点和区间中点。
![y=f(x)；[0,2] 上的部分；对称轴 x=a；最小值；最大值](book-01/images/A05-f9.png)
$0\lt a\lt2：\text{轴在区间内，}g(a)=1-a^2=0.75；\ a\le1,\ h(a)=f(2)=3.00$
已知 $f(x)=x^2-2x+2$，求 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最小值 $g(t)$。
区间随参数 $t$ 平移，长度始终为 $1$。
下图就是 $g(t)$ 的图像
“轴动”和“区间动”是同一件事：都在比较对称轴与区间的位置。分界点永远是“轴恰好碰到区间端点”的时刻。
![y=f(x)；[t,t+1] 上的部分；对称轴 x=1；最小值点](book-01/images/A05-f10.png)
| 题目信号 | 做法 | 注意 |
|---|---|---|
| “幂函数 $f(x)=(\cdots)x^{\cdots}$” | 先令系数 $=1$，再用指数的条件筛选 | 解出的值要逐个代回检验 |
| 比较 $a^{\alpha}$ 与 $b^{\alpha}$（同指数） | 看幂函数 $y=x^\alpha$ 的单调性 | 如 $1.1^{0.5}\gt0.9^{0.5}$ |
| 二次函数在区间上的最值 | 配方找对称轴，比较轴与区间 | 最小值三段，最大值两段（开口向上时） |
| 二次项系数含参 $ax^2+bx+c$ | 先讨论 $a=0$，再分 $a\gt0$、$a\lt0$ | $a=0$ 时不是二次函数 |
| “$f(x)$ 在区间 $D$ 上单调” | 对称轴不在 $D$ 内部 | 轴可以落在 $D$ 的端点上 |
**易错 1：只算顶点。**顶点值只有轴在区间里时才是最值。轴在区间外，最值在端点。
**易错 2：“指大图高”用错范围。**$0\lt x\lt1$ 时 $x^3\lt x^2$，图像反而低。
**易错 3：$x^{-1}$ 的单调区间写成并集。**只能写“在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减”。
**与导数的联系：**$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$，$x\gt0$ 时符号就是 $\alpha$ 的符号，这正是“$\alpha$ 定增减”的原因（D02、D04）。
幂函数 $y=f(x)$ 的图像过点 $(4,2)$，则 $f(9)=$
答案C
$4^\alpha=2\Rightarrow\alpha=\frac12$，$f(9)=9^{\frac12}=3$。
$f(x)=x^2-2x+3$ 在 $[0,m]$ 上的最大值为 $3$、最小值为 $2$，则 $m$ 的取值范围是
答案B
$f(0)=3$，$f(1)=2$，$f(2)=3$。最小值 $2$ 要求轴 $x=1$ 在区间里：$m\ge1$；最大值 $3$ 要求 $f(m)\le3$：$m\le2$。
$f(x)=x^2+2(a-1)x+2$ 在 $(-\infty,4]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是
答案A
对称轴 $x=1-a$，开口向上，左边递减，需 $1-a\ge4$，即 $a\le-3$。
相关专题：A04 图像变换 · A06 指数函数与对数函数 · B02 二次方程根的分布 · D02 求导运算
$y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。$a\gt1$ 时都递增，$0\lt a\lt1$ 时都递减。比较大小的核心是找中间量：$0$、$1$，或者一个合适的分数。
利息也当本金
结得越勤，钱越多
随 $n\to\infty$，点列 $a_n=(1+1/n)^n$ 趋于 $e$。
为什么偏爱 $\mathrm e$？在所有 $y=a^x$ 中，只有 $a=\mathrm e$ 时图像在 $(0,1)$ 处的切线斜率恰好是 $1$，所以 $(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x$（D01、D02）。
素材：《高考导数探秘》3.3 自然常数 e 与指数函数
常用：
| $y=a^x$ | $y=\log_a x$ | |
|---|---|---|
| 定义域 | $\mathbb R$ | $(0,+\infty)$ |
| 值域 | $(0,+\infty)$ | $\mathbb R$ |
| 定点 | $(0,1)$ | $(1,0)$ |
| $a\gt1$ | 递增，$x\lt0$ 时 $0\lt y\lt1$ | 递增，$0\lt x\lt1$ 时 $y\lt0$ |
| $0\lt a\lt1$ | 递减，$x\lt0$ 时 $y\gt1$ | 递减，$0\lt x\lt1$ 时 $y\gt0$ |
| 渐近线 | $x$ 轴（$y=0$） | $y$ 轴（$x=0$） |
当 $a\to1$ 时，$y=a^x$ 与 $y=\log_a x$ 的变化趋势可由反函数关系互相对应。
$\left(\frac1a\right)^x=a^{-x}$，A04 的 $f(-x)$
“底大图高”只在第一象限成立
对数的定义：指数式和对数式是同一件事
$P$ 与 $Q$ 关于直线 $y=x$ 对称，因此 $Q$ 始终在反函数图像上。
常用恒等式：$a^{\log_a N}=N$，$\log_a a^x=x$。它们正是“先做一个、再做另一个，回到原处”。导数里常把 $x$ 写成 $\mathrm e^{\ln x}$，把 $x\mathrm e^x$ 写成 $\mathrm e^{x+\ln x}$（F06 同构）。
已知 $a=\log_2 0.2$，$b=2^{0.2}$，$c=0.2^{0.3}$，则（ ）
A．$a\lt b\lt c$ B．$a\lt c\lt b$ C．$c\lt a\lt b$ D．$b\lt c\lt a$
看每个数在 $0$、$1$ 的哪一边
$y=\log_2 x$ 递增，$0.2\lt1$
$y=2^x$ 递增，$0.2\gt0$
$y=0.2^x$ 递减且恒正
三条曲线各取一个点，纵坐标就是 $a,b,c$。两条虚线 $y=0$、$y=1$ 把纵轴分成三段，每段里恰好一个数。
已知 $5^5\lt8^4$，$13^4\lt8^5$。设 $a=\log_5 3$，$b=\log_8 5$，$c=\log_{13} 8$，则（ ）
A．$a\lt b\lt c$ B．$b\lt a\lt c$ C．$b\lt c\lt a$ D．$c\lt a\lt b$
“指数 4、5”就是在凑 $\frac45$
两边开 5 次方，再取 $\log_8$
换底：$\frac1b=\log_5 8$；再用基本不等式
换一个中间量看看：$\frac34$ 分不开 $b$ 和 $c$（两个都大于 $\frac34$），$1$ 什么都分不开。中间量要恰好夹在两个数中间，题目条件就是在提示它。
| 情形 | 做法 | 例子 |
|---|---|---|
| 同底不同指（真数） | 用 $y=a^x$ 或 $y=\log_a x$ 的单调性 | $0.8^{0.3}\gt0.8^{0.5}$；$\log_3 2\lt\log_3 5$ |
| 同指不同底 | 用幂函数 $y=x^\alpha$ 的单调性（A05） | $1.5^{0.3}\gt1.2^{0.3}$ |
| 底、指都不同 | 找中间量：$0$、$1$，或题目暗示的分数 | 例 1、例 2 |
| 同真数不同底的对数 | 换底：$\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$，或看图像 | $\log_2 3\gt\log_4 3$ |
**易错 1：忘了定义域。**$y=\log_a(x^2-2x)$ 先要 $x^2-2x\gt0$；求单调区间时要在定义域里找。
**易错 2：底数含参不讨论。**$a^x$、$\log_a x$ 的增减取决于 $a\gt1$ 还是 $0\lt a\lt1$，含参时要分两种。
**易错 3：$\log_a(M+N)\ne\log_a M+\log_a N$。**正确的是 $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$。
**过定点：**$y=a^{x-1}+2$ 过 $(1,3)$，$y=\log_a(x+2)-1$ 过 $(-1,-1)$。令指数为 $0$ 或真数为 $1$。
函数 $y=\log_a(x-1)+2\ (a\gt0,\ a\ne1)$ 的图像恒过定点
答案B
真数 $x-1=1$ 即 $x=2$，此时 $\log_a1=0$，$y=2$。
设 $a=0.3^2$，$b=2^{0.3}$，$c=\log_2 0.3$，则
答案C
$c\lt0$，$0\lt a=0.09\lt1$，$b=2^{0.3}\gt1$，所以 $c\lt a\lt b$。
函数 $y=2^x$ 的反函数为 $y=g(x)$，则 $g(4)=$
答案A
$g(x)=\log_2 x$，$g(4)=\log_2 4=2$。也可以想：$2^{?}=4$。
相关专题：A05 幂函数与二次函数 · D01 导数的概念 · E01 指对不等式 · F06 同构
单位圆上一点转过角 $x$，它的纵坐标就是 $\sin x$，横坐标就是 $\cos x$。把半径换成 $A$、转速换成 $\omega$、起始角换成 $\varphi$，就得到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$。导数题里用得最多的是两条性质：有界（$|\sin x|\le1$）和周期（只研究一个周期就够）。
弧度：半径为 1 时，弧长就是角的大小
$P$ 与 $Q$ 等高，水平虚线把它们连起来
$Q$ 在单位圆上
周期性
有界性
橙色虚线 $y=\cos x$ 正好是 $\sin x$ 的导函数：$(\sin x)'=\cos x$。$P$ 在最高点时 $\cos x=0$，切线水平；$P$ 过原点时 $\cos x=1$，曲线最陡。
| 参数 | 圆上的意义 | 图像上的意义 |
|---|---|---|
| $A$ | 半径 | 振幅：值域 $[-A,A]$ |
| $\omega$ | 转速 | 周期 $T=\dfrac{2\pi}\omega$，$\omega$ 越大越密 |
| $\varphi$ | 起始角（$x=0$ 时） | 初相：整体左右平移 |
| 性质 | $y=\sin u$ 中 | 解出 $x$ |
|---|---|---|
| 最大值 $A$ | $u=\frac\pi2+2k\pi$ | $x=\dfrac{\frac\pi2-\varphi+2k\pi}\omega$ |
| 对称轴 | $u=\frac\pi2+k\pi$ | $x=\dfrac{\frac\pi2-\varphi+k\pi}\omega$ |
| 对称中心 | $u=k\pi$ | $\Big(\dfrac{k\pi-\varphi}\omega,0\Big)$ |
| 增区间 | $-\frac\pi2+2k\pi\le u\le\frac\pi2+2k\pi$ | 解这个关于 $x$ 的不等式 |
$\omega\lt0$ 时先用诱导公式把 $\omega$ 变成正的，例如 $\sin(-2x+\frac\pi3)=-\sin(2x-\frac\pi3)$，再整体代换，否则单调区间会写反。
$\varphi\gt0$ 左移，$\varphi\lt0$ 右移
伸缩只改 $x$，把每个 $x$ 换成 $\omega x$
平移是对 $x$ 本身加减，要先提出 $\omega$
**易错：**把 $y=\sin2x$ 左移 $\frac\pi6$，得到的是 $y=\sin2\big(x+\frac\pi6\big)=\sin\big(2x+\frac\pi3\big)$，不是 $\sin\big(2x+\frac\pi6\big)$。
看“起点”：$\omega x+\varphi=0$ 给出 $x=-\dfrac\varphi\omega$，这是相位为 $0$ 的位置。
复合函数求导：外层导数乘内层导数 $\omega$
$f$ 的最高点、最低点正是 $f'$ 的零点
| 性质 | 用法 |
|---|---|
| 有界性 | $f(x)=x+\sin x$：$f'(x)=1+\cos x\ge0$，只在孤立点取 $0$，所以 $f$ 在 $\mathbf R$ 上递增 |
| 有界性 | $-1\le\sin x\le1$ 直接放缩：$\ee^x+\sin x\ge\ee^x-1$ |
| 周期性 | $f$ 与 $f'$ 周期相同，只需在一个周期（如 $[0,2\pi]$）内讨论单调性与最值 |
| 换元 | $f'$ 中只有 $\cos x$ 时，令 $t=\cos x\in[-1,1]$，变成二次函数在闭区间上的问题（例 2） |
更细的放缩 $\sin x\lt x\lt\tan x$、$\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ 见 E05 三角函数放缩。
已知函数 $f(x)=\cos\omega x-1\ (\omega\gt0)$ 在区间 $[0,2\pi]$ 有且仅有 3 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是________。
整体代换 $u=\omega x$
$\omega\gt0$，区间方向不变
第 3 个要进区间，第 4 个 $6\pi$ 不能进
端点要单独看：$\omega=2$ 时 $x=2\pi$ 正好是第 3 个零点，取得到；$\omega=3$ 时 $x=2\pi$ 成了第 4 个零点，取不到。
若函数 $f(x)=x-\dfrac13\sin2x+a\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$[-1,1]$ B．$\big[-1,\frac13\big]$ C．$\big[-\frac13,\frac13\big]$ D．$\big[-1,-\frac13\big]$
单调递增 $\Rightarrow f'\ge0$
二倍角，统一成 $\cos x$
有界性：$t$ 只能取 $[-1,1]$
开口向下的抛物线，闭区间上的最小值在端点
令 $t=\cos x$ 后，$g(t)$ 表示 $f'(x)$。若 $a\notin[-\frac13,\frac13]$，则 $g(-1)$、$g(1)$ 至少有一个为负。
$y=3\sin\big(2x+\frac\pi3\big)$ 的最小正周期和最大值分别是
答案B
$T=\frac{2\pi}2=\pi$，振幅 $A=3$。
把 $y=\sin2x$ 的图像向左平移 $\frac\pi6$ 个单位，得到
答案C
$\sin2\big(x+\frac\pi6\big)=\sin\big(2x+\frac\pi3\big)$。
函数 $f(x)=2x+\sin x$ 在 $\mathbf R$ 上
答案A
$f'(x)=2+\cos x\ge1\gt0$，有界性一步搞定。
相关专题：A04 图像变换 · E05 三角函数放缩 · F10 三角函数与导数混合
$y=x+\dfrac ax$ 和 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 是导数题里最常见的两类“中间函数”：求最值时换元换出来，求单调区间时分离常数分出来。先认清渐近线和对称中心，图像就画得出；单调性用导数一步验证。
图像关于原点对称，只研究 $x\gt0$ 一支
$x\to\infty$ 时 $\frac ax\to0$，曲线贴近 $y=x$
单调性看分子 $x^2-a$ 的符号
与基本不等式 $x+\frac ax\ge2\sqrt a$ 一致
形状记法：$a\gt0$ 像“对勾” ✓，夹在 $y$ 轴和 $y=x$ 之间的两个角里；$a\lt0$ 像两段“上坡”，穿过 $x$ 轴。
“分别递增”不能写成“在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上递增”：例如 $a=-2$ 时 $-1\lt1$，却有 $f(-1)=1\gt f(1)=-1$。两段之间隔着竖直渐近线，不能跨段比较。
| $a\gt0$（对勾） | $a\lt0$ | |
|---|---|---|
| 导数 | $f'=\frac{x^2-a}{x^2}$，在 $\sqrt a$ 处变号 | $f'=1+\frac{\vert a\vert }{x^2}\gt0$ |
| 单调性 | $(0,\sqrt a)$ 减，$(\sqrt a,+\infty)$ 增 | $(0,+\infty)$ 增 |
| 值域（$x\gt0$） | $[2\sqrt a,+\infty)$ | $\mathbf R$ |
| 与 $x$ 轴 | 不相交 | 交于 $x=\sqrt{-a}$ |
提出 $p$：$p\big(x+\frac{q/p}x\big)$
不在区间里，基本不等式取不到等号，改用单调性
$m\gt2$ 时 $x=2$ 不在区间内，$x+\frac4x\ge4$ 的等号取不到，最小值是 $f(m)$，不是 4。
分子凑出分母的倍数：$ax+b=\frac ac(cx+d)+b-\frac{ad}c$
$k=\frac{bc-ad}{c^2}$
分母恒正，符号只看分子
记法：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ 的符号就是单调性。$ad-bc=0$ 时分子分母成比例，函数退化为常数（去掉一个点）。
导数题里常见：$\frac{x}{x+1}$、$\frac{x-1}{x+1}$、$\frac{2x}{x+1}$ 都在 $(-1,+\infty)$ 上递增，有上界，可直接拿来放缩或求值域。
求函数 $y=\dfrac{x^2+2x+4}{x+1}\ (x\gt-1)$ 的最小值；若改为 $x\ge m$（$m\gt-1$），最小值又是多少？
分母整体换元
化成对勾函数，$a=3\gt0$
例如 $m=1$：$t\ge2$，最小值 $2+\frac32=\frac72$
图像上看：曲线以 $x=-1$ 和 $y=x+1$ 为渐近线，是对勾函数 $t+\frac3t$ 平移过来的。
已知函数 $f(x)\ (x\in\mathbf R)$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$，若函数 $y=\dfrac{x+1}x$ 与 $y=f(x)$ 图像的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则 $\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=$（ ）
A．$0$ B．$m$ C．$2m$ D．$4m$
$\frac{f(x)+f(-x)}2=1$，$x$ 与 $-x$ 的中点是 $0$
分式函数，渐近线 $x=0$，$y=1$
若 $(x,y)$ 是交点，$(-x,2-y)$ 也是
例如取一个满足条件的具体函数 $f(x)=1+kx-4x^3$ 验证：$k=5$ 时交点横坐标为 $\pm1,\pm\frac12$，$m=4$，和为 $4$。
$x\lt0$ 时，$x+\dfrac4x$ 的最大值是
答案C
奇函数：$x\lt0$ 时 $x+\frac4x=-\big((-x)+\frac4{-x}\big)\le-4$，$x=-2$ 时取等。
函数 $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ 图像的对称中心是
答案B
$y=2-\frac3{x+1}$，渐近线 $x=-1$，$y=2$。
函数 $f(x)=x-\dfrac1x$ 在 $(0,+\infty)$ 上
答案A
这是 $a=-1\lt0$ 的情形，$f'(x)=1+\frac1{x^2}\gt0$。
相关专题：A04 图像变换 · C02 基本不等式
抽象函数没有解析式，只给一个“运算规律”。两件工具：赋值法（令 $x,y$ 取 $0,1,-1,x,-x$ 等特殊值）推出特殊函数值和奇偶性；模型函数（满足同一规律的具体函数）帮我们猜结论、排除选项。真正的证明仍要靠赋值和定义。
先代 0：最常用的第一步
代相反数：得奇偶性
代相同的数：得倍数关系
令 $x=x_1$，$y=x_2-x_1$；若已知 $x\gt0$ 时 $f(x)\gt0$，就得到递增
模型函数正是正比例函数
赋值的目标：让等式里出现要求的量。要 $f(0)$ 就代 0，要奇偶性就代 $-x$，要单调性就造出 $f(x_2)-f(x_1)$。
只有 $kx$ 让绿段接橙段正好等于紫段：$kx+1$ 时差值恒为 $-1$，$x^2$ 时差值为 $2xy$（右边“理论值”就是这两个数）。
| 抽象条件 | 模型 | 赋值得到 |
|---|---|---|
| $f(x+y)=f(x)+f(y)$ | $kx$ | $f(0)=0$，奇函数 |
| $f(x+y)=f(x)f(y)$ | $a^x$ | $f(0)=1$（$f\not\equiv0$），$f(x)\gt0$ |
| $f(xy)=f(x)+f(y)$ | $\log_ax$ | $f(1)=0$，$f\big(\frac1x\big)=-f(x)$ |
| $f(xy)=f(x)f(y)$ | $x^\alpha$ | $f(1)=1$（$f\not\equiv0$） |
| $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ | $\cos\omega x$ | $f(0)=1$（$f\not\equiv0$），偶函数 |
若 $f(x_0)=0$，则 $f(0)=f(x_0)f(-x_0)=0$，矛盾，故 $f(x)\gt0$
模型函数只用来猜和排除：选择题里可以用模型检验选项，解答题必须用赋值法证明。
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，对任意 $x,y\gt0$ 有 $f(xy)=f(x)+f(y)$，且 $x\gt1$ 时 $f(x)\gt0$，$f(2)=1$。(1) 证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增；(2) 解不等式 $f(x)+f(x-3)\le2$。
乘法型代 1
把 $x_2$ 拆成 $x_1$ 乘一个大于 1 的数
把常数 2 也写成函数值
别漏定义域：两个自变量都要为正
模型函数 $\log_2x$ 满足全部条件：$\log_2x+\log_2(x-3)\le2$ 的解也是 $(3,4]$，与推理一致。
![y=\log_2x；y=f(x)+f(x-3)；解集 (3,4]](book-01/images/A09-f9.png)
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf R$，$f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)$，则（ ）
A．$f(0)=0$ B．$f(1)=0$ C．$f(x)$ 是偶函数 D．$x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
代 0
代 1
代 $-1$ 得奇偶性
举一个反例即可否定
非零模型：$x\ne0$ 时两边除以 $x^2y^2$，$\dfrac{f(xy)}{(xy)^2}=\dfrac{f(x)}{x^2}+\dfrac{f(y)}{y^2}$，于是 $\dfrac{f(x)}{x^2}$ 满足对数型方程，取 $f(x)=kx^2\ln|x|$（$f(0)=0$）。
$k\gt0$ 时 $x=0$ 是极大值点，$k\lt0$ 时是极小值点，$k=0$ 时不是极值点：D 不必然成立。
已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，且 $(x+1)f'(x)-f(x)\lt x^2+2x$ 对 $x\in(0,+\infty)$ 恒成立。下列结论正确的是（ ）
A．$2f(2)-3f(1)\gt5$ B．若 $f(1)=2$，$x\gt1$，则 $f(x)\gt x^2+\frac12x+\frac12$
C．$f(3)-2f(1)\lt7$ D．若 $f(1)=2$，$0\lt x\lt1$，则 $f(x)\gt x^2+\frac12x+\frac12$
看到 $(x+1)f'-f$：商的导数 $\big(\frac f{x+1}\big)'$ 的分子；右边 $x^2+2x$ 来自 $x^2$ 那一项
原书选项 A 印作“$2f(x)-3f(1)\gt5$”，按解答应为 $2f(2)$。
若对任意实数 $x,y$ 有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$，则 $f(0)$ 等于
答案A
令 $x=y=0$：$f(0)=2f(0)$。
若 $f(x+y)=f(x)f(y)$，$f(1)=2$，则 $f(3)$ 等于
答案C
$f(3)=f(1)f(2)=f(1)^3=8$，模型 $2^x$。
解答题中证明抽象函数的单调性，下列做法正确的是
答案B
按定义作差，用赋值把 $f(x_2)-f(x_1)$ 化成已知符号的量。
相关专题：A03 奇偶性与对称性 · A02 单调性
函数 $f(x)$ 的零点，就是方程 $f(x)=0$ 的实根，也是图像与 $x$ 轴交点的横坐标。判断零点在哪里，靠零点存在定理；要算出近似值，用二分法。
看零点：$y=\ln x+2x-6$看交点：$y=\ln x$ 与 $y=6-2x$
零点是一个数，不是一个点
移项，把方程拆成两边
点上方的分页，两种画法看到同一个 $x_0$
拆成两边时，尽量拆成熟悉的图像：这里一条对数曲线、一条直线，一眼看出只有一个交点。拆法不唯一，后面 B03 会专门讲怎么拆。
零点是实数。说“零点是 $(x_0,0)$”是错的，应说“零点是 $x_0$”。
素材：《高考导数探秘》1.1.3 函数的零点问题
单调，变号变号，但有 3 个同号，也有零点不连续
f(a)·f(b) < 0（变号） → (a, b) 内实际有 3 个零点
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图像是连续不断的一条曲线，且 $f(a)\cdot f(b)\lt0$，那么 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。
| 分页 | 说明了什么 |
|---|---|
| 单调，变号 | 再加上单调，零点就唯一：变号管“有”，单调管“只有一个” |
| 变号，但有 3 个 | 定理只说“至少一个”，不能说“只有一个” |
| 同号，也有零点 | $f(a)f(b)\gt0$ 推不出“没有零点”：定理反过来不成立 |
| 不连续 | 中间断开，即使 $f(a)f(b)\lt0$ 也可能没有零点（如 $y=\frac1x$） |
导数大题里证明“有唯一零点”，标准写法就是两句：**① 求导说明单调；② 取两个点，函数值异号。**第二句里“取哪两个点”有时不容易，F09 专门讲。
画面跟着区间放大
![f(x)=\ln x+2x-6；当前区间 [a,b]；中点 m](book-01/images/B01-f3.png)
零点在 $(2,3)$ 内
保留仍然变号的那一半
| 次数 | $a$ | $b$ | 中点 $m$ | $f(m)$ 符号 | 区间长 |
|---|
每次长度减半：$n$ 次后长度为 $\frac{1}{2^n}$。要小于 $0.01$，需 $2^n\gt100$，即 $n\ge7$。
已知函数 $f(x)=\dfrac6x-\log_2x$，在下列区间中，包含 $f(x)$ 零点的区间是（ ）
A．$(0,1)$ B．$(1,2)$ C．$(2,4)$ D．$(4,+\infty)$
先看单调，知道只需找一处变号
选项端点代进去，挑好算的
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}$。讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明 $f(x)$ 有且仅有两个零点。
$\frac{x+1}{x-1}=1+\frac2{x-1}$
两段分开说，中间断开
对数里取 $\mathrm e$ 的幂，$\ln$ 好算
也可直接取 $f(\mathrm e^{-2})\lt0\lt f(\mathrm e^{-1})$
| 要说明 | 需要 | 写法 |
|---|---|---|
| $(a,b)$ 内有零点 | 连续 + $f(a)f(b)\lt0$ | 零点存在定理 |
| $(a,b)$ 内恰有一个零点 | 单调 + 端点异号 | 求导说单调，再取两点算函数值 |
| $(a,b)$ 内没有零点 | $f$ 的最小值 $\gt0$（或最大值 $\lt0$） | 求最值，不能只看 $f(a)f(b)\gt0$ |
| 零点的近似值 | 变号区间 | 二分法 |
易错 1：反过来用定理。“有零点 ⇒ $f(a)f(b)\lt0$”不对：$y=x^2$ 在 $(-1,1)$ 内有零点 $0$，但 $f(-1)f(1)=1\gt0$。
**易错 2：忘了“连续”。**$y=\frac1x$ 满足 $f(-1)f(1)\lt0$，但 $(-1,1)$ 内没有零点。分母为零、分段函数的接口处要检查。
**易错 3：二分法求不了“不变号”的零点。**$y=(x-1)^2$ 的零点 $1$ 两侧函数值都为正，找不到变号区间，二分法用不上。
**取点小技巧：**含 $\ln x$ 取 $1$、$\mathrm e$、$\mathrm e^2$、$\frac1{\mathrm e}$；含 $\mathrm e^x$ 取 $0$、$1$、$\ln2$。要取很远的点证明“足够大时 $f\gt0$”，属于 F09 的内容。
函数 $f(x)=2^x+3x$ 的零点所在的一个区间是
答案B
$f(-1)=-\frac52\lt0$，$f(0)=1\gt0$，且 $f$ 递增，零点唯一。
函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，下列说法正确的是
答案C
变号保证有零点，单调保证至多一个。
用二分法求 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内的近似解，算得 $f(0)\lt0$，$f(1)\gt0$，$f(0.5)\lt0$，下一步应取的区间是
答案A
$f(0.5)\lt0\lt f(1)$，在 $(0.5,1)$ 上仍变号。
相关专题：A06 指数函数与对数函数 · B03 零点个数 · D04 单调性与极值 · F05 隐零点 · F09 零点问题与取点
问“方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根落在哪里”，不必解出根。画出抛物线，从图上读出三类条件：判别式 $\Delta$、对称轴位置、端点函数值的符号。需要几条就列几条。
条件全部满足 → 实际：两根都大于 k
先保证有根
对称轴在 $k$ 右边
$k$ 处图像在 $x$ 轴上方，$k$ 不夹在两根之间
判定两根都大于 $k$，需同时保证有两个实根、对称轴在 $k$ 右侧、且 $f(k)>0$；任一条件失效都可能使根落到 $k$ 左侧或无实根。
$a\lt0$ 时图像倒过来，端点条件全部变号。统一写法：把 $f(k)\gt0$ 换成 $a\cdot f(k)\gt0$。也可以先把方程两边同除以 $a$，化成首项系数为 $1$。
条件没有全部满足 → 实际：不是k 在两根之间
只要这一条
开口向上，$f(k)\lt0$ 说明 $k$ 处图像在 $x$ 轴下方，左右两边一定各穿过 $x$ 轴一次。$\Delta\gt0$ 自动成立，不用再写。
条件全部满足 → 实际：两根都在 (m, n) 内
对称轴在区间内
两端都在 $x$ 轴上方，把两根“夹”在里面
四条缺一不可。只写 $f(m)\gt0$、$f(n)\gt0$，两根也可能都在区间外的同一侧。
条件没有全部满足 → 实际：不是恰有一根在 (m, n) 内
两端异号，区间内恰穿过一次
这条只管“端点不是根”的情形。$f(m)=0$ 或 $f(n)=0$ 时要单独代回检验：先求出另一根，看它在不在 $(m,n)$ 内。
“和 > 2 且积 > 1”成立；两根都大于 1
这个方向对
例如 $f(x)=(x-2)^2+1$ 满足前两项但 $f(k)>0$；若改为 $f(x)=(x-2)^2-1$，则 $f(k)<0$，较小根落在 $k$ 左侧。
两数同正 ⇔ 和正且积正
展开：$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，再代入韦达定理 $x_1+x_2=-\frac ba$，$x_1x_2=\frac ca$。
韦达定理只适合“与 $0$ 比较”。与别的数比较、与区间比较，图像法更直接，也不容易漏条件。
关于 $x$ 的方程 $x^2+(m-2)x+5-m=0$ 的两个根都大于 $2$，求实数 $m$ 的取值范围。
$m=-4$ 时是二重根 $x=3$，也算“两根都大于 $2$”
方程 $x^2+2mx+2m+1=0$ 的一个根在 $(-1,0)$ 内，另一个根在 $(1,2)$ 内，求实数 $m$ 的取值范围。
恒成立
两区间各一根，只需端点符号，$\Delta$、对称轴都不用写
| 根的位置 | 条件 |
|---|---|
| 两根都大于 $k$ | $\Delta\ge0$，$-\frac b{2a}\gt k$，$f(k)\gt0$ |
| 两根都小于 $k$ | $\Delta\ge0$，$-\frac b{2a}\lt k$，$f(k)\gt0$ |
| $k$ 在两根之间 | $f(k)\lt0$ |
| 两根都在 $(m,n)$ 内 | $\Delta\ge0$，$m\lt-\frac b{2a}\lt n$，$f(m)\gt0$，$f(n)\gt0$ |
| 恰有一根在 $(m,n)$ 内 | $f(m)f(n)\lt0$，端点为根时另外检验 |
| 一根在 $(m,n)$，一根在 $(p,q)$ | 四个端点的函数值符号 |
记忆方法不靠背表：画出图，看哪些点的符号定了、对称轴在哪。“两根都…”要三件套，“分在两边”只看端点。
很多导数题的导函数是二次函数，“极值点在哪”就是“导函数的根在哪”。
$f(x)=\frac13x^3-ax^2+x$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个极值点，求 $a$ 的范围。
二重根两侧不变号，不是极值点，所以 $\Delta\gt0$
**易错 1：**首项系数含参数时，先讨论它等于 $0$ 的情形，这时方程不是二次方程。
**易错 2：**$\Delta\ge0$ 还是 $\Delta\gt0$ 看题意：“两个根”可含二重根，“两个不等根”“两个极值点”要 $\Delta\gt0$。
**易错 3：**开区间端点能不能取等号，代回原方程检验一下最稳妥。
方程 $x^2-2ax+4=0$ 的两根都大于 $1$，则 $a$ 的取值范围是
答案C
$\Delta\ge0$ 得 $|a|\ge2$；对称轴 $a\gt1$；$f(1)=5-2a\gt0$ 得 $a\lt\frac52$。取交集 $2\le a\lt\frac52$。
方程 $x^2+(m-1)x+m^2-2=0$ 的一根大于 $1$，另一根小于 $1$，则 $m$ 的取值范围是
答案B
$f(1)=1+m-1+m^2-2=m^2+m-2\lt0$，得 $-2\lt m\lt1$。
设 $x_1,x_2$ 是二次方程的两个实根，“$x_1\gt1$ 且 $x_2\gt1$”的充要条件是
答案D
$x_1-1$、$x_2-1$ 同正 ⇔ 它们的和为正且积为正。
相关专题：A05 幂函数与二次函数 · B01 零点存在定理 · B03 零点个数 · D04 单调性与极值
方程 $f(x)=0$ 有几个根，就是两条曲线有几个交点。把方程变形成“一条固定的曲线”与“一条只含参数的简单线”：水平线 $y=a$ 上下平移，或过定点的直线绕点旋转。数交点之前，固定曲线的图像要画准。
a = 0.200：2 个交点（其中 1 个在视窗外，x ≈ 12.7）
$g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$：在 $(0,\mathrm e)$ 增，在 $(\mathrm e,+\infty)$ 减，最大值 $g(\mathrm e)=\dfrac1{\mathrm e}$。
| $a$ 的范围 | 交点个数 |
|---|---|
| $a\le0$ | 1 |
| $0\lt a\lt\frac1{\mathrm e}$ | 2 |
| $a=\frac1{\mathrm e}$ | 1 |
| $a\gt\frac1{\mathrm e}$ | 0 |
$x\gt\mathrm e$ 时 $g(x)\gt0$ 且 $g(x)\to0$：图像无限接近但碰不到 $x$ 轴。所以 $a=0$ 只有 1 个交点，$a$ 取很小的正数仍有 2 个。
① 单调性与极值求导，列表，算出极值
② 端点与渐近趋势$x$ 趋向定义域端点时 $g(x)$ 趋向哪里，从哪一侧趋近
③ 特殊点与 $x$ 轴的交点、函数值的正负
临界值就是极值和渐近线的高度。表里的每条分界线，都能在图上找到对应的位置。
a = -0.200：2 个交点
$g'(x)=(x+1)\mathrm e^x$：在 $(-\infty,-1)$ 减，在 $(-1,+\infty)$ 增，最小值 $g(-1)=-\dfrac1{\mathrm e}$。
| $a$ 的范围 | 交点个数 |
|---|---|
| $a\lt-\frac1{\mathrm e}$ | 0 |
| $a=-\frac1{\mathrm e}$ | 1 |
| $-\frac1{\mathrm e}\lt a\lt0$ | 2 |
| $a\ge0$ | 1 |
$x\to-\infty$ 时 $g(x)\lt0$ 且 $g(x)\to0$：左边贴着 $x$ 轴下方走。
a = 4.000：2 个交点
$g'(x)=\dfrac{(x-1)\mathrm e^x}{x^2}$：在 $(-\infty,0)$、$(0,1)$ 减，在 $(1,+\infty)$ 增；$x\gt0$ 时最小值 $g(1)=\mathrm e$。
| $a$ 的范围 | 交点个数 |
|---|---|
| $a\lt0$ | 1 |
| $0\le a\lt\mathrm e$ | 0 |
| $a=\mathrm e$ | 1 |
| $a\gt\mathrm e$ | 2 |
$x=0$ 处断开，两支分别看。“$\mathrm e$ 是最小值”只对右支成立，不能说 $g(x)\ge\mathrm e$。
k = 0.7000：2 个交点
已知函数 $f(x)=|x-2|+1$，$g(x)=kx$。若方程 $f(x)=g(x)$ 有两个不相等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
A. $\left(0,\frac12\right)$ B. $\left(\frac12,1\right)$ C. $(1,2)$ D. $(2,+\infty)$
此时恰 1 个交点
右支的交点跑到无穷远
旋转直线法的两类临界位置：过端点或折点、与曲线相切。另外留意直线与某条渐近线（或射线）平行的位置。
求“过定点的切线”时，切点未知，要先设切点 $(x_0,f(x_0))$，再让切线过定点，不能直接用定点算导数。
k = 0.7000：0 个交点
临界 2
对照第 1 步：$\ln x=kx\iff k=\dfrac{\ln x}{x}$，结论完全一样。同一个方程，两种看法。
k = 0.2500：两种看法都是 2 个交点
| 全分离 $a=g(x)$ | 半分离 $h(x)=$ 含参直线 | |
|---|---|---|
| 动的线 | 水平线，只上下平移 | 过定点的直线，绕点旋转 |
| 临界值 | $g(x)$ 的极值、渐近线高度 | 切线斜率、过端点的斜率 |
| 代价 | $g(x)$ 可能复杂，求导麻烦 | $h(x)$ 简单，但要设切点求切线 |
| 适用 | 参数能单独移到一边 | 参数是直线的斜率或截距 |
首选全分离：只需研究一个不含参数的函数，水平线怎么动一目了然。分离后的函数太复杂（比如导数的零点求不出来），再考虑半分离。
分离参数时要除以含 $x$ 的式子，先确认它不为 0、看清正负。例如 $\mathrm e^x=ax$ 化成 $a=\dfrac{\mathrm e^x}{x}$ 之前，要先说明 $x=0$ 不是根。
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\mathrm e^x,&x\le0\\\ln x,&x\gt0\end{cases}$，$g(x)=f(x)+x+a$。若 $g(x)$ 存在 2 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A. $[-1,0)$ B. $[0,+\infty)$ C. $[-1,+\infty)$ D. $[1,+\infty)$
$a=-1$ 时直线恰过 $(0,1)$，端点能取到
已知函数 $f(x)=a\mathrm e^{2x}+(a-2)\mathrm e^x-x$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。
$\mathrm e^{2x}+\mathrm e^x\gt0$，可以放心除
分子提出公因式 $\mathrm e^x(2\mathrm e^x+1)$
解答题里，趋势“$\to-\infty$”“$\to0$”要取具体的点说明函数值的符号（零点存在定理），见 F09。本题也可以不分离：$a\gt0$ 时 $f$ 的最小值 $f(-\ln a)=1-\frac1a+\ln a\lt0$，同样得 $0\lt a\lt1$。
选择填空题，图画对了答案就出来了。解答题要把“图上看出来的”写成严格的论证：单调性 + 零点存在定理，见 B01、F09。
**易错 1：**渐近趋势画错。$\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $x\to+\infty$ 时趋于 $0$ 但始终为正，画成“穿过 $x$ 轴”就会把 $a=0$ 数成 2 个交点。
**易错 2：**临界值本身漏判。$a$ 等于极值时是相切，交点个数和两侧都不同，要单独数。
**易错 3：**分离参数时除以了可能为 0 或符号不定的式子。
**易错 4：**分段函数的端点归属。端点属于哪一段，直线恰好经过端点时算不算交点，要看清“$\le$”还是“$\lt$”。
方程 $x\mathrm e^x=a$ 有两个不同的实根，则 $a$ 的取值范围是
答案C
$g(x)=x\mathrm e^x$ 最小值 $g(-1)=-\frac1{\mathrm e}$，$x\to-\infty$ 时 $g(x)\to0^-$，水平线在两者之间才有两个交点。
方程 $\mathrm e^x=ax$ 有两个不同的实根，则 $a$ 的取值范围是
答案B
$x=0$ 不是根，$a=\frac{\mathrm e^x}{x}$；$x\lt0$ 时 $g(x)\lt0$，$x\gt0$ 时最小值 $g(1)=\mathrm e$，所以 $a\gt\mathrm e$ 时右支两个交点、左支没有。
用水平线法讨论 $a=g(x)$ 的根的个数，下面哪件事最容易漏掉而导致数错？
答案A
极值只给出“最高到哪、最低到哪”，图像在端点附近趋向哪里、从哪侧趋近，决定了开区间还是闭区间、0 能不能取到。
相关专题：B01 零点存在定理 · B02 二次方程根的分布 · B04 嵌套函数 · F09 零点问题综合与取点
$f(f(x))=c$、$[g(x)]^2+p\,g(x)+q=0$ 这类方程，直接画图很难。办法是换元分层：令 $t=g(x)$，先解外层方程得到 $t$ 的值，再对每个 $t$ 数内层方程 $g(x)=t$ 有几个根，最后相加。每一层都是 B03 的水平线法。
c = 1.00：外层 3 个 u，内层分别给 3 + 3 + 3 个，共 9 个根
| $c$ 的范围 | 外层 $u$ 的值 | 总根数 |
|---|---|---|
| $\vert c\vert \lt2$ | 3 个，都在 $(-2,2)$ 内，每个给 3 个 $x$ | 9 |
| $c=2$ | $u=2$（给 2 个）、$u=-1$（给 3 个） | 5 |
| $c=-2$ | $u=-2$（给 2 个）、$u=1$（给 3 个） | 5 |
| $\vert c\vert \gt2$ | 1 个，$\vert u\vert \gt2$，只给 1 个 $x$ | 1 |
内层数根要看 $u_i$ 落在哪一段：$f(x)$ 的极大值 $2$、极小值 $-2$ 把纵轴分成几段，同一段里的 $u$ 对应的根数相同。外层算出的 $u$ 是什么具体值并不重要，重要的是它在哪个区间。
t = -3.600：m = 0.303、3.297，分别给 3 + 1 个根，共 4 个
已知 $g(x)=|x\mathrm e^x|$，方程 $[g(x)]^2+t\,g(x)+1=0$ 有四个不同的实根，求 $t$ 的取值范围。
这张表是全题的关键
| $t$ 的范围 | $m_1$ 的位置 | 根数 |
|---|---|---|
| $t\lt-\frac{\mathrm e^2+1}{\mathrm e}$ | $0\lt m_1\lt\frac1{\mathrm e}$：3 + 1 | 4 |
| $t=-\frac{\mathrm e^2+1}{\mathrm e}$ | $m_1=\frac1{\mathrm e}$：2 + 1 | 3 |
| $-\frac{\mathrm e^2+1}{\mathrm e}\lt t\lt-2$ | $\frac1{\mathrm e}\lt m_1\lt1$：1 + 1 | 2 |
| $t=-2$ | $m_1=m_2=1$ | 1 |
| $t\gt-2$ | 无实根或两根为负 | 0 |
a = 1.150：f(x) 有 3 个零点，原式 = 1
已知 $f(x)=ax+\ln x-\dfrac{x^2}{x-\ln x}$ 有 3 个不同零点 $x_1\lt x_2\lt x_3$，则 $\left(1-\dfrac{\ln x_1}{x_1}\right)^2\left(1-\dfrac{\ln x_2}{x_2}\right)\left(1-\dfrac{\ln x_3}{x_3}\right)=$ ＿＿
$x-\ln x\gt0$ 恒成立
两根都在 $(0,\frac1{\mathrm e})$ 会有 4 个
最后一步用到了“$x_2,x_3$ 对应同一个 $t_2$”，所以 $\left(1-\frac{\ln x_2}{x_2}\right)\left(1-\frac{\ln x_3}{x_3}\right)=(1-t_2)^2$。题目把 $x_1$ 那项平方，正是在提示这个结构。顺带可得 $a$ 的范围：$t_1t_2\lt0$ 且 $h\!\left(\frac1{\mathrm e}\right)\gt0$，即 $1\lt a\lt1+\frac1{\mathrm e^2-\mathrm e}$。
① 换元令 $t=g(x)$，写出外层方程 $F(t)=0$
→
② 画内层画出 $t=g(x)$ 的图像，列出“$g(x)=t$ 有几个根”随 $t$ 变化的表
→
③ 分配外层的根 $t_i$ 分别落在哪一段，根数相加
②是核心，先做。有了这张表，题目要求的“几个根”就能翻译成“外层的根应该落在哪些区间”，再用 B02 二次方程根的分布写条件。
**易错 1：**只解外层，忘了 $t$ 的取值范围。$t=\frac{\ln x}{x}\le\frac1{\mathrm e}$，大于 $\frac1{\mathrm e}$ 的外层根不对应任何 $x$。
**易错 2：**以为一个 $t$ 对应一个 $x$。同一个 $t$ 可能对应 0、1、2、3 个 $x$，要看内层图像。
**易错 3：**临界值漏判。$t_i$ 恰好等于内层的极值或端点值时，对应的根数和两侧不同，要单独数。
设 $f(x)=x^3-3x$，方程 $f(f(x))=0$ 的实根个数是
答案D
外层 $u=0,\pm\sqrt3$ 都在 $(-2,2)$ 内，$f(x)=u$ 各有 3 个根，共 9 个。
已知 $g(x)=|x\mathrm e^x|$，方程 $g(x)=m$ 恰有 3 个实根，则 $m$ 的取值范围是
答案B
左支（$x\lt0$）在 $x=-1$ 取极大值 $\frac1{\mathrm e}$，两端趋于 0，给 2 个根；右支递增，给 1 个根。
用换元法解 $[g(x)]^2+p\,g(x)+q=0$ 的根的个数，最先应该做的是
答案A
先弄清“$g(x)=t$ 有几个根”随 $t$ 怎么变，才知道外层的根该落在哪些区间。
相关专题：B02 二次方程根的分布 · B03 零点个数 · F09 零点问题综合与取点
不等式的性质管“怎样变形不出错”；一元二次不等式 $ax^2+bx+c\gt0$ 的解集，就是抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 在 $x$ 轴上方那段图像对应的 $x$。两根、开口、$\Delta$ 三样东西定下解集。
| 性质 | 正确写法 | 常见错误 |
|---|---|---|
| 同向可加 | $a\gt b,\ c\gt d\Rightarrow a+c\gt b+d$ | 同向相减：$a-c\gt b-d$ 不成立（$5\gt1,\ 4\gt0\Rightarrow 1\gt1$？） |
| 乘正数 | $a\gt b,\ c\gt0\Rightarrow ac\gt bc$ | 不知道 $c$ 的符号就直接乘 |
| 乘负数 | $a\gt b,\ c\lt0\Rightarrow ac\lt bc$ | 忘记变号：$-2x\gt4$ 解成 $x\gt-2$ |
| 同向正数可乘 | $a\gt b\gt0,\ c\gt d\gt0\Rightarrow ac\gt bd$ | 有负数时不能乘：$-1\gt-2,\ 1\gt-3$，但 $-1\gt6$ 错 |
| 倒数法则 | $a\gt b\gt0\Rightarrow\dfrac1a\lt\dfrac1b$（同号才行） | $a\gt0\gt b$ 时 $\dfrac1a\gt0\gt\dfrac1b$，不反向 |
| 乘方开方 | $a\gt b\gt0\Rightarrow a^n\gt b^n,\ \sqrt[n]a\gt\sqrt[n]b$ | $-3\gt-4$，但 $9\lt16$ |
变形之前先问两件事：乘除的数是正是负？两边同号吗？拿不准就举一个带负数的反例试试。
差 → 配方或因式分解 → 判符号
底数 $\gt1$、指数 $\gt0$；幂、积的形式适合作商
$\frac{-4}{-2}=2\gt1$，但 $-4\lt-2$
导数之后，“作差”升级为“构造差函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 求最小值”（见 F04）。思路不变：差的符号决定大小。
| $a\gt0$ | $\Delta\gt0$，$x_1\lt x_2$ | $\Delta=0$ | $\Delta\lt0$ |
|---|---|---|---|
| $\gt0$ 的解集 | $x\lt x_1$ 或 $x\gt x_2$ | $x\ne-\frac b{2a}$ | $\mathbb R$ |
| $\lt0$ 的解集 | $x_1\lt x\lt x_2$ | $\varnothing$ | $\varnothing$ |
口诀“大于取两边，小于取中间”只对 $a\gt0$ 成立。$a\lt0$ 时先两边乘 $-1$ 化成 $a\gt0$（不等号反向），或直接看图。
能分解就先分解：根看得见
讨论的依据：两根谁大
两根重合的情形不能漏
含参二次不等式按顺序问三个问题：**① 二次项系数是正、负还是 $0$？② 有没有根（$\Delta$）？③ 两根谁大？**本题 ①② 都确定，只需讨论 ③。
已知关于 $x$ 的不等式 $ax^2+bx+c\gt0$ 的解集为 $(-1,2)$，求不等式 $cx^2+bx+a\lt0$ 的解集。
解集的端点就是方程的根
用 $a$ 表示 $b$、$c$
除以负数要变号
小于取中间
易错：忘记 $a\lt0$，直接约去 $a$ 不变号，得到 $x\lt-1$ 或 $x\gt\frac12$。
若不等式 $kx^2-kx+1\gt0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围。
二次项系数可能为 $0$，先单独看
开口向上 + 与 $x$ 轴无交点
$k=4$ 时 $\Delta=0$，$x=\frac12$ 处取到 $0$，不满足 $\gt0$
**易错：**漏掉 $k=0$，答成 $0\lt k\lt4$。题目没说“二次不等式”，二次项系数就可能是 $0$。
已知 $a\gt b$，下列一定成立的是
答案C
乘 $-1$ 变号，再加 $1$ 不变向。
不等式 $-x^2+2x+3\ge0$ 的解集是
答案B
$(x-3)(x+1)\le0$，$-1\le x\le3$。
关于 $x$ 的不等式 $ax^2+2x+1\gt0$ 的解集为 $\mathbb R$，则 $a$ 的范围是
答案D
$a=0$ 不行；$a\gt0$ 且 $\Delta=4-4a\lt0$，得 $a\gt1$。和例 2 对比：这里 $a=0$ 恰好要排除。
相关专题：C02 基本不等式 · D08 三次函数 · F01 恒成立与存在性
$a,b\gt0$ 时 $\dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$，等号当且仅当 $a=b$。把它和调和平均、平方平均连起来就是均值链 $H\le G\le A\le Q$。用它求最值要过三关：一正、二定、三相等。
算术平均
几何平均
调和平均
平方平均
当且仅当 $a=b$ 时，四条线段相等，均值链同时取等。
| 关卡 | 含义 | 反例 |
|---|---|---|
| 一正 | 各项为正 | $x\lt0$ 时 $x+\frac1x\le-2$，不是 $\ge2$ |
| 二定 | 和或积是定值 | $x+\frac2{x}$ 的积是 $2$，下界 $2\sqrt2$；$x^2+\frac1x$ 积不定，不能直接用 |
| 三相等 | 等号能取到 | $\sin x+\frac4{\sin x}\ge4$ 要 $\sin x=2$，取不到（例 3） |
周长一定的矩形，正方形面积最大
面积一定的矩形，正方形周长最小
$y=x+\frac1x$ 就是对勾函数：$x\gt0$ 时在 $x=1$ 处取最小值 $2$。不满足“三相等”时，改用单调性（或求导，见 D04）。
已知 $x,y\gt0$，$x+2y=1$，求 $\dfrac1x+\dfrac1y$ 的最小值。
乘“1”：把已知的和整体乘进去
一正二定
三相等：能取到
**易错：**分别用 $1=x+2y\ge2\sqrt{2xy}$ 和 $\frac1x+\frac1y\ge\frac2{\sqrt{xy}}$ 再相乘，得到 $4\sqrt2$。两次等号条件 $x=2y$ 与 $x=y$ 矛盾，不能同时取到。
若 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-xy=1$，则（ ）
A．$x+y\le1$ B．$x+y\ge-2$ C．$x^2+y^2\le2$ D．$x^2+y^2\ge1$
$xy\le\big(\frac{x+y}2\big)^2$ 对一切实数成立
取等 $x=y=\pm1$
取等 $x=-y$
这里 $x,y$ 可正可负，用的是对一切实数成立的 $ab\le\big(\frac{a+b}2\big)^2\le\frac{a^2+b^2}2$，不需要“一正”。
求 $y=\sin x+\dfrac4{\sin x}$，$x\in(0,\pi)$ 的最小值。
一正、二定都满足
三相等不满足
对勾函数，拐点在 $t=2$
“下界”和“最小值”不同：$4$ 是下界，但图像碰不到它。能碰到的最低点才是最小值。
$x\gt1$ 时，$x+\dfrac4{x-1}$ 的最小值是
答案B
$(x-1)+\frac4{x-1}+1\ge4+1=5$，$x=3$ 时取等。
$a,b\gt0$，$a+b=1$，则 $\dfrac1a+\dfrac4b$ 的最小值是
答案C
$(\frac1a+\frac4b)(a+b)=5+\frac ba+\frac{4a}b\ge9$，$b=2a$，即 $a=\frac13,b=\frac23$ 取等。
下列不等式对一切实数 $a,b$ 都成立的是
答案C
$\big(\frac{a+b}2\big)^2-ab=\big(\frac{a-b}2\big)^2\ge0$，不需要正数。例 2 用的就是它。
相关专题：C01 不等式性质 · C03 柯西不等式 · C04 权方和 · C05 琴生不等式
$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2)^2$。“平方和乘平方和”能控制“乘积和”的平方。用它求最值，关键在于把目标式写成乘积和，同时让另一边是已知的定值。
数量积的定义
坐标写出来
拉格朗日恒等式，展开即得
夹角为 $0$ 或 $\pi$
右边的“差”恰好是 $(a_1b_2-a_2b_1)^2$，即以 $\vec a,\vec b$ 为邻边的平行四边形面积的平方。面积为 0（共线）时取等。
| 不等式 | 取等 | |
|---|---|---|
| 二维 | $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$ | $ad=bc$ |
| $n$ 维 | $\Big(\sum a_i^2\Big)\Big(\sum b_i^2\Big)\ge\Big(\sum a_ib_i\Big)^2$ | $\dfrac{a_1}{b_1}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}$ |
| 根式型 | $\sum\sqrt{x_i}\le\sqrt{n\sum x_i}$（取 $b_i=1$） | $x_1=\cdots=x_n$ |
$n$ 维的证明：$\displaystyle\sum_i(a_it-b_i)^2\ge0$ 对一切 $t$ 成立，这是关于 $t$ 的二次式，判别式 $\le0$ 即得。
目标 $=$ 乘积和，条件 $=$ 平方和，直接套
取等点要在约束上，验证一下
平方和里是什么，乘积和里就写什么
配凑口诀：先认清条件里的“平方项”（如 $x^2$、$(2y)^2$、$3a+1$），目标式中对应的项写成“平方项的根 × 系数”，系数组成另一个向量。
已知 $x^2+4y^2=4$，求 $x+y$ 的最大值。
配出条件里的 $x$ 与 $2y$
柯西不等式
取等点在椭圆上，最大值可以取到
答案
几何意义：直线 $x+y=t$ 平移，与椭圆相切时 $t$ 最大。联立得 $5x^2-8tx+4t^2-4=0$，$\Delta=16(5-t^2)\ge0$，同样得 $t\le\sqrt5$。
已知 $a,b,c\gt0$，$a+b+c=1$，求 $\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$ 的最大值。
平方项是 $3a+1$ 等，它们的和是定值
$3(a+b+c)+3=6$
满足约束
答案
对比：若用均值 $\sqrt{(3a+1)\cdot1}\le\dfrac{3a+2}{2}$，三式相加只得 $\le\dfrac92$，因为取等要 $3a+1=1$，与 $a=\frac13$ 对不上。改成 $\sqrt{(3a+1)\cdot2}\le\dfrac{3a+3}2$（取等 $3a+1=2$），相加得 $\le\dfrac{12}{2\sqrt2}=3\sqrt2$。先猜取等点，再配凑。
| 步骤 | 做什么 | 例 1 中 |
|---|---|---|
| 1. 定“平方和” | 找出条件中为定值的平方和（或一次和） | $x^2+(2y)^2=4$ |
| 2. 配“乘积和” | 目标式每项写成“平方项的根 × 系数” | $x\cdot1+2y\cdot\frac12$ |
| 3. 验取等 | 比例相等，并代回约束求出取等点 | $x=4y$，$y=\frac1{\sqrt5}$ |
**易错 1：取等条件不满足约束。**例如 $x,y\gt0$、$x+y=1$，若对 $\sqrt x+\sqrt{2y}$ 用 $(1+1)(x+2y)$，右边 $x+2y$ 不是定值，求不出最大值。应写成 $1\cdot\sqrt x+\sqrt2\cdot\sqrt y$，得 $\le\sqrt{3(x+y)}=\sqrt3$，取等 $y=2x$，即 $x=\frac13$。
**易错 2：忘了验取等。**只得到“$\le$ 某数”还不是最大值，必须找到取等点并检验它在定义域、约束内。
**易错 3：方向用反。**柯西给的是“乘积和 $\le$”，所以适合求乘积和（一次式）的最大值、平方和的最小值。
**和均值不等式的关系。**$b_i=1$ 时 $\big(\sum a_i\big)^2\le n\sum a_i^2$，就是“算术平均 $\le$ 平方平均”（C02）。
已知 $x^2+y^2=4$，则 $x+\sqrt3y$ 的最大值为
答案B
$(x+\sqrt3y)^2\le(1+3)(x^2+y^2)=16$，取等 $y=\sqrt3x$，$x=1,y=\sqrt3$。
已知 $a,b\gt0$，$a+b=1$，求 $\sqrt{a}+\sqrt{2b}$ 的最大值，合适的写法是
答案C
$(1\cdot\sqrt a+\sqrt2\cdot\sqrt b)^2\le(1+2)(a+b)=3$，取等 $b=2a$，$a=\frac13$，最大值 $\sqrt3$。
$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1+a_2b_2)^2$ 成立的充要条件是
答案A
差为 $(a_1b_2-a_2b_1)^2$，为 0 即向量共线。
相关专题：C02 基本不等式 · C04 权方和不等式 · C05 琴生不等式
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{b_n}\ge\dfrac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{b_1+\cdots+b_n}$（$b_i\gt0$）。它是柯西不等式换了个写法，专门处理“几个分式之和的最小值”。
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{b_i}\ge\frac{\big(\sum a_i\big)^2}{\sum b_i}\quad(b_i\gt0)$
两个向量取 $\frac{a_i}{\sqrt{b_i}}$ 与 $\sqrt{b_i}$
柯西取等：两向量成比例
通分后分子是 $a_1^2b_2^2-2a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2$
推广（$r\gt0$）：$\displaystyle\sum\frac{a_i^{r+1}}{b_i^{r}}\ge\frac{\big(\sum a_i\big)^{r+1}}{\big(\sum b_i\big)^{r}}$，$a_i,b_i\gt0$，取等仍是 $\dfrac{a_i}{b_i}$ 为常数。$r=1$ 就是上面的形式。
已知 $0\lt x\lt\dfrac12$，求 $f(x)=\dfrac2x+\dfrac9{1-2x}$ 的最小值。
先凑分母之和为定值
分子写成平方
权方和
验证 $f\big(\frac15\big)=10+15=25$
同一题用“1 的代换”（C02）：$f=\Big(\dfrac4{2x}+\dfrac9{1-2x}\Big)\big[2x+(1-2x)\big]=13+\dfrac{4(1-2x)}{2x}+\dfrac{18x}{1-2x}\ge13+12=25$。权方和把这一步一次做完。
已知 $x,y\gt0$，$x+y=1$，求 $\dfrac1{x^2}+\dfrac8{y^2}$ 的最小值。
分母的次数 $r$，分子的次数 $r+1$
分子写成立方
推广的权方和
取等点满足约束
若硬用 $r=1$：$\dfrac{1^2}{x^2}+\dfrac{(2\sqrt2)^2}{y^2}$，分母之和 $x^2+y^2$ 不是定值，做不下去。分母的形式决定 $r$。
| 信号 | 做法 | 例 |
|---|---|---|
| 几个分式之和求最小值，分母之和（或线性组合）为定值 | 分子写成平方，分母凑成定值和 | $\frac1x+\frac4y$，$x+y=1$：$\ge\frac{(1+2)^2}{1}=9$ |
| 分母带系数 | 分子分母同乘，使分母之和为定值 | 例 1：$\frac2x=\frac4{2x}$ |
| 分母是平方、条件是一次和 | 推广形式 $r=2$ | 例 2 |
**易错 1：分母之和不是定值。**$\frac2x+\frac9{1-2x}\ge\frac{(\sqrt2+3)^2}{1-x}$ 右边含 $x$，不能作为最小值。
**易错 2：分子没写成平方。**$\frac{a_i^2}{b_i}$ 里分子是平方，求和时用的是 $a_i$ 本身：$\frac9{y}$ 对应 $a=3$，不是 $9$。
**易错 3：$b_i$ 必须为正。**若 $x\lt0$ 或 $1-2x\lt0$，不等式不成立；先确认定义域。
**易错 4：忘验取等。**$\frac{a_i}{b_i}$ 相等解出的 $x$ 要落在定义域内，否则下界取不到。
已知 $x,y\gt0$，$x+y=1$，则 $\frac1x+\frac4y$ 的最小值为
答案C
$\frac{1^2}x+\frac{2^2}y\ge\frac{(1+2)^2}{x+y}=9$，取等 $y=2x$，$x=\frac13$。
$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}=\frac{(a_1+a_2)^2}{b_1+b_2}$（$b_1,b_2\gt0$）成立的条件是
答案B
差为 $\frac{(a_1b_2-a_2b_1)^2}{b_1b_2(b_1+b_2)}$。
已知 $0\lt x\lt1$，$\frac1x+\frac9{1-x}$ 的最小值及取等点为
答案D
$\frac{1^2}x+\frac{3^2}{1-x}\ge\frac{(1+3)^2}{1}=16$，$\frac1x=\frac3{1-x}$ 得 $x=\frac14$，验证 $4+12=16$。
相关专题：C03 柯西不等式 · C02 基本不等式 · C05 琴生不等式
“先平均再取函数值”与“先取函数值再平均”谁大？由凹凸性决定。下凸函数 $f\big(\frac{x_1+x_2}2\big)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，上凸函数反过来。均值不等式、三角形中的最值、“和为定值”的对称式，都是它的特例。
下凸（凸函数）：弦在曲线上方，$M$ 高于 $Q$
定比分点：横、纵坐标按同一比例加权
弦在曲线上方：$Q$ 在 $M$ 下方
$\ln x$、$\sqrt x$、$\sin x\ (0\le x\le\pi)$
D06：$f'$ 递增，切线越转越陡
$\lambda=\frac12$ 就是“中点版”：$f\big(\frac{x_1+x_2}2\big)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$。“函数值的平均 ≥ 平均处的函数值”，下凸时成立。
叫法不统一：本课件“凸函数”=“下凸”（像碗口朝上，$f''\ge0$），与 D06 一致。做题时以 $f''$ 的符号为准，不要只记名字。
上凸（凹函数）：弦在曲线下方，$M$ 低于 $Q$
![sin x，[0,π]（上凸）](book-01/images/C05-f4.png)
上凸（凹函数）：弦在曲线下方，$M$ 低于 $Q$
$f$ 在 $I$ 上下凸，$x_i\in I$，$\lambda_i\ge0$，$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$，则 $$f\Big(\sum\lambda_ix_i\Big)\le\sum\lambda_if(x_i)$$ 取等：$x_i$ 全相等（或 $f$ 为一次函数）。上凸时反向。$\lambda_i=\frac1n$ 即等权形式。
图中 $n=3$：三角形在曲线下方（$\ln x$ 上凸）
等权琴生
$G\le A$：C02 的均值不等式
整条均值链 $H\le G\le A\le Q$ 都是琴生的特例
琴生是“多个变量、和为定值”这类问题的总开关：$\sum x_i$ 固定，求 $\sum f(x_i)$ 的最值，看 $f$ 的凹凸性，取等在“全相等”。
在 $\triangle ABC$ 中，证明：$\sin A+\sin B+\sin C\le\dfrac{3\sqrt3}2$。
先确认凹凸性和区间：$A,B,C\in(0,\pi)$
等权琴生；$A+B+C=\pi$ 是定值
取等：三个自变量相等
图中三点重心的横坐标恒为 $\frac{A+B+C}3=\frac\pi3$，重心只能在竖线 $x=\frac\pi3$ 上移动，最高到 $\big(\frac\pi3,\frac{\sqrt3}2\big)$。紫色虚线是该点的切线 $\ell$：上凸曲线在切线下方，$\sin x\le\ell(x)$ 三式相加，$\ell(A)+\ell(B)+\ell(C)=3\cdot\frac{\sqrt3}2$——这就是第 4 步要讲的切线法。
已知 $x,y\gt0$，$x+y=1$，证明：$\Big(x+\dfrac1x\Big)^2+\Big(y+\dfrac1y\Big)^2\ge\dfrac{25}2$。
展开后再求导，最省事
草稿上：猜出取等点 $x=y=\frac12$ 和最值
在取等点作切线
下凸 ⇒ 曲线在切线上方，用导数严格写出
切线的一次项因 $x+y=1$ 消掉
弦 $XY$ 的中点 $M$ 恒在竖线 $t=\frac12$ 上，且不低于 $\big(\frac12,\frac{25}4\big)$：这就是 $\frac{f(x)+f(y)}2\ge\frac{25}4$。
| 步骤 | 做什么 | 例 1（$\sin$，上凸） |
|---|---|---|
| 1. 识别 | 若干变量的和为定值，目标是 $\sum f(x_i)$ | $A+B+C=\pi$，目标 $\sum\sin$ |
| 2. 判凹凸 | 求 $f''$，确认在变量所在区间上不变号 | $(0,\pi)$ 上 $-\sin x\lt0$ |
| 3. 猜取等 | 琴生：变量全相等，得最值 | $A=B=C=\frac\pi3$，最大值 $\frac{3\sqrt3}2$ |
| 4. 写证明 | 在取等点 $t_0$ 作切线 $\ell(t)=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)$，用导数证 $f\ge\ell$（或 $\le$），再相加 | $\sin x\le\frac{\sqrt3}2+\frac12\big(x-\frac\pi3\big)$，相加时一次项因 $\sum(x_i-\frac\pi3)=0$ 消掉 |
易错 1：凹凸方向弄反。下凸（$f''\ge0$）给出“函数值的平均 $\ge$ 平均处的函数值”，求的是最小值；上凸反之，求最大值。拿不准就画一条弦看看。
**易错 2：区间不在凸区间内。**$\sin x$ 只在 $[0,\pi]$ 上上凸；若变量可以跑到凹凸性改变的地方（如 $\sin$ 在 $(\pi,2\pi)$），琴生不能整体使用。先看 $f''$ 在所有变量的取值范围上是否同号。
**易错 3：解答题直接引用琴生。**琴生不等式不在教材内，高考解答题直接写“由琴生不等式”可能不给分。用切线法改写：$f\ge\ell$ 用导数单独证明，过程完全在教材范围内。
易错 4：漏掉取等条件的验证。“和为定值、全相等时取等”要检查全相等的点在定义域内、满足约束；不满足时最值在边界取得，琴生只给出一个达不到的界。
切线法为什么一定能消掉一次项：切线 $\ell(t)=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)$，取 $t_0=\frac{s}{n}$（$s=\sum x_i$），则 $\sum(x_i-t_0)=0$，求和后只剩 $nf(t_0)$。所以切点必须选在取等点。
$f$ 在 $I$ 上下凸（$f''\gt0$），$x_1\ne x_2\in I$，则
答案B
弦的中点 $M$ 在曲线上点 $Q$ 的上方。
$a,b,c\gt0$，$a+b+c=3$，$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$ 的最大值是
答案C
$\sqrt x$ 上凸（$f''=-\frac14x^{-3/2}\lt0$），$\sum\sqrt a\le3\sqrt{\frac{a+b+c}3}=3$，$a=b=c=1$ 取等。
解答题中证明 $\sum f(x_i)\ge nf(t_0)$（$\sum x_i=nt_0$，$f$ 下凸），规范写法是
答案A
用导数证 $f(t)\ge f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)$，求和时一次项为 0。
相关专题：D06 凹凸性与拐点 · C02 基本不等式与均值链 · E02 切线放缩
平均变化率是割线的斜率；让 $\Delta x\to0$，割线转到切线的位置，斜率的极限就是导数。
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
先算 $\Delta y$，再除以 $\Delta x$
右边读数里的“理论值”就是它
几何上：平均变化率 = 割线 $AB$ 的斜率。物理上：位移 $s(t)$ 的平均变化率是平均速度。
| $\Delta x$ | 割线斜率 | $\Delta x$ | 割线斜率 |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 2.5000 | -0.5 | 1.5000 |
| 0.1 | 2.1000 | -0.1 | 1.9000 |
| 0.01 | 2.0100 | -0.01 | 1.9900 |
| 0.001 | 2.0010 | -0.001 | 1.9990 |
$\Delta x$ 从正、负两边趋于 $0$，割线斜率趋于同一个数，这个数就是 $f'(x_0)$。两边极限不相等（如 $y=|x|$ 在 $x=0$）就不可导。
几何意义：$f'(x_0)$ 是曲线在 $A$ 处切线的斜率。切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。
| $\Delta x$ | 割线斜率 | $\Delta x$ | 割线斜率 |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.2974 | -0.5 | 0.7869 |
| 0.1 | 1.0517 | -0.1 | 0.9516 |
| 0.01 | 1.0050 | -0.01 | 0.9950 |
| 0.001 | 1.0005 | -0.001 | 0.9995 |
| $\Delta x$ | 割线斜率 | $\Delta x$ | 割线斜率 |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 0.8109 | -0.5 | 1.3863 |
| 0.1 | 0.9531 | -0.1 | 1.0536 |
| 0.01 | 0.9950 | -0.01 | 1.0050 |
| 0.001 | 0.9995 | -0.001 | 1.0005 |
简称导数；$f'(x_0)$ 是它在 $x_0$ 的函数值
切线越陡，橙点越高；切线水平，橙点在 $x$ 轴上
这是 D04“导数与单调性”的直观来源
$\sqrt x$ 在 $x=0$ 处切线竖直，斜率不存在，所以 $f'(0)$ 不存在；$\ln x$ 只在 $x\gt0$ 有定义，导数也只在 $x\gt0$ 讨论。
| 代数 | 几何 | 物理 | |
|---|---|---|---|
| 平均变化率 | $\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ | 割线斜率 | 平均速度 |
| 瞬时变化率 | $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ | 切线斜率 | 瞬时速度 $v(t_0)=s'(t_0)$ |
**易错 1：分子分母的增量要配套。**$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+2\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=2f'(x_0)$，不是 $f'(x_0)$。先把分母凑成和分子一样的增量。
**易错 2：$f'(x_0)$ 与 $[f(x_0)]'$。**$f(x_0)$ 是常数，它的导数是 $0$；$f'(x_0)$ 是先求导再代入。
**易错 3：切线与曲线不一定只有一个公共点。**$y=x^3$ 在 $(1,1)$ 处的切线 $y=3x-2$ 还与曲线交于 $(-2,-8)$。圆的切线“只有一个交点”的说法不能搬到一般曲线。
“在点”与“过点”：“在点 $A$ 处的切线”，$A$ 是切点；“过点 $A$ 的切线”，$A$ 不一定是切点。D03 详细讲。
用导数的定义求 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $x=2$ 处的导数，并求曲线在点 $\left(2,\frac12\right)$ 处的切线方程。
通分
约掉 $\Delta x$ 后再令 $\Delta x\to0$
点斜式
函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为（ ）
A. $y=-2x-1$ B. $y=-2x+1$ C. $y=2x-3$ D. $y=2x+1$
先求切点
斜率 = 切点处的导数值
“在点”：给的点就是切点
若 $f'(x_0)=3$，则 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x}=$
答案C
分子从 $x_0-\Delta x$ 到 $x_0+\Delta x$，增量 $2\Delta x$，结果 $2f'(x_0)=6$。
物体位移 $s(t)=t^2+3t$（米），则 $t=2$ 秒时的瞬时速度为
答案B
$v(t)=s'(t)=2t+3$，$v(2)=7$。
关于曲线的切线，正确的是
答案D
导数存在 $\Rightarrow$ 割线有极限位置，切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。
关联：D02 求导运算 · D03 切线问题 · D04 单调性与极值
记住 8 个基本公式，再加上和差积商与复合两条规则，初等函数就都能求导。
$C$$x^3$$\sqrt x$$\frac1x$ $\sin x$$\cos x$$2^x$$e^x$ $\log_2x$$\ln x$
| 常数 | $C'=0$ |
|---|---|
| 幂函数 | $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ （$\sqrt x=x^{\frac12}$，$\frac1x=x^{-1}$） |
| 正弦 | $(\sin x)'=\cos x$ |
| 余弦 | $(\cos x)'=-\sin x$ |
| 指数 | $(a^x)'=a^x\ln a$ |
| 自然指数 | $(e^x)'=e^x$ |
| 对数 | $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ |
| 自然对数 | $(\ln x)'=\dfrac1x$ |
$e^x$ 和 $\ln x$ 是 $a=e$ 的特例（$\ln e=1$），所以最简洁。根式、分式先写成幂 $x^\alpha$ 再用幂函数公式。
取 $u=3$、$v=2$、$u'=1.8$、$v'=1.4$，$\Delta u\approx u'\Delta x$、$\Delta v\approx v'\Delta x$。$\Delta x$ 变小时，两条长条按 $\Delta x$ 变窄，角上小块按 $(\Delta x)^2$ 消失得更快。
左图三块：两条长条 + 角上小块
两边除以 $\Delta x$
角上小块对导数没有贡献
| 和差 | $(u\pm v)'=u'\pm v'$ |
|---|---|
| 数乘 | $(Cu)'=Cu'$ |
| 积 | $(uv)'=u'v+uv'$ |
| 商 | $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\ne0)$ |
$(uv)'\ne u'v'$。例如 $(x\cdot x)'=2x$，而 $x'\cdot x'=1$。
商的法则分子是减号，顺序不能换：先“导上乘下”，再减“上乘导下”，分母是 $v^2$。
$\sin 2x$$e^{-x^2}$$\ln(x^2+1)$$\sqrt{4-x^2}$
操作口诀：先认清外层和内层，外层对“整体 $u$”求导（$u$ 原样保留），再乘内层的导数。三层复合就乘三次。
$(\sin2x)'=\cos2x$ 是最常见的错：漏乘了内层 $(2x)'=2$，正确结果 $2\cos2x$。
指数拿下来
左边是复合：$(\ln y)'=\dfrac1y\cdot y'$
乘回 $y=x^x$
在 $\frac1e$ 左减右增
另一种写法：$x^x=e^{x\ln x}$，直接用复合函数法则 $\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}(\ln x+1)$。一般地 $u^v=e^{v\ln u}$，这也是“指对同构”（F06）的出发点。
| 错误写法 | 正确结果 | 原因 |
|---|---|---|
| $(\sin2x)'=\cos2x$ | $2\cos2x$ | 复合函数漏乘内层导数 |
| $(e^{-x})'=e^{-x}$ | $-e^{-x}$ | 内层 $(-x)'=-1$ |
| $(\ln2)'=\dfrac12$ | $0$ | $\ln2$ 是常数 |
| $(2^x)'=x\cdot2^{x-1}$ | $2^x\ln2$ | 指数函数不是幂函数 |
| $(\cos x)'=\sin x$ | $-\sin x$ | 余弦的导数带负号 |
| $\left(\dfrac{x}{e^x}\right)'=\dfrac{e^x-xe^x}{e^x}$ | $\dfrac{e^x-xe^x}{e^{2x}}=\dfrac{1-x}{e^x}$ | 商的分母是 $v^2$ |
| $(\log_2x)'=\dfrac{1}{x}\ln2$ | $\dfrac{1}{x\ln2}$ | $\ln a$ 在分母 |
**先化简再求导。**$y=\ln\sqrt{x}=\frac12\ln x$，$y'=\dfrac1{2x}$；$y=\dfrac{x^2+\sqrt x}{x}=x+x^{-\frac12}$，不必用商的法则。
**求导后整理成因式。**例如 $(x^2e^x)'=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$。D04、D05 讨论单调性时，要看的就是这些因式的符号。
曲线 $y=3(x^2+x)e^x$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为＿＿＿＿。
积的法则，再提公因式 $e^x$
切点 $(0,0)$ 在曲线上
点斜式
曲线 $y=\dfrac{2x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为＿＿＿＿。
商的法则，分子先展开化简
验证：$\frac{2(-1)-1}{-1+2}=-3$，点在曲线上
点斜式
$(\sin2x)'=$
答案B
外层 $\sin u$ 求导得 $\cos u$，再乘 $(2x)'=2$。
$f(x)=x\ln x$，则 $f'(e)=$
答案C
$f'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1$，$f'(e)=2$。
$y=\ln(2x)$，则 $y'=$
答案D
$\ln(2x)=\ln2+\ln x$，导数是 $\frac1x$；用复合法则 $\frac1{2x}\cdot2$ 结果相同。
关联：D01 导数的概念 · D03 切线问题 · D04 单调性与极值
不管是在点、过点还是公切线，都先设切点 $(t,f(t))$，写出切线 $y=f'(t)(x-t)+f(t)$，再把条件翻译成关于 $t$ 的方程。
切点未知，先设出来
把 $M$ 代入切线
每个根 $t$ 对应一条切线
$M$ 在曲线上，过它的切线却有两条
“在点 $M$ 处”：$M$ 就是切点，只有一条。“过点 $M$”：$M$ 可能不是切点，要解方程看有几个 $t$。
斜率 $e^t$，截距 $e^t(1-t)$
斜率 $\frac1s$，截距 $\ln s-1$
先消去 $s$
下图 $h(t)$ 的零点就是公切线的切点
$h(t)=0\iff h(-t)=0$
$y=x+1$ 切 $e^x$ 于 $(0,1)$，$y=x-1$ 切 $\ln x$ 于 $(1,0)$：它们平行，不是公切线。
| 题型 | 已知 | 做法 | 未知数 |
|---|---|---|---|
| 在点 $P$ 处 | 切点 $P(x_0,f(x_0))$ | $k=f'(x_0)$，点斜式 | 无 |
| 过点 $M$ | 切线上一点 $M$（不一定是切点） | 设切点 $t$，把 $M$ 代入切线，解 $t$ | $t$ |
| 已知斜率 $k$ | $f'(t)=k$ | 解 $t$，再求切点 | $t$ |
| 公切线 | 两曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ | 各设切点 $t$、$s$：斜率相等、截距相等 | $t,s$ |
| 切线条数（含参） | 过 $M$ 的切线有 $n$ 条 | 转化为 $g(t)=0$ 有 $n$ 个根：分离参数或看 $g$ 的极值 | $t$，参数 |
**易错 1：把“过点”当“在点”。**题目给的点即使在曲线上，“过点”也要设切点，否则会漏解（如 $y=x^3$ 过 $(1,1)$ 有两条）。
**易错 2：切点要同时满足两条。**切点在曲线上：$y_0=f(t)$；切点处斜率：$k=f'(t)$。只用一条会多出未知数。
**切线条数 ⇔ 方程根数。**$g(t)=0$ 的根数可以用 D04 的单调性、极值判断，或分离参数后看水平线与图像的交点（D07、F02）。
**切线是放缩的工具。**凸函数图像在切线上方：$e^x\ge x+1$、$\ln x\le x-1$ 都是切线不等式（E01、E02）。
若曲线 $y=(x+a)e^x$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是＿＿＿＿。
设切点
$e^t\gt0$ 可约去
不同切点给出不同切线
图示参数取值用于核验切线条数的分类结论。
已知 $f(x)=x^3-x$，$g(x)=x^2+a$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,f(x_1))$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线。
(1) 若 $x_1=-1$，求 $a$；(2) 求 $a$ 的取值范围。
先用斜率找 $g$ 上的切点
斜率 $k=3x_1^2-1$
抛物线与直线相切用判别式
代入 $k$ 展开
两个极小值中较小的是最小值
$x_1$ 取遍实数
过点 $(1,0)$ 作曲线 $y=x^2$ 的切线，切线有几条？
答案C
切线 $y=2tx-t^2$ 过 $(1,0)$：$t^2-2t=0$，$t=0$ 或 $2$，切线 $y=0$ 与 $y=4x-4$。
曲线 $y=e^x$ 过原点的切线方程为
答案B
切线 $y=e^t(x-t)+e^t$ 过原点：$e^t(1-t)=0$，$t=1$，切线 $y=ex$。
关于直线 $y=x+1$ 与 $y=x-1$，正确的是
答案B
前者切 $e^x$ 于 $(0,1)$，后者切 $\ln x$ 于 $(1,0)$，斜率相同但截距不同。
关联：D01 导数的概念 · D08 三次函数 · E02 切线放缩
$f'(x)$ 是切线斜率。$f'\gt0$ 的地方图像上升，$f'\lt0$ 的地方下降，$f'$ 变号的地方就是极值点。最值则是极值和端点值放在一起比较。
$x^3-3x$$xe^x$$\dfrac{\ln x}{x}$ 在 P 处 f′>0：f 递增 ↗
切线斜率为正，图像上升
定义域放第一步
分解后看各因式符号
对应下图绿、红两段
两个增区间之间用“，”或“和”，不能用“∪”：$x^3-3x$ 在 $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ 上并不递增（如 $f(-1.5)\gt f(1.2)$）。
$f'\gt0\Rightarrow$ 递增，反过来不成立：$x^3$ 递增，但 $f'(0)=0$。所以“$f$ 在区间上递增”要翻译成 $f'(x)\ge0$（且不恒为 $0$）。
$x^3-3x$$x^3$$x^4-2x^3$
先升后降是“山顶”，先降后升是“山谷”
$x^2\ge0$ 不影响符号
偶次因式的根不变号
| $x$ | $(-\infty,0)$ | $0$ | $(0,\frac32)$ | $\frac32$ | $(\frac32,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘ | $0$ | ↘ | 极小 $-\frac{27}{16}$ | ↗ |
$f'(x_0)=0$ 是可导函数在 $x_0$ 取极值的必要不充分条件。已知极值点求参数后，一定要回代检验 $f'$ 是否变号。
极值点是一个数 $x_0$，不是点 $(x_0,f(x_0))$；极值是函数值 $f(x_0)$。极大值不一定比极小值大。
![f(x)=x^3-3x 在 [a,b] 上的最大值、最小值](book-01/images/D04-f5.png)
区间外的极值点不参加比较
连续函数在闭区间上一定有最大、最小值
不用判断哪个是极大、哪个是极小
极值和端点值可以相等
极值是“局部”概念，最值是“整体”概念。区间里没有极值点时，最值在端点取到（如 $[-\frac12,\frac12]$ 上 $f$ 单调递减）。
开区间或无穷区间上不一定有最值，要看端点处的极限（例如 $\frac{\ln x}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有最大值 $\frac1e$，没有最小值）。
已知函数 $f(x)=e^x\cos x-x$。
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；
(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac\pi2\right]$ 上的最大值和最小值。
斜率为 0 的切线是水平线
导函数的单调性也用导数判断
$f'\lt0$
单调时最值在端点
![函数 f(x)=\cos x+x-1 在 [0,\pi/2] 上递减及端点函数值](book-01/images/D04-f6.png)
已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$ 在 $x=1$ 处有极值 $10$，求 $a$、$b$。
两个条件列两个方程
消去 $b$：$a^2-a-12=0$
$f'(1)=0$ 只是必要条件
对照两组候选参数，只有导数在驻点两侧变号时该点才是极值点。
关于 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处，正确的是
答案C
$f'(x)=3x^2\ge0$，在 $0$ 两侧不变号，$f$ 一直递增。
$f(x)=x-\ln x$ 的单调递减区间是
答案B
定义域 $(0,+\infty)$，$f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}\lt0\iff0\lt x\lt1$。
$f(x)=x^3-3x$ 在 $[0,2]$ 上的最大值、最小值分别是
答案A
候选：$f(0)=0$，$f(1)=-2$，$f(2)=2$，最大 $2$，最小 $-2$。
关联：D05 含参单调性 · D07 八大母函数 · F01 恒成立与存在性
参数一变，$f'$ 的零点就会出现、消失、移出定义域或者两两相撞。这些“变化的瞬间”就是分类的分界点。下图只画 $f'$ 中决定符号的那一部分。
通分
分母恒正，不影响符号
直线不过 $x$ 轴正半轴
分界点 $a=0$：一次项系数为 $0$
| $a$ 的范围 | $f'$ 的零点 | 单调性 |
|---|---|---|
| $a\le0$ | 无 | $(0,+\infty)$ 上递减 |
| $a\gt0$ | $x=\frac1a$ | $(0,\frac1a)$ 递减，$(\frac1a,+\infty)$ 递增 |
$a=0.5\gt0\text{：零点 }x=\tfrac1a\approx2\text{，先减后增}$
定义域 $(0,+\infty)$
分界点 $a=0$、$a=1$
| $a$ 的范围 | 递增区间 | 递减区间 |
|---|---|---|
| $a\le0$ | $(1,+\infty)$ | $(0,1)$ |
| $0\lt a\lt1$ | $(0,a)$，$(1,+\infty)$ | $(a,1)$ |
| $a=1$ | $(0,+\infty)$ | 无 |
| $a\gt1$ | $(0,1)$，$(a,+\infty)$ | $(1,a)$ |
$a=1\text{：两根重合，}f'=\tfrac{(x-1)^2}{x}\ge0$
$a=1$ 时 $f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\ge0$，$x=1$ 是 $f'$ 的零点但不变号，$f$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增。这一档单独写出来。
| 顺序 | 问什么 | 分界点来自 | 例子 |
|---|---|---|---|
| 0 | 定义域是什么？$f'$ 里哪些因式恒正？ | （先提出恒正因式：$x$、$e^x$、$x^2+1$ 等） | $\dfrac{ax-1}{x}$ 只看 $ax-1$ |
| 1 | 剩下部分的最高次项系数是否为 $0$？正还是负？ | 系数 $=0$ | $ax-1$：$a=0$ |
| 2 | 有没有零点？ | 二次式 $\Delta=0$；一次式系数 $=0$；指数型 $ae^x-1$ 中 $a=0$ | $x^2-ax+1$：$a=\pm2$ |
| 3 | 零点在不在定义域内？有两个时谁大？ | 根 $=$ 定义域端点；两根相等 | $(x-1)(x-a)$：$a=0$、$a=1$ |
**能分解先分解。**能写成 $(x-1)(x-a)$ 就直接比较两根，不必算 $\Delta$；分解不了才用 $\Delta$ 和韦达定理。
**结论按参数分段写。**每一段写清递增区间、递减区间；最后用“综上”把各段汇总，相同结论的段可以合并（如例 1 的 $a\le2$）。
**易错：只看 $\Delta$，不看根的位置。**$x^2-ax+1$ 在 $a\lt-2$ 时 $\Delta\gt0$，但两根都是负数，不在 $(0,+\infty)$ 内。
**易错：漏掉“相等”的一档。**两根重合（$a=1$）或系数为 $0$（$a=0$）时单调性往往不同，要单独写或明确并到某一段。
已知函数 $f(x)=\dfrac1x-x+a\ln x$，讨论 $f(x)$ 的单调性。
只看 $x^2-ax+1$ 的符号（注意前面的负号）
$a\lt-2$ 时虽 $\Delta\gt0$，但两根为负
韦达定理判断根的位置
下图开口向下：两根之间为正
已知函数 $f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$，讨论 $f(x)$ 的单调性。
把 $e^x$ 看成 $t$：$2at^2+(a-2)t-1=(at-1)(2t+1)$
提出恒正因式
分界点 $a=0$
$ae^x-1$ 关于 $x$ 递增
讨论 $f(x)=x-a\ln x$ 的单调性时，参数 $a$ 的分界点是
答案A
$f'(x)=\frac{x-a}{x}$，零点 $x=a$ 要和定义域端点 $0$ 比较。
已知 $f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-a)}{x}$（$x\gt0$），当 $0\lt a\lt1$ 时，$f$ 的单调递减区间是
答案B
两根之间 $(x-1)(x-a)\lt0$。
$f(x)=e^x-ax$，当 $a\gt0$ 时，$f$ 的单调递减区间是
答案C
$f'(x)=e^x-a\lt0\iff x\lt\ln a$。
关联：D04 单调性与极值 · F01 恒成立与存在性 · F02 零点个数
$f'$ 的符号决定 $f$ 升还是降，$f''$ 的符号决定切线斜率变大还是变小，也就是曲线弯向哪边。曲线在切线的哪一侧，正是切线放缩的依据。
在 P 处 f″>0：切线越转越陡，曲线在切线上方（下凸）
$f''$ 是 $f'$ 的导数
如 $e^x$、$x^2$
如 $\ln x$、$\sqrt x$
“凹”“凸”各书叫法不一，以 $f''$ 的符号为准
| $f'$ 的符号 | $f''$ 的符号 | |
|---|---|---|
| 决定 | 升还是降 | 弯向哪边 |
| 几何 | 切线斜率正负 | 切线斜率变大还是变小 |
| “$=0$ 且变号”的点 | 极值点 | 拐点 |
拐点是曲线上的点，写坐标
三次函数的拐点就是对称中心（D08）
和 $x^3$ 在 $0$ 处“$f'=0$ 但不是极值点”同理
放缩时要找“曲线整段都在切线同一侧”的区间，就得先看清拐点在哪。
图中弦的中点 $M$ 高于 $N$
这就是琴生不等式的雏形（C05）
切线放缩、割线放缩（E02）
如 $\ln\frac{x_1+x_2}2\ge\frac{\ln x_1+\ln x_2}2$，即均值不等式
已知函数 $f(x)=2\sin x-x\cos x-x$，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导数。
(1) 证明：$f'(x)$ 在区间 $(0,\pi)$ 存在唯一零点；
(2) 若 $x\in[0,\pi]$ 时，$f(x)\ge ax$，求 $a$ 的取值范围。
$f'$ 本身是“新函数”
$x=\frac\pi2$ 是 $f$ 的拐点横坐标
单调 + 端点异号 ⇒ 唯一零点
两端为零，中间先升后降
端点 $x=\pi$ 处卡住
![f(x)=2\sin x-x\cos x-x 与直线 y=ax 在 [0,\pi] 上的比较](book-01/images/D06-f6.png)
$f(x)=x^3-3x^2$ 的拐点是
答案B
$f''=6x-6$ 在 $x=1$ 处变号，$f(1)=-2$。
关于 $f(x)=x^4$ 在 $x=0$ 处，正确的是
答案C
$f''=12x^2\ge0$，曲线始终向下凸。
若在区间 $I$ 上 $f''(x)\gt0$，则一定有
答案A
$f''\gt0$ 时曲线下凸，在切线上方。
关联：D04 单调性与极值 · E02 切线放缩与割线放缩 · C05 琴生不等式 · D08 三次函数
压轴题里的函数，拆开多半是这八个之一。记住它们的图像，参变分离后“数交点”就有了依据。
$e^x$ 与 $\ln x$ 分别和 $x$ 做乘、除、减，得到 8 个函数（$\ln x\cdot\dfrac1x$ 记作 $\dfrac{\ln x}{x}$）。图像形状随参数 $a$ 改变；方程 $f(x)=b$ 的根数由水平线 $y=b$ 与图像的交点数确定。
$xe^{x}$$\dfrac{x}{e^{x}}$$\dfrac{e^{x}}{x}$$e^{x}-x$$x\ln x$$\dfrac{\ln x}{x}$$\dfrac{x}{\ln x}$$\ln x-x$
$f(x)=xe^{ax}$乘积型 · 指数
$f'(x)=(1+ax)e^{ax}$
| 函数 | 定义域 | 导数 | 极值 | 值域 | 渐近线 / 端点 | 零点 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $xe^x$ | $\R$ | $(x+1)e^x$ | 极小 $f(-1)=-\frac1e$ | $\left[-\frac1e,+\infty\right)$ | $x\to-\infty$，$y\to0^-$ | $0$ |
| $\dfrac{x}{e^x}$ | $\R$ | $\dfrac{1-x}{e^x}$ | 极大 $f(1)=\frac1e$ | $\left(-\infty,\frac1e\right]$ | $x\to+\infty$，$y\to0^+$ | $0$ |
| $\dfrac{e^x}{x}$ | $x\ne0$ | $\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$ | 极小 $f(1)=e$ | $(-\infty,0)\cup[e,+\infty)$ | $x=0$；$x\to-\infty$，$y\to0^-$ | 无 |
| $e^x-x$ | $\R$ | $e^x-1$ | 极小 $f(0)=1$ | $[1,+\infty)$ | $x\to-\infty$ 贴近 $y=-x$ | 无 |
| $x\ln x$ | $(0,+\infty)$ | $\ln x+1$ | 极小 $f\!\left(\frac1e\right)=-\frac1e$ | $\left[-\frac1e,+\infty\right)$ | $x\to0^+$，$y\to0^-$ | $1$ |
| $\dfrac{\ln x}{x}$ | $(0,+\infty)$ | $\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ | 极大 $f(e)=\frac1e$ | $\left(-\infty,\frac1e\right]$ | $x=0$；$x\to+\infty$，$y\to0^+$ | $1$ |
| $\dfrac{x}{\ln x}$ | $(0,1)\cup(1,+\infty)$ | $\dfrac{\ln x-1}{\ln^2x}$ | 极小 $f(e)=e$ | $(-\infty,0)\cup[e,+\infty)$ | $x=1$；$x\to0^+$，$y\to0^-$ | 无 |
| $\ln x-x$ | $(0,+\infty)$ | $\dfrac1x-1$ | 极大 $f(1)=-1$ | $(-\infty,-1]$ | $x=0$ | 无 |
竖着比：上下两行的极值相同（$-\frac1e$、$\frac1e$、$e$、$\pm1$），只是极值点从 $x_0$ 变成了 $e^{x_0}$。原因在第 4 步。
“趋于”不等于“取到”：$x\ln x$ 在 $0^+$ 处趋于 $0$ 但取不到，$\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $+\infty$ 处趋于 $0$ 也取不到。数交点时端点要单独判断。
有 $\ln x$ 就先写 $x>0$
商的求导；分母 $x^2>0$，符号只看分子 $1-\ln x$
对照下图：橙线在 $x=e$ 穿过 $x$ 轴
分子 $\ln x$ 定号，分母 $x>0$
对数增长比一次函数慢（E 组会证明 $\ln x\lt \sqrt x$ 等）
水平线从下往上扫，数它与曲线的交点
$x=e^{\ln x}$（$x>0$）
每个对数型都是一个指数型“换了横坐标”
所以值域、极值相同；极值点 $t_0\mapsto e^{t_0}$
不用再求一次导
这就是“指对同构”的起点：看到 $xe^x$ 与 $x\ln x$、$e^x-x$ 与 $x-\ln x$ 同时出现，先想换元。详见 F06。
| 题目信号 | 化成 | 然后 |
|---|---|---|
| $e^x=ax$ 的根、$e^x\ge ax$ 恒成立 | $a=\dfrac{e^x}{x}$（注意 $x$ 的正负） | 看 $\dfrac{e^x}{x}$ 两支：$x>0$ 一支最小值 $e$ |
| $\ln x=ax$ 的根 | $a=\dfrac{\ln x}{x}$ | $0\lt a\lt \dfrac1e$ 两根 |
| $a^x=x^a$、$x^{\frac1x}$、比较 $\dfrac{\ln a}{a}$ 型大小 | 两边取对数 $\Rightarrow\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln a}{a}$ | 同一个函数的两个函数值 |
| $xe^x=b$、$x\ln x=b$ | 直接看图 | $-\dfrac1e\lt b\lt 0$ 两根 |
| $xe^x$ 与 $x\ln x$（或 $e^x-x$ 与 $x-\ln x$）同时出现 | 令 $t=\ln x$ 换元 | 两个问题化成一个（F06 同构） |
**易错 1：端点取不到。**$\dfrac{\ln x}{x}=b$ 在 $b=0$ 时只有一根 $x=1$——右端 $f\to0^+$ 但永远不等于 $0$。
**易错 2：定义域漏点。**$\dfrac{x}{\ln x}$ 要求 $x\ne1$；$\dfrac{e^x}{x}$ 是两支，$x\lt 0$ 那一支全在 $x$ 轴下方。
**易错 3：除以 $x$ 前看符号。**$e^x\ge ax$ 对 $x\in\R$ 恒成立：$x>0$ 得 $a\le e$，$x\lt 0$ 得 $a\ge0$，$x=0$ 恒成立，所以 $0\le a\le e$。
答题规范：“$x\to+\infty$ 时 $f\to0$”考场上写成“当 $x>1$ 时 $f(x)>0$，且 $f$ 递减”即可；严格的“取点”说明在 F09 讲。
已知 $a>0$ 且 $a\ne1$，函数 $f(x)=\dfrac{x^a}{a^x}\ (x>0)$。若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点，求 $a$ 的取值范围。
信号“$a^x=x^a$” → 取对数 → 母函数 $\dfrac{\ln x}{x}$
第 3 步画过的图
右端趋于 $0$ 但取不到，所以下界是开的
$g(a)=\frac1e$ 只在 $a=e$ 取到
已知 $f(x)=e^x-x$，$g(x)=x-\ln x$。证明：存在直线 $y=b$，与两条曲线共有三个不同的交点，且从左到右三个交点的横坐标成等差数列。
原题第 (1) 问由“最小值相同”求得 $a=1$。
第 2 步表格最后两行
指对互换（第 4 步）
$f$ 在 $x\lt 0$、$x>0$ 两段各单调
$f(x)=g(x)\iff h(x)=0$
当 $b=b^*$ 时，公共交点对应的三根成等差数列。
方程 $\ln x=bx$ 有两个不同实根，$b$ 的取值范围是
答案B
$b=\dfrac{\ln x}{x}$，最大值 $\frac1e$，右端趋于 $0^+$ 取不到。
$p=\dfrac{\ln2}{2}$，$q=\dfrac{\ln3}{3}$，$r=\dfrac{\ln5}{5}$ 的大小关系是
答案C
$p=\dfrac{\ln4}{4}$，而 $3\lt 4\lt 5$ 都在 $(e,+\infty)$ 递减段：$q>p>r$。
函数 $x\ln x$ 的最小值是
答案D
与 $xe^x$ 的最小值相同（$t=\ln x$ 换元），在 $x=\frac1e$ 取到。
关联：D04 单调性与极值 · F06 同构 · F07 极值点偏移 · 函数图鉴
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的导数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ 是二次函数。图像有几种形状、有没有极值、有几个零点、过一点能作几条切线，都归结为二次函数和极值的符号。
$a=1$$a=-1$
| $\Delta'\gt0$（$b^2\gt3ac$） | $\Delta'\le0$（$b^2\le3ac$） | |
|---|---|---|
| $a\gt0$ | 增—减—增，一个极大一个极小 | 在 $\mathbb R$ 上递增，无极值 |
| $a\lt0$ | 减—增—减，一个极小一个极大 | 在 $\mathbb R$ 上递减，无极值 |
D06：$f''$ 变号的点
$f(x_0+t)-f(x_0)$ 是 $t$ 的奇函数（只含 $t,t^3$）
两个极值点关于对称中心对称
对称中心处切线斜率最小（$a\gt0$）
先求极值
$-2\lt m\lt2$
$m=\pm2$，曲线与 $x$ 轴相切
$|m|\gt2$
| $f_{\text{极大}}\cdot f_{\text{极小}}$ | $m$ | 零点个数 |
|---|---|---|
| $\lt0$ | $-2\lt m\lt2$ | 3 |
| $=0$ | $m=\pm2$ | 2 |
| $\gt0$ | $m\lt-2$ 或 $m\gt2$ | 1 |
换个角度：$x^3-3x+m=0\iff m=-(x^3-3x)$，零点个数就是水平线 $y=m$ 与 $y=3x-x^3$ 的交点个数。这就是参变分离（F02）。
设函数 $f(x)=(x-1)^2(x-4)$，则（ ）
A. $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
B. 当 $0\lt x\lt1$ 时，$f(x)\lt f(x^2)$
C. 当 $1\lt x\lt2$ 时，$-4\lt f(2x-1)\lt0$
D. 当 $-1\lt x\lt0$ 时，$f(2-x)\gt f(x)$
ABCD
极大值 $f(1)=0$，极小值 $f(3)=-4$
比较自变量大小，再用单调性
换元 $t=2x-1$
答案 ACD
过点 $M(1,m)$ 能作曲线 $y=x^3-3x$ 的三条切线，求 $m$ 的取值范围。
过点切线：先设切点（D03）
切线条数 = 关于 $t$ 的方程的根数
$g$ 也是三次函数
回到零点个数
$f(x)=x^3+bx^2+3x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，$b$ 的取值范围是
答案C
$\Delta'=4b^2-36\le0$。
$f(x)=x^3+3x^2-1$ 图像的对称中心是
答案A
$x_0=-\frac{b}{3a}=-1$，$f(-1)=-1+3-1=1$。
$f(x)=x^3-3x+m$ 恰有两个零点，则 $m=$
答案D
极大值 $m+2=0$ 或极小值 $m-2=0$。
关联：D04 单调性与极值 · D06 凹凸性与拐点 · D03 切线问题 · F02 零点个数
两条切线，一对母不等式。换一个元，就派生出一族放缩；压轴题里的放缩，大多从这里出发。
图中 $P$、$Q$ 到对应切线的竖直距离始终非负：
$$ e^{x_P}-(x_P+1)\ge0,\qquad (x_Q-1)-\ln x_Q\ge0 . $$
$e^x$ 是凸函数（向下凸），图像在任一切线上方；$\ln x$ 是凹函数（向上凸），图像在任一切线下方。$x=0$、$x=1$ 处的切线最简单，于是得到
两个式子其实是一件事：$y=e^x$ 与 $y=\ln x$ 互为反函数，图像关于 $y=x$ 对称，两条切线也关于 $y=x$ 对称。
“作差构造函数”是证函数不等式的通法
$e^x$ 递增且 $e^0=1$
唯一极小值就是最小值
定理 1 对一切实数成立，$\ln x$ 也是实数
不用再求一次导：这是“换元派生”的第一个例子
考场上直接用 $e^x\ge x+1$、$\ln x\le x-1$ 时，稳妥做法是先用一两行证明（如上面的定理 1、定理 2），再使用。
在两条母不等式里作不同的替换，就得到下面一族常用放缩。各图中蓝色曲线为原函数，紫色线为放缩线，浅绿色区域表示两者之差 $\ge0$ 的部分，红点为取等点。
| 替换 | 指数（加减平移） | 对数（乘除伸缩） |
|---|---|---|
| 平移 / 伸缩 | $x\to x-1$：$e^x\ge ex$ | $x\to\frac xe$：$\ln x\le\frac xe$ |
| 取反 / 取倒 | $x\to-x$：$e^x\le\frac1{1-x}$ | $x\to\frac1x$：$\ln x\ge1-\frac1x$ |
| 一般切点 | $x\to x-x_0$：$e^x\ge e^{x_0}(x-x_0+1)$ | $x\to\frac x{x_0}$：$\ln x\le\frac x{x_0}+\ln x_0-1$ |
指数里做加减，对数里做乘除（因为 $e^{x-a}=\dfrac{e^x}{e^a}$，$\ln\dfrac xa=\ln x-\ln a$）。
| 信号 | 用哪条 | 例 |
|---|---|---|
| “$f(x)\ge0$ 恒成立，求 $a$ 的值”，且 $f$ 里有 $x-1-\ln x$ 或 $e^x-x-1$ 的影子 | 看出取等点（$x=1$ 或 $x=0$），答案多半让它取等 | 例 1(1)：$x-1-a\ln x\ge0\Rightarrow a=1$ |
| 和式 $\sum\ln(1+a_k)$、积式 $\prod(1+a_k)$ 要估上界 | $\ln(1+x)\lt x$（$x\gt0$），把对数“拿掉” | 例 1(2) |
| $e^x$ 与幂函数比大小、零点个数 | $e^x\ge ex$ 再换元：$e^{x/n}\ge\frac{ex}{n}$ | 例 2（提高档） |
| 数值估计：$\ln1.1$、$e^{0.1}$、$\left(1+\frac1n\right)^n$ 与 $e$ | 两边夹：$\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$ | 课堂小测第 2 题 |
$e^x\le\dfrac{1}{1-x}$ 只在 $x\lt1$ 时成立；$\ln x\le x-1$ 需要 $x\gt0$；$\ln(1+x)\le x$ 需要 $x\gt-1$。
取等只在一个点。题目要“$\lt$”时，要说明取不到取等点（如 $x=\frac{1}{2^k}\ne0$）。
$e^{x/n}\ge\frac{ex}{n}$ 两边 $n$ 次方需要 $x\gt0$；$e^{-x}\ge1-x$ 取倒数需要 $1-x\gt0$。
切线放缩只在取等点附近精确，离得远误差大。放过头了就换切点（E02）或换更精细的放缩（E03 对数平均、E04 泰勒）。
已知 $f(x)=x-1-a\ln x$。
(1) 若 $f(x)\ge0$，求 $a$；
(2) 设 $m$ 为整数，且对任意正整数 $n$，$\left(1+\frac12\right)\left(1+\frac1{2^2}\right)\cdots\left(1+\frac1{2^n}\right)\lt m$，求 $m$ 的最小值。
“取等点处导数为 0”先猜出答案
规范答题要写“充分性 + 必要性”
由 (1)，$x\gt0$ 时 $\ln(1+x)\lt x$。取 $x=\frac1{2^k}$：$\ln\left(1+\frac1{2^k}\right)\lt\frac1{2^k}$
把 $\ln x\le x-1$ 中的 $x$ 换成 $1+x$
求和：
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac1{2^k}\right)&\lt\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}\\ &=1-\frac1{2^n}\lt1, \end{aligned} $$
所以乘积 $\lt e$
对数把乘积变成和，放缩后是等比数列
又 $n=3$ 时乘积 $=\frac32\cdot\frac54\cdot\frac98=\frac{135}{64}\gt2$，所以 $m\ge3$；而乘积 $\lt e\lt3$，故 $m_{\min}=3$
上界 $e$ 不是整数，还要找一个“超过 2”的 $n$
答案：(1) $a=1$；(2) $m$ 的最小值为 $3$。
已知 $f(x)=e^x-ax^2$。若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点，求 $a$。
指数做“伸缩”换元也可以（这里不是平移）
平方前确认两边非负
不等式告诉我们答案是什么
参变分离，看母函数 $\frac{e^x}{x}$ 的“亲戚”
$a\gt\frac{e^2}4$ 时两个零点，$a\lt\frac{e^2}4$ 时没有零点
答案：$a=\dfrac{e^2}{4}$。
下列不等式中，不正确的是
答案C
这个不等式不正确：$x\ge1$ 时右边无意义或为负；只有 $x\lt1$ 时成立。
$a=\ln1.1$，$b=0.1$，$c=\frac1{11}$ 的大小关系是
答案A
$\frac{x}{1+x}\lt\ln(1+x)\lt x$ 取 $x=0.1$：$\frac{0.1}{1.1}=\frac1{11}$，所以 $c\lt a\lt b$。
$\ln x\le\frac{x}{e}$ 的取等条件是
答案B
它由 $\ln t\le t-1$ 令 $t=\frac xe$ 得到，取等 $t=1$ 即 $x=e$；也就是 $\ln x$ 过原点的切线的切点。
相关专题：D07 八大母函数 · E02 切线放缩 · E03 对数平均 · G09 函数不等式与数列
凸函数在切线上方、弦下方；凹函数反过来。选对切点，让放缩的取等点和题目的取等点重合，放缩就不会“放过头”。
切点 $x_0=0.60$：$e^x\ge 1.822x+0.729$
方向由凹凸决定（D06）：$f''\gt0$ 时曲线在任意切线上方，$f''\lt0$ 时在下方。E01 的 $e^x\ge x+1$、$e^x\ge ex$、$\ln x\le x-1$、$\ln x\le\frac xe$ 只是这一族里最简单的几条。
只在凹凸性不变的区间上才成立。例如 $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上凹，那里 $\sin x\le x$；越过拐点就不能用同一个方向。
| $[a,b]$ 内 | $[a,b]$ 外 | 切线 | |
|---|---|---|---|
| 凹（$\ln x$） | 曲线 $\ge$ 弦 | 曲线 $\le$ 弦 | 曲线 $\le$ 切线 |
| 凸（$e^x$） | 曲线 $\le$ 弦 | 曲线 $\ge$ 弦 | 曲线 $\ge$ 切线 |
两边夹：在 $[1,e]$ 上，$\dfrac{x-1}{e-1}\le\ln x\le x-1$。下界是弦（$A(1,0)$、$B(e,1)$），上界是 $x=1$ 处的切线。
割线放缩的取等点是两个端点，切线放缩的取等点是一个切点。题目在区间端点取等时，想割线。
切点附近是二次的小量，远处可能很大
先猜取等点，再定切点
切线方程越简单越好用
| 切点 | $e^x$ 的切线 | $\ln x$ 的切线 |
|---|---|---|
| $x_0=0$ / $1$ | $e^x\ge x+1$ | $\ln x\le x-1$ |
| 过原点 | $e^x\ge ex$（$x_0=1$） | $\ln x\le\frac xe$（$x_0=e$） |
| 一般 $x_0$ | $e^x\ge e^{x_0}(x-x_0+1)$ | $\ln x\le\frac{x}{x_0}+\ln x_0-1$ |
$e^x\ge x+1$，$x=0$ 取等
$\ln x\le x-1$，$x=1$ 取等
相减：$e^x-\ln x\ge(x+1)-(x-1)=2$
两个取等点 $0\ne1$，不能同时取等：实际最小值约 $2.330$（$x\approx0.567$），“$\ge2$”放松了
连用两次放缩时，两个取等点必须相同，最后的不等式才能取等、才是最佳的。取等点不同，结论只能写成严格不等号，而且常数会“放松”。
已知 $f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$。若 $f(x)\ge1$，求 $a$ 的取值范围。
先代入猜出的取等点 $x=1$
$e^t\ge t+1$，$t=x-1+\ln a$；$a=1$ 时在 $x=1$ 取等
$\ln x\le x-1$，也在 $x=1$ 取等
两次放缩的取等点都是 $x=1$，对齐了
充分性 + 必要性
已知 $f(x)=e^x-\ln(x+m)$。证明：当 $m\le2$ 时，$f(x)\gt0$。
先把参数放到边界：只需证 $m=2$
$\ln t\le t-1$，$t=x+2$
$e^x\ge x+1$
取等点没对齐，恰好给出严格不等号
$\ln x$ 在 $x=2$ 处的切线放缩是
答案B
$\ln x\le\frac{x}{x_0}+\ln x_0-1$ 取 $x_0=2$，$x=2$ 取等。
由 $e^x\ge x+1$ 与 $\ln x\le x-1$ 相减得 $e^x-\ln x\ge2$。$e^x-\ln x$ 的最小值 $m$ 满足
答案C
取等点 $0\ne1$，所以 $m\gt2$；实际 $m\approx2.330$（在 $x\approx0.567$）。
在 $[1,e]$ 上，$\ln x$ 与 $\dfrac{x-1}{e-1}$ 的大小关系是
答案A
$\ln x$ 凹，区间内曲线在弦上方；端点 $x=1$、$x=e$ 取等。
关联：E01 指对基本不等式 · D06 凹凸性 · E03 对数平均 · E04 泰勒放缩
$x=1$ 附近，几条分式曲线像一条飘带把 $\ln x$ 夹在中间。把 $x$ 换成 $\frac ab$，就得到对数平均不等式 $\sqrt{ab}\lt\frac{a-b}{\ln a-\ln b}\lt\frac{a+b}2$，它是处理“双变量、两个零点”问题的利器。
$\varphi$ 递增、$\varphi(1)=0$：$x\gt1$ 时 $\varphi\gt0$，$x\lt1$ 时 $\varphi\lt0$
$\psi$ 递减、$\psi(1)=0$；也可由 $\ln x\le\frac12(x-\frac1x)$ 把 $x$ 换成 $\sqrt x$ 得到
均值不等式，第三条最松
为什么夹得这么紧？在 $x=1$ 处，四条曲线的函数值、一阶导、二阶导都相同（$0,1,-1$），三阶导才分开：$\frac32\lt2\lt\frac94\lt3$。所以 $x=1$ 附近误差是 $(x-1)^3$ 级的，比切线放缩（$(x-1)^2$ 级）精确得多。
方向随 $x$ 与 $1$ 的大小翻转。用之前先确认 $x\gt1$ 还是 $0\lt x\lt1$。
双变量化成单变量：“齐次化 + 换元”
两边同除以 $b$，正好是第 1 步飘带的两条
右边那一半的几何意义
解答题里不能直接引用，要先证明（第 2 步的换元 + 求导，大约四五行）。
已知 $e^x=ax$ 有两个实根 $x_1\lt x_2$（$a\gt e$）。证明：$x_1+x_2\gt2$。
两式结构相同，可以相减消去参数 $a$
消参后出现对数平均
对数平均 $\lt$ 算术平均
左半边给出另一个结论
已知 $f(x)=\dfrac{e^x}x-\ln x+x-a$。证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，则 $x_1x_2\lt1$。
同构：把 $x$ 和 $\ln x$ 打包成一个 $t$
单调函数的值相等，自变量相等
又是对数平均等于 $1$
用不等式的左半边
当 $0\lt x\lt1$ 时，$\ln x$ 与 $\dfrac{2(x-1)}{x+1}$ 的大小关系是
答案B
$\varphi(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}$ 递增且 $\varphi(1)=0$，所以 $x\lt1$ 时 $\varphi\lt0$。
$a=4$，$b=1$。下列排序正确的是（$L=\frac{a-b}{\ln a-\ln b}$）
答案C
$\sqrt{ab}=2\lt L\approx2.164\lt\frac{a+b}2=2.5$。
若 $x_1\ne x_2$ 都是正数，且 $\ln x_1-\ln x_2=2(x_1-x_2)$，则一定有
答案A
$L(x_1,x_2)=\frac12$，由 $\frac{x_1+x_2}2\gt L$ 得 $x_1+x_2\gt1$。
关联：E01 指对基本不等式 · E02 切线放缩 · F07 极值点偏移
切线是一次逼近；再加 $x^2$、$x^3$ 项，多项式在 $x=0$ 附近贴得越来越紧。截断后剩下的余项的符号，决定了放缩的方向。泰勒展开不能直接写进解答题，但能帮你猜出分界点和该用的不等式。
| 函数 | 展开式 |
|---|---|
| $e^x$ | $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$ |
| $\ln(1+x)$ | $x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots$（$-1\lt x\le1$） |
| $\sin x$ | $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$（只有奇次项） |
| $\cos x$ | $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$（只有偶次项） |
$P_{1}(x)=1+x$；下一项 $\frac1{2!}x^{2}$
系数来自导数：$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$。$P_1$ 就是 $x=0$ 处的切线，所以泰勒放缩是切线放缩的“加强版”。
$\ln(1+x)$ 的展开只在 $-1\lt x\le1$ 上收敛：切到 $\ln(1+x)$，把 $n$ 调大，看 $x\gt1$ 那一侧越来越差。
拉格朗日余项；$e^\xi\gt0$，所以符号跟 $x^{n+1}$ 一样
$n$ 奇则 $x^{n+1}\ge0$
归纳法，每一步都是“导数非负 + 起点为 0”
| 常用泰勒放缩 | 成立范围 | 取等 |
|---|---|---|
| $e^x\ge1+x+\frac{x^2}2$ | $x\ge0$ | $x=0$ |
| $x-\frac{x^2}2\le\ln(1+x)\le x$ | $x\ge0$ | $x=0$ |
| $x-\frac{x^3}6\le\sin x\le x$ | $x\ge0$ | $x=0$ |
| $\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ | $x\in\mathbb R$ | $x=0$ |
若 $x\ge0$ 时 $\ln(1+x)\ge x-ax^2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。
展开式只用来猜，不写进答案
分界点 $2a-1=0$ 正好是 $a=\frac12$
充分性
必要性：$x=0$ 右侧先往下走
当 $x\gt0$ 时，证明 $\dfrac{e^x-1}{x}\ge\dfrac{x}{\ln(1+x)}$。
一阶放缩“放过头”
第 2 步的 $n=2$
这是 E03 飘带 $\ln t\ge\frac{2(t-1)}{t+1}$（$t=1+x\gt1$）
两次放缩都在 $x\to0$ 处取等
下列不等式中，对 $x\ge0$ 成立的是
答案B
第一个被丢掉的项 $+\frac{x^3}3\gt0$，所以 $\ln(1+x)\ge x-\frac{x^2}2$。
$e^x\ge1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6$ 成立的范围是
答案C
$n=3$ 为奇数，余项 $\frac{e^\xi}{24}x^4\ge0$，对一切实数成立。
若 $x\ge0$ 时 $e^x\ge1+x+ax^2$ 恒成立，用展开式猜 $a$ 的范围
答案A
$e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots$，二次项系数 $a$ 不能超过 $\frac12$。（2010 新课标卷理 21 就是这一题）
关联：E02 切线放缩 · E03 对数平均与飘带 · E05 三角函数放缩
三角函数和 $e^x$、$\ln x$ 混在一起时很难直接分析。常用的办法是在 $x=0$ 附近把 $\sin x$、$\cos x$ 换成 $x$、$1-\frac{x^2}2$ 这类多项式。这些不等式可以从单位圆上直接看出来，也可以一层一层求导证明。
$AT$ 是 $A$ 处的切线
扇形面积 $=\frac12r^2x$，$r=1$
$x=0$ 时三者都等于 $0$
三个函数都是奇函数
考试里用求导证：$g(x)=x-\sin x$，$g'(x)=1-\cos x\ge0$，$g(0)=0$，所以 $x\ge0$ 时 $\sin x\le x$。$\sin x\lt x$ 对一切 $x\gt0$ 都成立，不只在 $(0,\frac\pi2)$ 内。
除以 $\sin x$ 再取倒数：$\cos x\lt\frac{\sin x}{x}\lt1$，$x\to0$ 时夹出 $\frac{\sin x}{x}\to1$。
| 要证（$x\ge0$） | 设 $g(x)$ | $g'(x)$ |
|---|---|---|
| $\sin x\le x$ | $x-\sin x$ | $1-\cos x\ge0$ |
| $\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ | $\cos x-1+\frac{x^2}2$ | $x-\sin x\ge0$（上一行） |
| $\sin x\ge x-\frac{x^3}6$ | $\sin x-x+\frac{x^3}6$ | $\cos x-1+\frac{x^2}2\ge0$（上一行） |
| $\cos x\le1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}$ | $1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\cos x$ | $\sin x-x+\frac{x^3}6\ge0$（上一行） |
每个 $g$ 都满足 $g(0)=0$，导数是上一行的 $g$。这和 E04 里 $e^x$ 的泰勒放缩是同一个套路，只是上下界交替出现。$\cos x$ 的两个不等式是偶函数，对一切实数都成立。
$\sin x\ge\frac2\pi x$（$0\le x\le\frac\pi2$）用的是凹性：$\sin x$ 在 $[0,\frac\pi2]$ 上是凹的，弦在曲线下方（E02 的割线放缩）。它给出 $\sin x$ 的线性下界。
证明：当 $0\lt x\lt1$ 时，$x-x^2\lt\sin x\lt x$。
第 1 步的结论
一阶导数的符号看不出来，再求一次导
两次“起点为 0”
先用标准放缩，再比较多项式
已知函数 $f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)$，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围。
用放缩“猜”出分界点 $a^2=2$
$\cos t\ge1-\frac{t^2}2$，$-\ln(1-x^2)\ge x^2$
分界点要单独验
$f''(x)=-a^2\cos ax+\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}$
$0\lt x\lt\frac\pi2$ 时，下列大小关系正确的是
答案D
三块面积 $\frac12\sin x\lt\frac x2\lt\frac12\tan x$。
$\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ 成立的范围是
答案C
$x\ge0$ 时求导得 $x-\sin x\ge0$；再由偶函数推到 $x\lt0$。
证明 $x\ge0$ 时 $\sin x\ge x-\frac{x^3}6$，设 $g(x)=\sin x-x+\frac{x^3}6$，$g'(x)\ge0$ 靠的是
答案B
$g'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}2\ge0$ 正是上一层的结论。
关联：E01 指对基本不等式 · E04 泰勒放缩 · F10 三角函数与导数混合
$\ln x\le x-1$ 只是一个特例。把 $x$ 换成 $x^\alpha$，就得到一整族带参数的放缩，$\alpha$ 越小越贴近 $\ln x$。它们和伯努利不等式 $(1+x)^\alpha\ge1+\alpha x$ 是同一件事：幂函数和它在 $x=0$（或 $x=1$）处的切线比大小。
| $\alpha$ 的范围 | 结论 | 原因 |
|---|---|---|
| $\alpha\lt0$ | $(1+x)^\alpha\ge1+\alpha x$ | 凹向上，在切线上方 |
| $0\lt\alpha\lt1$ | $(1+x)^\alpha\le1+\alpha x$ | 凹向下，在切线下方 |
| $\alpha\gt1$ | $(1+x)^\alpha\ge1+\alpha x$ | 凹向上，在切线上方 |
| $\alpha=0$ 或 $1$ | 恒等 | 本身就是直线 |
取等点 $x=0$
$x=0$ 两侧 $(1+x)^{\alpha-1}-1$ 变号
$x=0$ 是最小值点
D06：凹向上时切线在下方
常用特例：$\sqrt{1+x}\le1+\frac x2$；$\frac1{1+x}\ge1-x$；$(1+x)^n\ge1+nx$（$n\in\mathbf N^*$，也可用二项式定理或归纳法证）。
E01 中取 $t=\alpha\ln x$
两边同乘 $-1$ 变号
所有曲线在 $(1,0)$ 处与 $\ln x$ 相切
$x\gt1$ 时 $h\gt0$，$0\lt x\lt1$ 时 $h\lt0$
| 题目信号 | 取 $\alpha$ | $x\gt1$ 时的结论 |
|---|---|---|
| 出现 $\sqrt x$、$\sqrt{n(n+1)}$ | $\frac12$ | $\ln x\lt\sqrt x-\frac1{\sqrt x}$ |
| 出现 $x-\frac1x$、$x_1x_2=1$ | $1$ | $\ln x\lt\frac12\big(x-\frac1x\big)$ |
对称型在 $x=1$ 两侧方向相反：$x\gt1$ 是上界，$0\lt x\lt1$ 是下界。用之前先确认 $x$ 在哪一侧。
分子 $1-\alpha\ln x$ 单调递减
先增后减
紫色曲线碰到蓝色曲线的那一点
取点问题常用 $\ln x\lt\sqrt x$
$\frac1{\alpha e}\lt1$ 即 $\alpha\gt\frac1e$ 时，$\ln x\lt x^\alpha$ 对一切 $x\gt0$ 成立；$\alpha\lt\frac1e$ 时两曲线有两个交点，但 $x$ 足够大后 $x^\alpha$ 还是会超过 $\ln x$。
令 $x=e^t$，$\alpha=\frac1n$：$e^t\ge\big(\frac{et}n\big)^n$（$t\gt0$）。例如 $e^t\ge\frac{e^2}{4}t^2\gt t^2$。这就是“指数增长快于任何幂函数”的定量写法，F09 取点时会用到。
已知 $f(x)=\frac1x-x+a\ln x$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt a-2$。
韦达定理
$\frac1{x_1}-\frac1{x_2}=-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}$
消元：$x_1x_2=1$
信号：$x-\frac1x$ 与 $x_1x_2=1$
证明：$\frac1{\sqrt{1^2+1}}+\frac1{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\gt\ln(n+1)$（$n\in\mathbf N^*$）。
数列不等式的常见拆法（G09）
第 2 步的对称型
通分即得
原题第 (2) 问推出 $2\ln t\lt t-\frac1t$，与此相同
$x\gt-1$ 时，$\sqrt[3]{1+x}$ 与 $1+\frac x3$ 的大小关系是
答案B
$0\lt\alpha\lt1$，$(1+x)^\alpha\le1+\alpha x$，$x=0$ 取等。
要证 $\ln\frac{n+1}n\lt\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$，应选用
答案C
取 $x=\frac{n+1}n\gt1$，$\sqrt x-\frac1{\sqrt x}=\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$。
$\ln x\le\frac{x^\alpha}{\alpha e}$（$\alpha\gt0$）的取等点是
答案A
$\varphi(x)=\frac{\ln x}{x^\alpha}$ 在 $x=e^{1/\alpha}$ 处取最大值 $\frac1{\alpha e}$。
关联：E01 指对基本不等式 · E03 对数平均与飘带 · G09 函数不等式与数列
压轴题里常出现 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$。它是割线的斜率。罗尔、拉格朗日、柯西三个定理说的是同一件事：在 $x_1,x_2$ 之间一定有一点 $\xi$，那里的切线和割线平行。这是高观点，用来看清题目的结构；答题时要改写成构造函数加单调性。
最大值或最小值必有一个在区间内部取到，那里导数为 0
减去割线，两端都变成 0
绿色曲线的极值点就是 $\xi$
定理只保证存在
换个写法：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。所以 $f'$ 的范围直接给出割线斜率的范围：$m\le f'(x)\le M$ ⇒ $m\le\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\le M$。
中值定理不在高中教材中。用它找思路，书写时改为：构造 $\varphi(x)=f(x)-kx$ 看单调性，或用零点存在定理。
| $f(x)$ | $\xi$ | 名称 |
|---|---|---|
| $x^2$ | $\frac{a+b}2$ | 算术平均 $A$ |
| $\sqrt x$ | $\big(\frac{\sqrt a+\sqrt b}2\big)^2$ | $\frac12$ 次幂平均 |
| $\ln x$ | $\frac{b-a}{\ln b-\ln a}$ | 对数平均 $L$ |
| $\frac1x$ | $\sqrt{ab}$ | 几何平均 $G$ |
E03 的对数平均
通分后约去 $b-a$
切换分页看 $\xi$ 的位置
$f'$ 单调时 $\xi$ 唯一。$f$ 越“弯”，$\xi$ 偏离 $\frac{a+b}2$ 越多；只有二次函数的 $\xi$ 永远在正中间。
左边是割线斜率，右边是切线斜率
对 $h$ 用罗尔
读数第 3、4 行
柯西是更一般的形式
$f(a)=g(a)=0$ 时，$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$，$x\to a$ 时 $\xi\to a$。这就是洛必达法则的来源（F02 分离参数会用到）。
已知 $f(x)=(a+1)\ln x+ax^2+1$，$a\lt-1$。若对任意 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$，$|f(x_1)-f(x_2)|\ge4|x_1-x_2|$，求 $a$ 的取值范围。
中值定理找方向
去绝对值
书写时用构造函数
导数分子 $-4(2x-1)(x+1)$
设 $f(x)=e^{mx}$，$m\gt0$，$a\gt0$，$A(0,1)$、$B(a,f(a))$ 是曲线上两点。证明：存在 $x_0\in(0,a)$，使 $f'(x_0)$ 等于直线 $AB$ 的斜率。
高中的标准写法
$e^t\gt1+t$（$t\ne0$）
$u(t)=(t-1)e^t+1$，$u'=te^t\gt0$，$u(0)=0$
零点存在定理（B01）
$f(x)=x^2$ 在 $[1,3]$ 上的拉格朗日中值点 $\xi$ 是
答案B
$2\xi=\frac{9-1}{3-1}=4$，$\xi=2=\frac{1+3}2$。
“对任意 $x_1\ne x_2$，$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\ge1$” 应转化为
答案A
等价于 $\varphi(x)=f(x)-x$ 单调递增，即 $f'(x)-1\ge0$。
用两次拉格朗日中值定理相除来“证明”柯西中值定理，问题在哪
答案C
得到的是 $\frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}$，$\xi_1,\xi_2$ 一般不同。
关联：E02 切线放缩与割线放缩 · E03 对数平均与飘带 · F02 分离参数
“任意”盯着最坏的那个值，“存在”只要最好的那个值。把一句话翻译成“最值与参数比大小”，题目就变成了求最值。
| 原话（$x\in D$） | 等价于 | 盯住 |
|---|---|---|
| $\forall x,\ f(x)\ge a$ | $f_{\min}\ge a$ | 最低点也在线上方 |
| $\exists x,\ f(x)\ge a$ | $f_{\max}\ge a$ | 最高点在线上方就够 |
| $\forall x,\ f(x)\le a$ | $f_{\max}\le a$ | 最高点也在线下方 |
| $\exists x,\ f(x)\le a$ | $f_{\min}\le a$ | 最低点在线下方就够 |
口诀：任意看最坏，存在看最好。“最坏”是离满足最远的那个最值，“最好”是最容易满足的那个最值。
参数在不等式里时，先把不等式化成 $F(x)\ge0$ 的形式，再说“$\forall x,\ F(x)\ge0\iff F_{\min}\ge0$”。
![f(x) = x − 2ln x，x∈[1/2, 4]](book-01/images/F01-f2.png)
$a=1$ 也行，因为 $f$ 永远到不了 $1$
取不到的界，“$\lt$”和“$\le$”结果一样
$a=1$ 时不存在，端点不能取
值域是开的，$f(x)=1$ 无解
判断端点时问自己一句：**边界值本身能不能被 $f$ 取到？**取得到，按最值写；取不到，“任意”型可以带等号、“存在”型不能带。
![f(x_1)=x_1^2-2x_1,\ x_1\in[0,3]；g(x_2)=m-\tfrac12x_2^2+x_2,\ x_2\in[0,3]](book-01/images/F01-f4.png)
| 原话 | 等价于 | 本题 $m$ |
|---|---|---|
| $\forall x_1\forall x_2,\ f(x_1)\ge g(x_2)$ | $f_{\min}\ge g_{\max}$ | $m\le-\frac32$ |
| $\forall x_1\exists x_2,\ f(x_1)\ge g(x_2)$ | $f_{\min}\ge g_{\min}$ | $m\le\frac12$ |
| $\exists x_1\forall x_2,\ f(x_1)\ge g(x_2)$ | $f_{\max}\ge g_{\max}$ | $m\le\frac52$ |
| $\exists x_1\exists x_2,\ f(x_1)\ge g(x_2)$ | $f_{\max}\ge g_{\min}$ | $m\le\frac92$ |
| $\forall x_2\exists x_1,\ f(x_1)=g(x_2)$ | $B\subseteq A$ | $\frac12\le m\le\frac52$ |
| $\exists x_1, x_2,\ f(x_1)=g(x_2)$ | $A\cap B\ne\varnothing$ | $-\frac32\le m\le\frac92$ |
两个变量互不牵连时，一个一个处理：先把里层量词化成最值，变量就少了一个。“$\forall x_1\exists x_2$”先看 $x_2$：存在 $\Rightarrow$ 用 $g_{\min}$；再看 $x_1$：任意 $\Rightarrow$ 用 $f_{\min}$。
| 步骤 | 做什么 | 注意 |
|---|---|---|
| 1. 认清变量 | 谁是自变量（被“任意/存在”管着），谁是参数（要求的） | “存在 $a$，使得对任意 $x$……”中 $a$ 也被量词管着（例 2） |
| 2. 由内到外换最值 | 里层量词先换：$\forall$ 看最坏，$\exists$ 看最好 | 双变量不相关时才能分别取最值；$f(x_1,x_2)$ 缠在一起不行 |
| 3. 求最值、解不等式 | 求导得单调性，比较极值与端点 | 最值取不到时用上下确界，再判断端点能否取等（第 2 步） |
易错 1：$\forall$、$\exists$ 弄反。“存在 $x$ 使 $f(x)\ge a$”写成 $f_{\min}\ge a$，范围就缩小了。
**易错 2：“$\forall x_1\exists x_2$”与“$\exists x_2\forall x_1$”不同。**前者 $x_2$ 可以随 $x_1$ 变，后者要找一个 $x_2$ 对所有 $x_1$ 都管用。
**易错 3：两个函数的定义域不同。**$x_1$、$x_2$ 各有各的区间，最值分别在各自区间上求。
等式型看值域：“$\forall x_2\exists x_1,\ f(x_1)=g(x_2)$”是 $g$ 的值域 $\subseteq$ $f$ 的值域，谁“任意”谁在里面。
$f(x)=\ln x-\dfrac x4+\dfrac{3}{4x}-1$，$g(x)=x^2-2bx+4$。若对任意 $x_1\in(0,2)$，存在 $x_2\in[1,2]$，使 $f(x_1)\ge g(x_2)$，求 $b$ 的取值范围。
先看 $x_2$（存在，用 $g_{\min}$），再看 $x_1$（任意，用 $f_{\min}$）
$x=3$ 不在区间内
按对称轴与区间位置分三类
$\frac{17}8\gt2$，与分类条件相容
![区间 [1,2] 上函数 g 的最小值与参数 b 的比较](book-01/images/F01-f5.png)
已知 $a\gt0$，$f(x)=ax-xe^x$。若存在 $a$，使得 $f(x)\le a+b$ 对任意 $x\in\R$ 成立，求 $b$ 的取值范围。
两层量词，由内到外各换一次最值
隐零点：$x_0$ 解不出来，用它代替 $a$
把 $a$ 换成 $x_0$，双变量变单变量
此时 $a=2e$
$f(x)=x^2-2x$，$x\in[0,3]$。若存在 $x$ 使 $f(x)\le a$，则 $a$ 的范围是
答案B
存在型看最好：$f_{\min}=f(1)=-1\le a$。
对任意 $x\gt0$，$\dfrac{x}{x+1}\lt a$ 恒成立，则 $a$ 的最小值
答案C
$\frac{x}{x+1}$ 永远小于 $1$，$a=1$ 时“$\lt$”仍然成立。
“对任意 $x_1\in D_1$，存在 $x_2\in D_2$，使 $f(x_1)=g(x_2)$”等价于
答案D
每个 $f(x_1)$ 都要在 $g$ 的值域里找到，谁任意谁在里面。
关联：D04 单调性与极值 · F02 分离参数 · F03 直接讨论 · F05 隐零点
把 $a$ 单独放到不等号一侧，另一侧是不含参数的函数 $h(x)$。“恒成立”就变成了水平线 $y=a$ 和一条固定曲线比高低，只需求一次最值。
$f(x)=e^x-ax^2-a$，当 $x\ge0$ 时 $f(x)\ge x$ 恒成立，求 $a$ 的范围。
除数恒正，不等号不变向
分子提出 $x-1$
方括号的符号再求一次导
“$a\le h$ 恒成立”$\iff a\le h_{\min}$
分离后的好处：曲线 $y=h(x)$ 固定不动，参数只是一条水平线。不用对 $a$ 分类讨论。
参数只留在“斜率”上，叫半分离
看左侧的远端
切线过 $(-1,0)$
$a=0$ 时 $e^x\gt0$ 显然成立
若硬要全分离：$x\gt-1$ 时 $a\le\dfrac{e^x}{x+1}$，$x\lt-1$ 时 $a\ge\dfrac{e^x}{x+1}$，还要单算 $x=-1$。能做，但三段讨论更容易错。
$f(x)=e^x-1-x-ax^2$，若 $x\ge0$ 时 $f(x)\ge0$，求 $a$ 的范围。
图上可以看出
洛必达法则；答题时要说明
端点效应，见 F03
用了 $e^x\ge1+x$
分离后最值落在开端点：不能写“$h_{\min}=h(0)$”，$h(0)$ 无定义。要么求极限（洛必达），要么回到不分离的 $f(x)$。
| 方式 | 做法 | 适用 |
|---|---|---|
| 全分离 | $a\le h(x)$ 或 $a\ge h(x)$，求 $h$ 的最值 | $a$ 能单独提出来，除数符号确定，$h$ 的最值好求 |
| 半分离 | $g(x)\ge a\cdot k(x)$，曲线对动直线 | 参数只在一次式里（过定点的直线、切线临界） |
| 不分离 | $F(x,a)\ge0$，对 $a$ 讨论（F03） | 分离后 $h$ 太复杂，或最值在开端点取不到 |
方向口诀：$a\ge h(x)$ 恒成立 $\iff a\ge h_{\max}$；$a\le h(x)$ 恒成立 $\iff a\le h_{\min}$。存在性则反过来（见 F01）。
除数变号：除以 $x$、$x+1$、$\ln x$ 前先看它在区间上的符号；符号不定就分段，或改用半分离。
漏掉特殊点：$x=0$ 这类使除数为 $0$ 的点要单独代入检验（例 1 的第一步）。
最值取不到：$h$ 的最值在开端点或无穷远处，写 $\inf$ / $\sup$，再看等号能否取到。
分离后求导更难：$h(x)$ 是分式，$h'$ 的分子常常还要再求一次导。分子能因式分解（像 q032 提出 $x-1$）时分离最划算。
已知 $f(x)=e^x+ax^2-x$。当 $x\ge0$ 时，$f(x)\ge\dfrac12x^3+1$，求 $a$ 的取值范围。
先处理让除数为 $0$ 的点
除以 $x^2\gt0$，不等号不变向
分子提出 $x-2$
泰勒式的放缩，见 E01
“$a\ge\varphi$ 恒成立”$\iff a\ge\varphi_{\max}$
$\frac{7-e^2}{4}\approx-0.0973$。把 $a$ 拖过这个值，暴力检验的结果和理论结论同时翻转。
对任意 $x\gt0$，$\ln x\le ax$ 恒成立，则 $a$ 的范围是
答案B
$a\ge\frac{\ln x}{x}$，$h'=\frac{1-\ln x}{x^2}$，$h_{\max}=h(e)=\frac1e$。
对任意 $x\lt0$，$ax\le x^2+1$ 恒成立，则 $a$ 的范围是
答案A
除以 $x\lt0$ 要变号：$a\ge x+\frac1x$，$x\lt0$ 时 $x+\frac1x\le-2$，最大值 $-2$。
对任意 $x\gt0$，$\dfrac{e^x-1}{x}\gt a$ 恒成立，则 $a$ 的最大值
答案C
左边单调增，$\inf=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1$ 取不到，所以 $a=1$ 时“$\gt$”仍成立。
关联：F01 恒成立与存在性 · F03 直接讨论与端点效应 · E01 指对不等式 · F04 构造函数
含参不等式 $g(x)\ge0$ 恒成立，不分离参数，直接对 $g$ 讨论。关键是先找到一个“卡住”的点：在那里 $g=0$，参数的临界值就从这个点的导数里读出来。
$g(1)=0$ 已经“贴着” $0$。要使 $x\gt1$ 时 $g(x)\ge0$，曲线从 $(1,0)$ 出发时不能往下走，所以必须 $g'(1)\ge0$。
参数 a 的变化：$a\le2$ 时 $\min g=0$；一过 $2$，$x=1$ 右侧马上出现红色区间。这类“端点处 $g=0$”的题，临界值往往就是 $g'(\text{端点})=0$ 解出来的那个数。
先确认端点（或某个特殊点）处 $g$ 恰为 $0$
这就是“矛盾区间”：找到一个使 $g\lt0$ 的具体区间
只是必要的，还不能当答案
一阶判不出就二阶，即“多次求导”
这一步不能省
规范写法：先讨论“参数在范围内”证明成立，再对“参数在范围外”找出矛盾区间。端点效应告诉你分界点在哪，分类讨论就有了方向。
$g(0)=0$、$g'(0)=0$ 对所有 $a$ 都成立，一阶导数判断不了；$g''(0)=1-2a$，所以临界值 $a=\frac12$。$a\le\frac12$ 时 $g'(x)=e^x-1-2ax\ge e^x-1-x\ge0$，充分性也成立。
特殊点可以是端点，也可以是内部点
例：$ax^2-ax-x\ln x\ge0$，$x=1$ 处取等，得 $a=1$（2017 全国Ⅱ理 21）
讨论的情况变少，常可省掉难的分支
必要不充分。右图 $g(x)=x^3-2x^2+ax$（$x\ge0$）：$g(0)=0$，端点效应给出 $g'(0)=a\ge0$；但 $a\in[0,1)$ 时 $g$ 在中间仍会小于 $0$。真正的答案是 $a\ge1$——探路得到的范围必须再验证。
原因：$g=x(x^2-2x+a)$，最小值不在端点，而在 $x=1$ 附近。端点效应只管住了“起步”，管不住“半路”。
| 步骤 | 做什么 | 说明 |
|---|---|---|
| 1 找卡点 | 看 $g$ 在端点或特殊点是否恰为 $0$ | $\ln1=0$、$e^0=1$ 处最常见 |
| 2 读临界值 | 令 $g'(x_0)\ge0$（或 $\le0$），一阶为 $0$ 再看二阶 | 得到必要条件，也就是分类讨论的分界点 |
| 3 证充分 | 参数在范围内：证 $g'\ge0$，或用放缩证 $g\ge0$ | 常把参数换成临界值放缩：$-ax\ge-2x$（$a\le2$，$x\gt0$） |
| 4 证不充分 | 参数在范围外：找矛盾区间 $(x_0,x_1)$，使 $g\lt0$ | $x_1$ 常取 $g'$ 的零点 |
**易错 1：把必要条件当答案。**只写 $g'(1)\ge0\Rightarrow a\le2$ 不得分，要补充分性。
**易错 2：开区间端点。**题目是 $x\in(1,+\infty)$ 时，$x=1$ 不在定义域里，但 $g(1)=0$ 照样可以用（取极限 / 连续延拓）。
**和分离参数比（F02）：**分离后若 $\frac{(x+1)\ln x}{x-1}$ 在端点无定义，要用洛必达求极限；直接讨论则绕开了洛必达。
**什么时候不灵：**卡点不在端点（如 s3），或 $g$ 在端点不为 $0$。这时回到常规的“按 $g'$ 结构分类”（D05）。
已知 $f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1)$。若当 $x\in(1,+\infty)$ 时 $f(x)\gt0$，求 $a$ 的取值范围。
先读临界值，再分类
二阶导数定号，一阶导数单调
充分性
矛盾区间 $(1,x_1)$
和 s1 图中看到的分界一致
图见第 1 步：拖到 $a=2$ 正好是临界状态。
已知 $f(x)=xe^{ax}-e^x$。当 $x\gt0$ 时 $f(x)\lt-1$，求 $a$ 的取值范围。
卡点是端点 $x=0$
一阶为 0，看二阶
矛盾区间 $(0,\delta)$
用 $e^t\ge1+t$（E01）放缩掉 $1+ax$，再用 $a\le\frac12$
$g(x)=\ln(1+x)-ax\ge0$ 对 $x\in[0,1]$ 恒成立的必要条件（端点效应）是
答案B
$g(0)=0$，$g'(0)=1-a\ge0$。注意这只是必要条件；本题因区间只到 $1$，实际答案是 $a\le\ln2$——必要条件不等于答案。
$g(x_0)=0$，$g'(x_0)=0$ 对所有参数都成立，要使 $x\gt x_0$ 时 $g(x)\ge0$，下一步看
答案C
一阶为 $0$ 时，$g''(x_0)\ge0$ 是必要条件，这就是“多次求导”。
用端点效应求出 $a\le2$ 后，下面哪一步不可少
答案A
端点效应只给出必要条件，必须证明 $a\le2$ 时确实成立（充分性），$a\gt2$ 时找出矛盾区间。
关联：F01 恒成立与存在性 · F02 分离参数 · D05 含参单调性 · E01 指对基本不等式
证明 $f(x)\gt g(x)$，最直接的是作差 $h=f-g$，证 $h_{\min}\gt0$。作差求不出最值时，换个构造：插一个中间量，或把不等式拆成两边各自求最值。
把“两个函数比大小”变成“一个函数和 0 比”
$h'$ 单调，零点唯一
这是“隐零点”，F05 专讲
用 $e^{x_0}=\frac1{x_0}$、$\ln x_0=-x_0$ 代换，再用均值不等式
作差总能起步，但 $h'$ 的零点常常求不出。下一步给出两种绕开的办法：插中间量、分拆函数。
E01：$y=x+1$ 是 $e^x$ 在 $x=0$ 处的切线
E01：$y=x-1$ 是 $\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线
连起来是“$\ge$”，严格不等号要靠取等点不同
中间量通常是一条直线（切线），把一个超越不等式拆成两个基本不等式。上图里紫线始终夹在蓝、绿两条曲线之间，两段间隙不会同时为 $0$。
中间量从哪里来：常见的是 $e^x$、$\ln x$ 在“好点”处的切线（E01、E02）。也可以是一个常数，那就是下一步的分拆。
常见形状：一个下凸（像 $x\ln x$），一个上凸（像 $xe^{-x}$），叫“凹凸反转”
左边单独求最小值
右边单独求最大值
和插中间量一样：中间量就是常数 $-\frac1e$
分拆只是充分条件：$F_{\min}\ge G_{\max}$ 能推出 $F\ge G$，反过来不行。分拆失败（$F_{\min}\lt G_{\max}$）不代表原不等式不成立，只是这样拆不行。
| 构造 | 做法 | 适用 | 本页例子 |
|---|---|---|---|
| 作差 | $h=f-g$，证 $h_{\min}\gt0$ | $h'$ 的零点能求出，或能隐零点代换（F05） | $e^x-\ln x-2$ |
| 插中间量 | $f\ge\varphi\ge g$，$\varphi$ 常是切线 | $f$、$g$ 一个含 $e^x$、一个含 $\ln x$，各自能找到切线 | $e^x\ge x+1\ge\ln x+2$ |
| 分拆 | $F_{\min}\ge G_{\max}$ | 指对混在一起、乘除交错；先乘除一个正因子，使两边各自好求最值 | $x\ln x\ge xe^{-x}-\frac2e$ |
| 主元/单调 | 含参时先把参数放到临界值 | 不等式关于参数单调，如 $ae^x\ge\frac{e^x}{e}$（$a\ge\frac1e$） | 例 1 |
**易错 1：取等点没检查。**插中间量、分拆得到的都是“$\ge$”。要证严格的“$\gt$”，必须说明两处等号不能同时取到。
**易错 2：分拆后去证 $F\gt G$ 的“每一点”。**分拆证的是 $F_{\min}\ge G_{\max}$，比原不等式更强；拆不出来就换拆法，不要硬凑。
**易错 3：乘除因子的符号。**分拆前常乘 $x$、$e^{-x}$ 等，一定要确认它是正的，否则不等号要反向。
**先看图：**画出 $h=f-g$ 估计最小值有多“松”。很松时放缩随便插；很紧时（如例 2 的分拆，余量约 $0.086$）就要精确地选拆法。
已知 $f(x)=ae^x-\ln x-1$。证明：当 $a\ge\frac1e$ 时，$f(x)\ge0$。
主元思想：先把参数放到临界值
都是 $e^t\ge t+1$、$\ln t\le t-1$ 的变形
这里只要 $\ge$，取等点相同也无妨
也可作差直接做：$g(x)=e^{x-1}-\ln x-1$，$g'(x)=e^{x-1}-\frac1x$ 递增且 $g'(1)=0$，$g_{\min}=g(1)=0$。这题零点恰好能看出来。
设 $f(x)=ae^x\ln x+\dfrac{be^{x-1}}{x}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线为 $y=e(x-1)+2$。证明 $f(x)\gt1$
第 (1) 问的结果
乘一个正因子，把 $e^x$ 和 $\ln x$ 分到两边
就是第 3 步那一对函数
凹凸反转
$f_{\min}\approx1.28$，离 $1$ 不算近；分拆后两边的余量却只剩约 $0.086$，拆法要选准
用插中间量证 $e^x\gt\ln x+2$，中间量选
答案B
$e^x\ge x+1$（$x=0$ 取等），$x+1\ge\ln x+2$（$x=1$ 取等），取等点不同，得严格不等号。
插中间量得到 $f\ge\varphi$ 和 $\varphi\ge g$，要得到 $f\gt g$ 还需要
答案C
两处等号不能同时成立，连起来就是严格的 $f\gt g$。
分拆证 $F(x)\gt G(x)$，算得 $F_{\min}\lt G_{\max}$，说明
答案A
分拆只是充分条件，拆失败要换一种整理方式（乘除不同的因子）或改用作差。
关联：E01 指对基本不等式 · E02 切线放缩 · F05 隐零点代换 · F03 直接讨论
$f'(x)=0$ 解不出显式解，但零点确实存在。设出它、用它满足的方程消元、再估计它的范围，最值就能算出来。
单调 + 两端异号 ⇒ 唯一零点（B01 零点存在定理）
这个等式是代换的全部依据，两种形式都要写出来
指数换成分式、对数换成多项式：超越式变成了代数式
$x_0$ 的具体值不知道，但知道它满足的方程。“设而不求”：用方程把 $f(x_0)$ 里的 $e^{x_0}$、$\ln x_0$ 换掉，剩下的是 $x_0$ 的代数式，再用基本不等式或单调性处理。
取点要能算出符号：$\frac12$、$1$ 都是“好算”的点
两种形式各用一次
取等条件 $x_0=1$ 不在 $\left(\frac12,1\right)$ 内，所以是严格不等号
三步：设出零点并估范围 → 代入零点方程消去超越项 → 估计化简后的代数式。估范围的精细程度由最后要证的结论决定。
只用 $x_0\in\left(\tfrac12,1\right)$ 也能得到 $2\lt f_{\min}\lt\tfrac52$。如果题目要求更紧的上界，就要把区间缩小（再取一个点算 $f'$ 的符号）。
| 消去超越项（消变量） | 消去参数 | |
|---|---|---|
| 做法 | 用 $e^{x_0}=\cdots$、$\ln x_0=\cdots$ 把 $f(x_0)$ 里的指数、对数换成 $x_0$ 的代数式 | 从零点方程解出 $a=a(x_0)$，代入 $f(x_0)$，得到只含 $x_0$ 的函数 $k(x_0)$ |
| 之后 | 在 $x_0$ 的范围上用基本不等式、二次函数或单调性估计 | 由 $k(x_0)\ge0$ 解出 $x_0$ 的范围，再由 $a=a(x_0)$ 的单调性得到 $a$ 的范围 |
| 适合 | 证明 $f_{\min}>c$、估计 $f(x_0)$ 的范围 | “$f(x)\ge0$ 恒成立，求 $a$”且 $a$ 分离不出来 |
| 例 | 例 1：2017 全国Ⅱ卷，$f(x_0)=x_0-x_0^2$ | 例 2 解法二：2020 新高考Ⅱ卷，$a=\dfrac{e^{1-x_0}}{x_0}$ |
易错 1：没证零点存在且唯一。“设 $f'(x_0)=0$”之前，必须写出 $f'$ 的单调性和两个异号的函数值。
**易错 2：范围取得太宽。**区间端点要按结论倒推：要证 $f(x_0)\lt\frac14$，就要知道 $x_0\lt\frac12$ 这一侧。
**易错 3：严格不等号。**$x_0$ 一般是无理数，代数式的取等点通常不在 $x_0$ 的范围里，要说明取不到。
选择代换形式：同一个零点方程有指数形式和对数形式，目标是让 $f(x_0)$ 里不再出现超越函数，哪种形式能做到就用哪种。
已知 $f(x)=ax^2-ax-x\ln x$，且 $f(x)\ge0$。(1) 求 $a$；(2) 证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$，且 $e^{-2}\lt f(x_0)\lt 2^{-2}$。
E01 母不等式
导函数仍是超越式，再求一次导
设：$x_0\in\left(e^{-2},\tfrac12\right)$
对数形式消去 $\ln x_0$
下界借助“极大值大于区间里的函数值”，比估 $x_0$ 更省事
已知 $f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$。若 $f(x)\ge1$，求 $a$ 的取值范围。
设
$a$ 和 $e^{x_0-1}$ 都消掉了，只剩 $x_0$
$k'(t)=-\frac1{t^2}-1-\frac2t\lt0$
由 $x_0$ 的范围回到 $a$ 的范围
这题也能同构，见 F06 例 1
$f(x)=xe^x-x-\ln x$ 的最小值点 $x_0$ 满足 $x_0e^{x_0}=1$，则 $f_{\min}=$
答案B
$x_0e^{x_0}=1$；取对数 $\ln x_0+x_0=0$，所以 $f(x_0)=1-(x_0+\ln x_0)=1$。
用隐零点证明 $f_{\min}>0$ 时，第一步必须写的是
答案C
先由单调性和两个异号的函数值说明零点存在且唯一，并给出 $x_0$ 的范围。
已知 $x_0\in\left(\tfrac12,1\right)$，$e^{x_0}=\dfrac1{x_0}$。则 $e^{x_0}-\ln x_0$ 的范围是
答案A
$e^{x_0}-\ln x_0=\frac1{x_0}+x_0$ 在 $\left(\frac12,1\right)$ 上递减，取值在 $(2,\frac52)$。
关联：D04 单调性与极值 · B01 零点存在定理 · F06 同构 · F09 零点问题与取点
把不等式两边整理成 $\varphi(t_1)\ge\varphi(t_2)$ 的样子。只要 $\varphi$ 单调，就能去掉 $\varphi$，变成 $t_1\ge t_2$。指数和对数之间靠 $x=e^{\ln x}$ 来回转换。
| 模板 $\varphi(t)=e^t+t$ | 模板 $\varphi(t)=te^t$ | |
|---|---|---|
| 原式 | $ae^{x-1}+\ln a+x-1\ \text{与}\ x+\ln x$ | $\lambda xe^{\lambda x}\ \text{与}\ x\ln x$ |
| 左边 | $e^{\ln a+x-1}+(\ln a+x-1)$，$t_1=\ln a+x-1$ | $\lambda x\cdot e^{\lambda x}$，$t_1=\lambda x$ |
| 右边 | $e^{\ln x}+\ln x$，$t_2=\ln x$ | $e^{\ln x}\cdot\ln x$，$t_2=\ln x$ |
| 单调 | $\varphi'=e^t+1>0$，在 $\mathbb R$ 上递增 | $\varphi'=(t+1)e^t$，只在 $[-1,+\infty)$ 递增 |
| 结论 | 左 $\ge$ 右 $\iff t_1\ge t_2$（例 1） | $x\ge1$ 时 $t_1,t_2\ge0$，左 $\ge$ 右 $\iff t_1\ge t_2$；$0\lt x\lt1$ 时右边 $\lt0\lt$ 左边 |
两边都可写成 $\varphi(\boxed{\phantom{x}})$，只是输入不同。若 $\varphi$ 递增，则函数值与自变量同序，比较 $\varphi(t_1)$、$\varphi(t_2)$ 等价于比较 $t_1$、$t_2$。
| 式子 | 改写 | 对应的模板 |
|---|---|---|
| $xe^x$ | $e^{x+\ln x}$ | $e^t$，$t=x+\ln x$ |
| $\dfrac{e^x}{x}$ | $e^{x-\ln x}$ | $e^t$，$t=x-\ln x$ |
| $\dfrac{x}{e^x}$ | $e^{\ln x-x}$ | $e^t$，$t=\ln x-x$ |
| $e^x+x$ 与 $x+\ln x$ | $x+\ln x=e^{\ln x}+\ln x$ | $\varphi(t)=e^t+t$，比较 $x$ 与 $\ln x$ |
| $xe^x$ 与 $x\ln x$ | $x\ln x=e^{\ln x}\cdot\ln x$ | $\varphi(t)=te^t$，比较 $x$ 与 $\ln x$ |
两类用法：整体换元（前三行，把 $x\pm\ln x$ 看成一个新变量 $t$）；同构函数（后两行，两边是同一个 $\varphi$，去掉 $\varphi$）。
E01 母不等式，换元后直接用
与 F05 的隐零点是同一个数
换元后 $t$ 取遍全体实数，不丢范围
目标是让两边形状一样
左右各移一部分，凑出同一个 $\varphi$
D07 八大母函数：记住它们的单调区间
转化后多是 E01 的标准不等式
**易错 1：模板不单调。**$te^t$ 只在 $[-1,+\infty)$ 递增。$t_2=\ln x$ 可以小于 $-1$，要先把这部分 $x$ 单独处理。
**易错 2：忽略 $\ln x$ 的符号。**$0\lt x\le1$ 时 $x\ln x\le0$，往往一句话就能说明成立，不要硬套模板。
**易错 3：取等条件。**去掉 $\varphi$ 后的不等式要检查能否取等，求参数范围时端点是否可取由它决定。
**同构不是必须的。**它是简化计算的技巧，常规的求导、隐零点（F05）也能做；写解答时同构要写清模板函数和它的单调性。
已知 $f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$。若 $f(x)\ge1$，求 $a$ 的取值范围。
两边同加 $x-1$
找结构、定模板
验单调、去 $\varphi$
E01：$\ln x\le x-1$
同一题在 F05 用隐零点做了一遍，对比可见同构省掉了“设零点、估范围”。
当 $x>0$ 时，若不等式 $axe^x\ge x+\ln x+1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
整体换元，见第 2 步
$e^t>0$，可以直接除
$a=1$ 时就是 $xe^x\ge x+\ln x+1$，在 $x_0e^{x_0}=1$ 处取等
若不换元，直接对 $\dfrac{x+\ln x+1}{xe^x}$ 求导，会遇到 $x+\ln x=0$ 的隐零点；换元后一步到位。
$\dfrac{e^x}{x}$ 可以改写成
答案C
$\dfrac{e^x}{x}=\dfrac{e^x}{e^{\ln x}}=e^{x-\ln x}$。
由 $\lambda xe^{\lambda x}\ge x\ln x$ 用模板 $\varphi(t)=te^t$ 去掉 $\varphi$ 之前，必须先处理
答案B
$te^t$ 只在 $[-1,+\infty)$ 递增，而 $\ln x$ 可以很小；$0\lt x\le1$ 时右边 $\le0\le$ 左边，直接成立，只需对 $x>1$ 用模板。
接上题：$\lambda x\ge\ln x$ 对 $x>1$ 恒成立，正数 $\lambda$ 的取值范围是
答案A
$\lambda\ge\dfrac{\ln x}{x}$，其最大值在 $x=e$ 处，为 $\dfrac1e$。
关联：D07 八大母函数 · E01 指对基本不等式 · F05 隐零点代换 · F04 构造函数证明不等式
曲线左右两边“陡缓不同”，同一高度的两个点就不关于极值点对称。对称化构造把这件事变成一个单变量不等式；对数平均不等式则一步到位。
$xe^{-x}$ 左边陡、右边缓：同样降低一段高度，右边要走得更远，所以 $x_2-x_0\gt x_0-x_1$，即 $x_1+x_2\gt2x_0$，叫极值点右偏。
看镜像曲线：把左半支关于 $x=x_0$ 翻到右边（紫色虚线）。若虚线在原曲线下方，同一高度时虚线上的点 $2x_0-x_1$ 更靠左，于是 $x_2\gt2x_0-x_1$。整个证明就是把这句话写成不等式。
二次函数图像关于 $x=x_0$ 对称，不偏移，$x_1+x_2=2x_0$ 恒成立。偏移来自曲线的不对称，本质上与三阶导数有关。
第一步永远是“定位”：两根分居极值点两侧
关键：把自变量的比较交给单调性，变成函数值的比较
双变量 → 单变量：$x_2$ 消失了
$x\lt1$ 时 $-x\gt x-2$，所以 $e^{-x}\gt e^{x-2}$
$F(1)=0$ 是构造的“锚点”
指数型 $f(x_1)=f(x_2)$ 先取对数，常出现 $\ln$ 的差
左边恰是对数平均 $L(x_1,x_2)$
和型、积型两个结论同时得到
两个方程、两个未知数，用 $t$ 表示一切
这正是飘带不等式的一支，求一次导即可证
已知 $f(x)=x^2-x+2\ln x$，正数 $x_1,x_2$ 满足 $f(x_1)+f(x_2)=0$，证明 $x_1+x_2\ge2$。
“和为定值”对应的中心是拐点，不是极值点
$4(x-1)+\frac2x-\frac2{2-x}=4(x-1)\left[1-\frac1{x(2-x)}\right]$，而 $x(2-x)-1=-(x-1)^2$
拐点附近曲线不关于 $(1,0)$ 中心对称
$x_1\ge2$ 时结论显然；$f$ 递增把函数值比较变回自变量比较
对照第 1 步：极值点偏移是关于直线 $x=x_0$ 的轴对称被破坏；拐点偏移是关于点 $(x_0,f(x_0))$ 的中心对称被破坏。构造函数分别是 $f(x)-f(2x_0-x)$ 和 $f(x)+f(2x_0-x)$。
| 方法 | 适用 | 关键步骤 | 代价 |
|---|---|---|---|
| 对称化构造 | 和型 $x_1+x_2$ 与 $2x_0$；拐点偏移 | $F(x)=f(x)\mp f(2x_0-x)$，$F(x_0)=0$ | $F'$ 可能要多次求导 |
| 对数平均 | 等式取对数后能写成 $\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=c$ | $\sqrt{x_1x_2}\lt L\lt\frac{x_1+x_2}2$ | 考场上要先证一遍对数平均不等式 |
| 比值换元 $t=\frac{x_2}{x_1}$ | 能解出 $x_1,x_2$ 关于 $t$ 的表达式；积型、带系数的 $x_1+\lambda x_2$ | 化为 $t$ 的单变量不等式 | 最通用，计算量大 |
**易错 1：$2-x_1$ 不在单调区间里。**要用 $f$ 在 $(x_0,+\infty)$ 的单调性比较 $x_2$ 与 $2x_0-x_1$，两者都必须落在这个区间（以及定义域）内。$\frac{\ln x}x$ 型时 $2e-x_1$ 可能要单独说明。
**易错 2：符号方向。**$F(x)=f(x)-f(2x_0-x)$ 在 $x_0$ 左侧还是右侧构造都可以，但单调性、$F(x_0)=0$、最后的不等号要一致。写之前先在图上判断“右偏还是左偏”。
**易错 3：积型 $x_1x_2$ 与 $x_0^2$。**不能直接对称化 $2x_0-x$，要换成 $\frac{x_0^2}x$，即构造 $f(x)-f\left(\frac{x_0^2}x\right)$；或取对数变成和型。
**为什么会偏：**把 $f$ 在 $x_0$ 处展开到三阶，$f'''(x_0)$ 的符号决定曲线哪一侧更陡，也就决定偏移方向。这只用来判断方向，不能当证明写。
已知 $f(x)=x(1-\ln x)$。(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；(2) 设 $a,b$ 为两个不相等的正数，且 $b\ln a-a\ln b=a-b$，证明 $2\lt\frac1a+\frac1b\lt e$。
(1) 的结论直接给 (2) 定位
换元后露出 $f(x_1)=f(x_2)$——标准的极值点偏移
对称化构造，$F'$ 一步就定号
切线放缩（E02）：凹函数在切线下方
一边用 $y=x$、一边用切线，把 $x_1,x_2$ 夹住
已知 $f(x)=\dfrac{e^x}x-\ln x+x-a$。证明：若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，则 $x_1x_2\lt1$。
同构（F06）：先看出整体 $x-\ln x$
外层单调，零点只能来自内层同一个值
又是“对数平均 $=1$”
积型偏移，用对数平均的左半边
规范作答时要补证 $\sqrt{x_1x_2}\lt\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}$：令 $t=\sqrt{x_2/x_1}\gt1$，化为 $2\ln t\lt t-\frac1t$。
$f(x)=\dfrac{\ln x}x$，$f(x_1)=f(x_2)$，$x_1\ne x_2$。则
答案B
取对数后 $\frac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=\frac{\ln x_1+\ln x_2}{x_1+x_2}$ 可推出 $x_1x_2\gt e^2$，再由均值得 $x_1+x_2\gt2\sqrt{x_1x_2}\gt2e$。
证明 $x_1+x_2\gt2x_0$ 时（$x_1\lt x_0\lt x_2$，$f$ 在 $(x_0,+\infty)$ 递减），对称化构造应证
答案C
$f(x_2)=f(x_1)\lt f(2x_0-x_1)$，再由递减得 $x_2\gt2x_0-x_1$。
由 $\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1$ 能直接得到的是
答案A
几何平均 $\lt$ 对数平均 $\lt$ 算术平均，两个都能得到。
关联：E03 对数平均与飘带 · D07 八大母函数 · F06 同构 · F08 双变量问题
两个变量不能同时“求导”。解题的核心只有一件事：用已知关系把两个变量化成一个，再用单变量函数的单调性、最值去证明。韦达定理消元、比值换元 $t=\frac{x_1}{x_2}$、构造新函数，是最常用的三种做法。
| $x_1,x_2$ 是什么 | 已知关系 | 化成一个变量 |
|---|---|---|
| 任意两点 | 无，$x_1,x_2$ 独立 | 构造 $g(x)=f(x)-kx$，看 $g$ 的单调性 |
| 极值点（$f'$ 的两根） | $f'(x_1)=f'(x_2)=0$，常可用韦达 | 韦达：$x_1x_2$、$x_1+x_2$ 为定值，用一个根表示另一个 |
| 零点 / 同高点 | $f(x_1)=f(x_2)$ | 两式相减、相除后令 $t=\frac{x_1}{x_2}$；偏移类见 F07 |
割线斜率都大于 $k$
把 $k$ 拆进分子，两边变成同一个函数 $g$
双变量 → 单变量的恒成立问题（F01）
$f'(x)=x+\frac2x\ge2\sqrt2$，只在 $x=\sqrt2$ 处取等，所以 $g(x)=f(x)-2\sqrt2x$ 严格递增：任意两点的割线都比紫色切线陡。
先定参数范围，后面才知道 $x_2$ 的范围
积为定值：一个根表示另一个
$a(x_1-x_2)=2(x_1^2-x_2^2)$，参数 $a$ 被韦达吃掉
令 $s=x_2^2$，$h(s)=s-\frac1{4s}-\ln(2s)$，$h'(s)=\frac{(2s-1)^2}{4s^2}\ge0$
参数范围 → 主元范围 → 单调性求最值
当 $a$ 取到 $3$ 以下时，最后一行结论不适用：$a\lt3$ 时 $x_2\lt1$，$\frac34-\ln2$ 不再是下界。
两个方程，三个未知数 $x_1,x_2,a$
先消参数 $a$
右边是“齐次”的：只依赖比值 $t$
$\varphi(t)=\ln t-\frac{2(t-1)}{t+1}$，$\varphi'(t)=\frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}\gt0$，$\varphi(1)=0$
$f(x)=0\iff\ln x=ax$：零点就是直线 $y=ax$ 与 $y=\ln x$ 的交点。$a$ 越接近 $\frac1e$，两交点越靠近切点 $x=e$，$x_1x_2$ 越接近 $e^2$。
| 手段 | 适用信号 | 做法 | 要留意 |
|---|---|---|---|
| 构造函数 | $x_1,x_2$ 任意，结论能写成 $g(x_1)\lt g(x_2)$ | 移项使两边“同构”，看 $g$ 的单调性 | $x_1,x_2$ 的大小关系决定不等号方向 |
| 韦达消元 | 极值点，$f'$ 的分子是二次式 | $x_1x_2$ 或 $x_1+x_2$ 为定值，一个根表示另一个 | 同时消去参数；写出主元范围 |
| 比值换元 $t=\frac{x_1}{x_2}$ | $\ln x_1-\ln x_2$ 与 $x_1-x_2$ 同时出现 | 相减相加消参，化成 $t$ 的单变量不等式 | $t$ 的范围（$t\gt1$ 或题设给出） |
| 极值点显化 | $f'(x_0)=0$ 解不出但可代换 | 用 $f'(x_0)=0$ 把 $f(x_0)$ 中的参数或超越式换掉 | 与 F05 隐零点同一思路 |
**易错 1：参数没消干净。**韦达消元后式子里还留着 $a$，就仍是两个变量。用 $a=2(x_1+x_2)$ 之类的关系把它也换掉。
**易错 2：主元范围丢失。**用 $x_2$ 表示一切后，$x_2$ 的范围来自参数范围（如 $a\ge3\Rightarrow x_2\ge1$）。范围错了，最值就错了。
**易错 3：$t$ 的范围决定函数是否单调。**同一个 $g(t)$ 在不同区间可能增减不同（见例 2：$g$ 在 $t\gt4$ 才递增）。题设里“$x_1\gt4x_2$”这类条件正是为此给出。
**“任意两点”的等号：**$f'(x)\ge k$ 等号只在孤立点成立时，$g=f-kx$ 仍严格递增，割线斜率仍严格大于 $k$。
已知 $f(x)=\dfrac1x-x+a\ln x$。若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\lt a-2$。
积为定值，$x_1=\frac1{x_2}$
$\frac1{x_1}-\frac1{x_2}=-\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}$
注意 $x_1-x_2\lt0$，除过去不等号要变向
$g$ 恰好就是 $a=2$ 时的 $f$
换个角度：$\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}\gt\sqrt{x_1x_2}=1$，这就是对数平均不等式（E03）。
已知 $f(x)=x\ln x-ax^2-2x$ 有两个不同极值点 $x_1,x_2$。① 求 $a$ 的取值范围；② 当 $x_1\gt4x_2$ 时，证明 $x_1x_2^2\gt16e^3$。
分离参数，水平线与 $u$ 的图像交两点
相减消掉常数 1，留下 $\ln t$
左边 $=2a x_2(t+2)+3$，代入 $2a$，$x_2$ 约掉
$\varphi(4)\approx0.341$
$g(4)$ 恰好等于 $\ln16$，这就是题设取 $4$ 的原因
$g$ 在 $(1,+\infty)$ 上不单调：$g(2)=g(4)=\ln16$，最小值在 $t\approx3$。当 $t\lt4$ 时结论可能不成立；例如相应参数取约 $a=0.06$ 时可见反例。
$f(x)=x^2-ax+\ln x$ 的两个极值点为 $x_1,x_2$，则 $x_1x_2$ 等于
答案B
$f'(x)=\frac{2x^2-ax+1}x$，分子 $2x^2-ax+1=0$ 两根之积为 $\frac12$。
由 $\ln x_1=ax_1$，$\ln x_2=ax_2$（$x_1\ne x_2$）消去 $a$，得到
答案C
相减得 $a=\frac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}$，相加得 $a=\frac{\ln x_1+\ln x_2}{x_1+x_2}$，二者相等。
“对任意 $x_1\ne x_2\in(0,+\infty)$，$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\gt3$”等价于
答案A
$g(x)=f(x)-3x$ 递增，$g'\ge0$；等号只在孤立点取到时 $g$ 仍严格递增。
关联：F01 恒成立与存在性 · F05 隐零点 · F07 极值点偏移 · E03 对数平均与飘带
看图知道“有两个零点”不难，难的是写出来。零点存在定理要求两个具体的点，函数值异号；“$x\to+\infty$ 时 $f(x)\to-\infty$”只告诉方向，评分时常不认。找这两个点，就叫取点。
单调性保证每段至多一个零点
极大值 $\le 0$ 就没有两个零点
特殊值：先试 $1$、$e$、$\frac1e$
放缩成能解的式子，再让它 $=0$
存在 + 唯一
**直接代入：**先试 $0$、$1$、$e$、$\frac1e$、$-\ln a$、$\ln\frac1a$ 等让式子变简单的点。能算出符号就不必放缩。
**放缩后取点：**函数里有 $\ln x$、$e^x$ 算不出符号时，先用 E 组的不等式把它换成多项式或根式，再让放缩后的式子取到想要的符号。
| 要让 | 放缩 | 取点 |
|---|---|---|
| $\ln x-ax\lt0$（$x$ 大） | $\ln x\lt\sqrt x$ | $x=\frac1{a^2}$ |
| $\ln x+a\lt0$（$x$ 小） | 直接解 | $x=e^{-a-1}$ |
| $e^x-ax\gt0$（$x$ 大） | $e^x\gt\frac{x^2}2$（$x\gt0$） | $x=2a$ |
| $ae^{2x}+be^x-x\gt0$ | $e^x\gt x$，只看 $e^x$ 的二次式 | 令 $e^x=t$，解出 $t$ 再取对数 |
| 三次、多项式 | 只保留最高次项与主要项 | 如 $x=3a\pm1$（例 1） |
放缩后取的点不唯一，也不必“最好”。只要符号对、在要求的区间里，就行。
| 步骤 | 写什么 | 作用 |
|---|---|---|
| 1. 单调区间 | 求 $f'$，写出 $f$ 在 $(m,x_0)$ 增、$(x_0,n)$ 减 | 每段至多一个零点（唯一性） |
| 2. 极值符号 | $f(x_0)\gt0$（含参时求出参数范围） | 必要条件：极值 $\le0$ 至多一个零点 |
| 3. 两侧取点 | 找 $x_1\in(m,x_0)$、$x_2\in(x_0,n)$，$f(x_1)\lt0$、$f(x_2)\lt0$ | 零点存在定理的“异号” |
| 4. 下结论 | $f$ 在 $(x_1,x_0)$、$(x_0,x_2)$ 内各有唯一零点 | 存在 + 唯一 |
易错 1：只写极限。“$x\to0^+$ 时 $f\to-\infty$”说明方向，但不是零点存在定理要的“一个点”。考场上要给出具体的 $x_1$。
**易错 2：取的点不在对应区间。**$x_2$ 必须在 $(x_0,+\infty)$ 内，要写出 $x_2\gt x_0$ 的理由（如 $\frac1{a^2}\gt\frac1a$ 因为 $0\lt a\lt1$）。
**易错 3：漏掉唯一性。**零点存在定理只说“至少一个”。“恰有”还要单调性。
易错 4：放缩方向。要证 $f(x_2)\lt0$，只能把 $f$ 放大（$\ln x\lt\sqrt x$）；放小了得不出结论。
已知 $f(x)=\frac13x^3-a(x^2+x+1)$。证明：$f(x)$ 只有一个零点。
先变形，让导数好判断
唯一性
主要项 $\frac13x^3-ax^2$ 在 $x=3a$ 处为 $0$，左右各挪 $1$
存在 + 唯一
已知 $f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$。若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。
因式分解后讨论
必要条件
特殊值
让 $e^x$ 的系数变成 $1$，再用 $e^x\gt x$
充分性
证明 $f$ 在 $(x_0,+\infty)$ 上有零点（$f$ 在该区间递减、$f(x_0)\gt0$），下列写法中最规范的是
答案C
给出了具体的点、它在区间内、函数值异号，再用零点存在定理。
要证 $f(x)=\ln x-ax\ (0\lt a\lt\frac1e)$ 在 $x$ 较大时有负值，用 $\ln x\lt\sqrt x$ 可以取
答案B
$f(\frac1{a^2})\lt\frac1a-a\cdot\frac1{a^2}=0$。
“$f$ 恰有两个零点”的论证中，下列哪一步不是必需的
答案D
零点的具体数值一般求不出，也不需要求。
关联：B01 零点存在定理 · B03 零点个数 · E01 指对基本不等式 · F05 隐零点
含 $\sin x$、$\cos x$ 的函数，导数的符号随象限变化，求一次导往往看不清。三条办法：按 $0,\frac\pi2,\pi$ 等关键点分段；看不清就再求导；离原点远的那段用有界性（$|\sin x|\le1$）直接排除。
![\sin x=kx\ (k\gt0) 的根都在 [-\frac1k,\frac1k] 里](book-01/images/F10-f1.png)
一行不等式，不用求导
远处直接排除
有界性只负责“排除”
例 1 的最后一段
三角函数是周期的，但和 $x$、$\ln x$、$e^x$ 混合后整体不再周期。无界的那部分迟早压过 $\sin x$，有界性告诉我们“迟早”是从哪里开始。
已知 $f(x)=\sin x-\ln(1+x)$。证明：(1) $f'(x)$ 在 $(-1,\frac\pi2)$ 存在唯一极大值点；(2) $f(x)$ 有且仅有 $2$ 个零点。
在 $(\frac\pi2,\pi]$ 上，$\cos x\le0\Rightarrow f'\lt0$，该段至多有一个零点。
一次导看不清，再求一次导
$x=0$ 处 $f$ 与 $x$ 轴相切
先增后减的函数，两端非负则中间为正
这一段符号直接看出
有界性排除远处
按 $x$ 所在区间分段应用相应结论：
已知 $f(x)=2\sin x-x\cos x-x$。(1) 证明 $f'(x)$ 在 $(0,\pi)$ 存在唯一零点；(2) 若 $x\in[0,\pi]$ 时 $f(x)\ge ax$，求 $a$ 的取值范围。
分段点由 $\cos x$ 的符号决定
先增后减，零点只在后一段
两端为 0、先增后减
充分
端点 $\pi$ 处 $f=0$，任何正斜率都会超出
本题右端点 $f(\pi)=0$，所以 $a\gt0$ 一取端点就失败。端点处函数值为 $0$ 时，先代端点常能直接得到必要条件（F03 端点效应）。
| 步骤 | 做法 | 例子 |
|---|---|---|
| 1. 定分段点 | $\sin x$、$\cos x$ 变号的点：$0,\frac\pi2,\pi,\dots$；题目给的区间端点 | 例 1 分四段，例 2 在 $\frac\pi2$ 处分 |
| 2. 逐段定符号 | 能直接看出符号的段先处理；看不清就再求导 | 例 1 $(\frac\pi2,\pi]$ 上 $\cos x\le0$；例 2 $f''=x\cos x$ |
| 3. 远处用有界 | $\vert \sin x\vert \le1$、$\vert \cos x\vert \le1$，与无界的 $x$、$\ln x$、$e^x$ 比 | $x\gt\pi$ 时 $\ln(1+x)\gt1\ge\sin x$ |
| 4. 需要放缩时 | $\sin x\lt x\ (x\gt0)$，$\cos x\ge1-\frac{x^2}2$，$\sin x\gt x-\frac{x^3}6\ (x\gt0)$ | 见 E05 三角函数放缩 |
**易错 1：想一次求导定全局。**$\cos x-\frac1{1+x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上反复变号，没有“整体单调”可言，只能分段。
**易错 2：数值比较没给理由。**$f(\frac\pi2)=1-\ln(1+\frac\pi2)\gt0$ 要写出 $1+\frac\pi2\lt e$；$\ln(1+\pi)\gt1$ 要写出 $1+\pi\gt e$。
**易错 3：漏掉切点型零点。**例 1 的 $x=0$ 处 $f$ 与 $x$ 轴相切、不变号，看图容易漏数。
**易错 4：周期性不能直接用。**$\sin x-\ln(1+x)$ 不是周期函数，不能“在一个周期内有 $n$ 个零点，所以共有……”。
证明 $f(x)=\sin x-\ln(1+x)$ 在 $(\pi,+\infty)$ 上无零点，最直接的办法是
答案B
$\sin x\le1\lt\ln(1+\pi)\lt\ln(1+x)$。
$f'(x)=\cos x+x\sin x-1$ 在 $(0,\pi)$ 上的符号看不清，下一步应
答案C
$f''(x)=x\cos x$，在 $\frac\pi2$ 处变号，于是 $f'$ 先增后减。
方程 $\sin x=\frac x{10}$ 的根都满足
答案A
$|\frac x{10}|=|\sin x|\le1$。
关联：E05 三角函数放缩 · F09 零点问题综合与取点 · F03 直接讨论与端点效应 · D04 单调与极值
数字不等式、比较大小、整数参数的最值，本质都是“估一个数”。办法有两条：找一个函数，让这些数成为它的函数值；用放缩或二分，把数夹在足够窄的区间里。
(1) 证明：$x\gt0$ 时，$\ln(1+x)\gt\dfrac{2x}{x+2}$；(2) 证明：$\left(\dfrac{9}{10}\right)^{19}\lt\dfrac{1}{e^2}$。
作差求导，端点 $x=0$ 处恰为 0
取对数：把“乘方”变成“乘法”，数就成了函数值
$x$ 的取值由目标反推：$\frac{2x}{x+2}=\frac2{19}\Rightarrow x=\frac19$
换成更粗的 $\ln(1+x)\gt\dfrac{x}{1+x}$：$x=\frac19$ 时只得 $\ln\frac{10}9\gt\frac1{10}$，而 $\frac1{10}\lt\frac2{19}$，证不出来。真值 $19\ln\frac{10}9\approx2.0018$，只比 2 多一点点，必须用二阶贴合的飘带下界（E03）。
数字不等式三步：取对数（化乘方为乘积）→ 找函数（让数成为 $f(x_0)$）→ 选精度够的放缩（离取等点越远、余量越小，越要精细）。
将 $e^3,\ 3^e,\ e^\pi,\ \pi^e,\ 3^\pi,\ \pi^3$ 按从小到大排列。
D07 母函数：同构成同一个函数的两个值
“底和指数互换”的三对
幂函数、指数函数单调性
要估的是 $\ln\pi$，在 $x=\frac\pi e\approx1.16$ 附近放缩，离取等点近
余量 0.08、0.26，切线放缩够用
比较大小先“同构”：把要比的数改写成 $f(a)$、$f(b)$ 的形式，再看 $a,b$ 是否在 $f$ 的同一单调区间。不在同一区间（或 $f$ 无法统一）时，才需要定量估值。
若当 $x\gt0$ 时，$xe^x\ge k(\ln x+1)$ 恒成立，求整数 $k$ 的最大值。
整数的离散性：$k\le e\approx2.718\Rightarrow k\le2$
先用 $e^t\ge t+1$，再用 $x\ge\ln x+1$
探路给上界，构造给可达性
分离参数前先看分母符号
$x_0$ 解不出来：隐零点
用零点方程消去 $\ln x_0$
区间要窄到只含一个整数段：$(1.75,2.40)$ 就不够
$x_0\in(0.5000,\,1.0000)$，$\varphi_{\min}\in(1.237,\,5.437)$。区间含整数 2～5，还不能断定，继续二分。
| 题型 | 第一步 | 关键 | 本课例 |
|---|---|---|---|
| 数字不等式 | 取对数，把乘方化为乘积 | 由目标反推 $x_0$，选精度够的放缩（切线 → 飘带 → 泰勒） | 例 1：$\ln\frac{10}9\gt\frac2{19}$ |
| 比较大小 | 同构成 $f(a)$、$f(b)$ | 同一单调区间直接比；否则定量估值 | 例 2：$\frac{\ln x}x$ |
| 整数参数最值 | 特殊点探路，得上界 | 证明可达；或隐零点二分到“只含一个整数段” | 例 3：$k_{\max}=2$ |
**易错 1：放缩精度不够。**余量很小时（如 $19\ln\frac{10}9-2\approx0.002$），粗放缩直接失败。先算一下真值和余量，再挑放缩。
**易错 2：估计区间跨过整数。**$\varphi_{\min}\in(1.75,2.40)$ 不能断定 $k_{\max}=2$（若 $\varphi_{\min}\lt2$，$k_{\max}=1$）；要继续缩小区间，或换方法一。
**易错 3：探路只给必要条件。**由 $x=1$ 得 $k\le2$ 只说明 $k=3$ 不行，还必须证明 $k=2$ 确实成立。
**常用数据：**$\ln2\approx0.693$，$\ln3\approx1.099$，$e\approx2.718$，$e^2\approx7.389$，$\sqrt e\approx1.649$。题目给了参考数据，就是在提示估值精度。
比较 $e^\pi$ 与 $\pi^e$，最直接的依据是
答案B
$\frac{\ln x}{x}$ 在 $x=e$ 处取最大值，所以 $\frac{\ln\pi}{\pi}\lt\frac1e$，即 $e\ln\pi\lt\pi$，$\pi^e\lt e^\pi$。
某题算得 $\varphi_{\min}=\varphi(x_0)\in(1.75,\,2.40)$，要求“$k\le\varphi(x)$ 恒成立的最大整数 $k$”，则
答案C
区间跨过整数 2，必须继续缩小 $x_0$ 的范围（再二分），或换必要性探路。
证 $\left(\frac{10}{9}\right)^{19}\gt e^2$ 时，用 $\ln(1+x)\gt\frac{x}{1+x}$ 取 $x=\frac19$ 失败的原因是
答案A
它只给出 $\ln\frac{10}9\gt\frac1{10}$，而需要 $\gt\frac2{19}\approx0.1053$；真值 $\approx0.10536$，余量太小。
关联：E01 指对基本不等式 · E03 飘带函数 · D07 八大母函数 · F05 隐零点 · F03 必要性探路
数列 $a_n=f(n)$ 是自变量只取 $1,2,3,\dots$ 的函数，图像是一串孤立的点。函数的工具（单调性、最值）都能用，但要记住：$n$ 只能取正整数。
$a_n=\dfrac{n}{n+1}$$a_n=(-1)^n\dfrac1n$$a_n=n^2-7n+12$
第 $n$ 项是“序号的函数”
不是连续曲线：点与点之间没有定义
判断单调看 $a_{n+1}-a_n$ 的符号
所以函数的性质只能“借用”，不能照搬
看第三个数列 $n^2-7n+12=(n-3)(n-4)$：抛物线顶点在 $x=3.5$，而数列的最小项是 $a_3=a_4=0$，在离 3.5 最近的整数处取到。
不是每个数列都有通项公式（如 $\pi$ 的各位小数），有通项公式也可能不唯一（$1,-1,1,-1,\dots$ 可写 $(-1)^{n+1}$，也可写 $\cos(n-1)\pi$）。
$a_{4}=S_{4}-S_{3}=21-13=8=2\times4$。
$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，相邻两个和只差最后一项：
$$a_n=\begin{cases}S_1, & n=1\\ S_n-S_{n-1}, & n\ge2\end{cases}$$
$S_{n-1}$ 要求 $n-1\ge1$
一定要检验 $n=1$：常数项不为 0 时首项“对不上”
已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1=2$，$a_{n+1}=2S_n+2$（$n\in\mathbf N^*$），则 $a_4=$（ ）
A. 16 B. 32 C. 54 D. 162
“和”式写两遍相减，$S$ 就变成 $a$
相减只对 $n\ge2$ 成立，$n=1$ 单独验
直接递推：$a_2=6$，$S_2=8$，$a_3=18$，$S_3=26$，$a_4=54$
$a_2-a_1=3-\lambda=0.4\gt0$，数列递增。顶点 $x=1.30\gt1$，函数在 $[1,+\infty)$ 上不单调，但数列照样递增。
已知 $a_n=n^2-\lambda n$，且 $\{a_n\}$ 是递增数列，求实数 $\lambda$ 的取值范围。
数列单调的定义：对一切 $n\in\mathbf N^*$，$a_{n+1}\gt a_n$
恒成立问题：$\lambda$ 小于 $2n+1$ 的最小值
易错：照搬函数单调性。“顶点 $\frac\lambda2\le1$”得 $\lambda\le2$，范围偏小。$2\lt\lambda\lt3$ 时顶点在 1 与 1.5 之间，$y=f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上并不递增，但数列只看 $n=1,2,3,\dots$，仍然 $a_1\lt a_2\lt\cdots$。例如 $\lambda=2.6$ 时仍递增。
函数单调 $\Rightarrow$ 数列单调，反过来不成立。用函数时，条件只要求“顶点在 $1$ 与 $2$ 的中点 $\frac32$ 左边”：$\frac\lambda2\lt\frac32$。
已知 $a_n=n\left(\dfrac{9}{10}\right)^n$，数列 $\{a_n\}$ 有没有最大项？若有，求出最大项。
各项为正，可以作商；与 1 比较
$a_1\lt a_2\lt\cdots\lt a_9=a_{10}\gt a_{11}\gt\cdots$
两项相等时两项都是最大项
求最大项的两种写法：作差/作商找“由增变减”的位置；或解不等式组 $\begin{cases}a_n\ge a_{n-1}\\a_n\ge a_{n+1}\end{cases}$。
借函数估位置：$y=xq^x$ 的最大值点是 $x^*=-\frac1{\ln q}$，最大项在 $\lfloor x^*\rfloor$ 或 $\lceil x^*\rceil$ 处。$q=0.9$ 时 $x^*\approx9.49$，比较 $a_9$、$a_{10}$ 即可。
| 问题 | 方法 | 注意 | 本课例 |
|---|---|---|---|
| 由 $S_n$ 求 $a_n$ | $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge2$），$a_1=S_1$ | 检验 $n=1$ 能否合并 | $S_n=n^2+n+1$ |
| 含 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系式 | 下标错一位再写一遍，相减消去 $S$ | 相减只对 $n\ge2$ 成立 | 例 1：$a_{n+1}=2S_n+2$ |
| 单调性 | $a_{n+1}-a_n$ 的符号（各项为正时也可作商） | 对一切 $n\in\mathbf N^*$ 成立 | 例 2：$\lambda\lt3$ |
| 最大（小）项 | 找“由增变减”的位置；或解 $a_n\ge a_{n\pm1}$ | 相等时两项都是最大项 | 例 3：$a_9=a_{10}$ |
**易错 1：忘了 $n\ge2$。**$a_n=S_n-S_{n-1}$ 里 $S_{n-1}$ 要有意义，首项必须单独用 $a_1=S_1$。
**易错 2：用连续函数代替数列。**顶点、导数给出的是函数的性质；数列只看正整数点，条件常常更宽（例 2）。
**函数工具怎么用：**可以先用 $f'(x)$ 或顶点估计单调区间、最值点的位置，最后一定回到整数 $n$ 上比较。
**后续：**等差数列是“一次函数的点”（G02），等比数列是“指数函数的点”（G03），$S_n$ 的问题见求和（G06）。
已知 $S_n=2^n+1$，则 $a_n=$
答案C
$n\ge2$ 时 $a_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$；$a_1=S_1=3\ne2^0$，必须分段。
若 $a_n=n^2+kn$ 是递增数列，则 $k$ 的取值范围是
答案B
$a_{n+1}-a_n=2n+1+k\gt0$ 对一切 $n\ge1$ 成立 $\iff k\gt-3$。
数列 $a_n=n\left(\frac45\right)^n$ 的最大项是
答案D
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac45\cdot\frac{n+1}n\ge1\iff n\le4$，$n=4$ 时取等，所以 $a_4=a_5$ 都是最大项。
关联：G02 等差数列 · G03 等比数列 · G06 数列求和 · D04 单调性与最值
$a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)$ 是一次函数在正整数处的值；$S_n=\frac d2n^2+\left(a_1-\frac d2\right)n$ 是不含常数项的二次函数。两个函数图像，管住等差数列的全部性质。
判定只看“相邻两项的差是常数”
两项定 $d$：$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$，就是直线的斜率
单调性由斜率 $d$ 决定
中间那个点是两端点连线的中点
反过来也对：若 $a_n=pn+q$（一次式），则 $\{a_n\}$ 是公差为 $p$ 的等差数列。“通项是 $n$ 的一次式”就是等差数列的另一种判定。
$$m+n=p+q\ \Longrightarrow\ a_m+a_n=a_p+a_q$$
只和下标之和有关
首尾配对：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2$
记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_5=S_{10}$，$a_5=1$，则 $a_1=$（ ）
A. $\frac72$ B. $\frac73$ C. $-\frac13$ D. $-\frac7{11}$
两个和相等，差出来的那几项之和为 0
奇数个连续项的和 = 项数 × 中间项
验算：$S_5=5a_3=5\times\frac53=\frac{25}3$，$S_{10}=5(a_5+a_6)=5\times\frac53=\frac{25}{3}$
开口向下，最后一个正项是 $a_{9}=1$，$S_n$ 的最大值为 $S_{9}=45$；又 $a_{10}=0$，$S_{9}=S_{10}$ 同为最大值。
所以 $S_n=An^2+Bn$ 也是等差数列的判定
平均数随 $n$ 线性变化
$S_{n}-S_{n-1}=a_n$：项为正，和就还在涨
求 $S_n$ 最值两条路：① 二次函数，对称轴 $x=\frac12-\frac{a_1}d$，取最近的整数；② 找 $a_n$ 的变号位置（$a_n\ge0$ 且 $a_{n+1}\le0$）。② 更不容易错。
**易错：$d\gt0\Rightarrow S_n$ 递增？**不对。按“$a_1=-10,\ d=1$”：$S_1=-10\gt S_2=-19$。$S_n$ 递增看的是 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 的符号，要 $a_2\gt0$ 且 $d\ge0$。
等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_{10}\lt S_8\lt S_9$，则（ ）
A. 当 $n=9$ 时 $S_n$ 最大 B. 使 $S_n\lt0$ 的最小 $n=18$
C. $|a_8+a_9|\gt|a_{10}+a_{11}|$ D. $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 的最小项为 $\frac{S_{10}}{a_{10}}$
把“和的大小”翻译成“项的符号”
奇数项和用中间项，偶数项和用中间两项
样例 $a_1=8.3$：$|1.6|\lt|-2.4|$
其余 $n$ 比值为正
| 场景 | 工具 | 本课例 |
|---|---|---|
| 已知两个条件求 $a_1,d$ | 基本量法：都写成 $a_1,d$ 的方程 | 例 1 也可以这样解 |
| 下标有对称、有“和相等” | $m+n=p+q\Rightarrow a_m+a_n=a_p+a_q$；$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ | 例 1：$5a_8=0$ |
| $S_n$ 的最值 | 找 $a_n$ 变号处；或二次函数对称轴取最近整数 | 例 2：$S_9$ 最大 |
| $S_n$ 的正负 | $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$，$S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})$ | 例 2：$S_{17}\gt0\gt S_{18}$ |
| $\vert a_n\vert $ 的前 $n$ 项和 $T_n$ | 变号前 $T_n=S_n$；变号后 $T_n=2S_{n_0}-S_n$ | $a_n=11-2n$：$n\ge6$ 时 $T_n=n^2-10n+50$ |
易错 1：$d\gt0$ 推不出 $S_n$ 递增（$a_1=-10,d=1$）；$S_n$ 递增也推不出 $d\gt0$（$d=0,a_1\gt0$）。两者既不充分也不必要。
**易错 2：**二次函数的对称轴 $\frac12-\frac{a_1}d$ 可能是半整数，此时两个整数处的 $S_n$ 相等，都是最值（如 $a_n=8-n$ 时 $S_7=S_8$）。
**$|a_n|$ 求和：**$a_n=11-2n$，$S_n=10n-n^2$，$S_5=25$。$n=6$ 时 $T_6=2\times25-24=26$，逐项验：$9+7+5+3+1+1=26$。
**对照 G03：**等差是“加 $d$”，对应一次函数；等比是“乘 $q$”，对应指数函数。
等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_3+a_9=10$，则 $S_{11}=$
答案C
$2a_6=a_3+a_9=10$，$a_6=5$，$S_{11}=11a_6=55$。
等差数列 $a_1=13$，$d=-2$，$S_n$ 取最大值时 $n=$
答案B
$a_n=15-2n$，$a_7=1\gt0$，$a_8=-1\lt0$，所以 $S_7=49$ 最大。
等差数列中，“$d\gt0$”是“$\{S_n\}$ 为递增数列”的
答案D
$S_n$ 递增 $\iff a_2\gt0$ 且 $d\ge0$，与 $d\gt0$ 互不包含。
相关专题：G01 数列的概念 · G03 等比数列 · G06 数列求和 · A05 二次函数
$a_n=a_1q^{n-1}=\dfrac{a_1}{q}\cdot q^n$ 是指数型函数在正整数处的值。对照等差数列：加法变乘法，中点变几何平均，取对数后又回到等差。
$a_1\gt0$，$q\gt1$：递增。
隐含条件：每一项都不为 0，$q\ne0$
两项定 $q$：$q^{n-m}=\frac{a_n}{a_m}$，注意偶次方根有正负
$b$ 有两个值 $\pm\sqrt{ac}$
看 $a_{n+1}-a_n=a_n(q-1)$ 的符号
反过来：若 $a_n=c\cdot r^n$（$c,r\ne0$），则 $\{a_n\}$ 是公比为 $r$ 的等比数列。
非零常数列既是等差数列又是等比数列；常数列 $0,0,0,\dots$ 只是等差数列。
$$m+n=p+q\ \Longrightarrow\ a_ma_n=a_pa_q$$
只和下标之和有关
首尾配对，和等差的 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ 一一对应
左图：点都落在一条直线上
| 等差（加） | 等比（乘） |
|---|---|
| $a_m+a_n=a_p+a_q$ | $a_ma_n=a_pa_q$ |
| $2b=a+c$ | $b^2=ac$ |
| $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ | $T_{2k-1}=a_k^{2k-1}$（$T$ 为前 $n$ 项积） |
| 一次函数 | 指数函数 |
乘 $q$ 后整体右移一格
中间对齐的项全部抵消，只剩首尾
除以 $1-q$ 之前必须先讨论 $q=1$
**易错：**公比未知时直接套 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，漏掉 $q=1$。凡是“已知 $S_n$ 的关系求 $q$”，第一步先单独检验 $q=1$。
结构：$q\ne1$ 时 $S_n=A-Aq^n$（$A=\frac{a_1}{1-q}$），常数项与 $q^n$ 的系数互为相反数。这一步方法在 G06 的错位相减里还会再用。
$q=2$$q=-2$
记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_4=-5$，$S_6=21S_2$，则 $S_8=$（ ）
A. $120$ B. $85$ C. $-85$ D. $-120$
先排除特殊公比
$S_2=-5/(1+q^2)\ne0$，可约去
$q=\pm2$ 时 $a_1$ 虽不同，但分段和的公比都是 $q^2=4$，故 $S_8$ 相同
“片段和成等比”要求每段不为 0：$q=-1$ 且段长为偶数时 $S_2=0$，结论失效。
甲 成立，乙 不成立。 这就是“甲推不出乙”的反例：$a_1\lt0$ 时各项都为负，$S_n$ 越加越小。
等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$。设甲：$q\gt0$，乙：$\{S_n\}$ 是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
和的单调性看项的符号（G01）
$q^2\gt0$ 先定 $a_1$ 的符号
**易错：**只盯着 $q$，忘了 $a_1$ 的符号。等比数列的单调性、$S_n$ 的单调性都由 $a_1$ 和 $q$ 共同决定。
| 场景 | 工具 | 本课例 |
|---|---|---|
| 已知两个条件求 $a_1,q$ | 基本量法；两式相除消去 $a_1$ | 例 1 也可两式相除 |
| 下标有对称 | $m+n=p+q\Rightarrow a_ma_n=a_pa_q$ | $a_2a_8=a_5^2$ |
| 和的关系求 $q$ | 先验 $q=1$；再用片段和或公式 | 例 1：$q^2=4$ |
| 单调性、$S_n$ 单调性 | 同时看 $a_1$ 与 $q$ 的符号 | 例 2：选 B |
正项等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_2a_8=16$，则 $a_5=$
答案A
$a_5^2=a_2a_8=16$，正项，$a_5=4$。
等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=3^n+t$，则 $t=$
答案B
$S_n=A-Aq^n$，常数项与 $3^n$ 的系数互为相反数，$t=-1$。验：$a_1=2,a_2=6,a_3=18$。
等比数列 $\{a_n\}$ 中 $S_3=3a_1$，则 $q=$
答案C
$a_1(1+q+q^2)=3a_1$，$q^2+q-2=0$，$q=1$ 或 $q=-2$。用 $a_1+a_2+a_3$ 展开就不会漏 $q=1$。
相关专题：G01 数列的概念 · G02 等差数列 · G06 数列求和 · A06 指数函数
递推式只告诉我们“下一项怎么由上一项得到”。求通项的思路只有一条：变形，让某个辅助数列成为等差数列或等比数列，或者让中间项一串一串地消掉。
每个式子都是“相邻两项之差”
右边是等差数列求和
累加只对 $n\ge2$ 推出，首项要单独验
累加、累乘是同一个想法：把 $a_n$ 写成“首项 + 一串增量”或“首项 × 一串倍数”，中间项成对抵消。能不能用，就看 $f(n)$ 的和（或积）能不能算出来。
等差数列是累加的特例（$f(n)=d$），等比数列是累乘的特例（$f(n)=q$）。
希望减掉同一个常数后，变成“只乘不加”
$\lambda$ 正是方程 $x=px+q$ 的解，叫不动点（G05 推广）
要求 $a_1\ne\lambda$；若 $a_1=\lambda$，则 $a_n\equiv\lambda$ 是常数列
当 $|p|\gt1$ 时 $a_n$ 远离不动点 $\lambda$；当 $|p|\lt1$ 时 $a_n\to\lambda$；当 $p\lt0$ 时数列在 $\lambda$ 两侧交替。$p=1$ 时无不动点，数列为等差数列。
**算 $\lambda$ 别背公式。**直接解 $x=px+q$ 最快。例如 $a_{n+1}=3a_n+1$：$x=3x+1$，$x=-\frac12$，所以 $a_{n+1}+\frac12=3\left(a_n+\frac12\right)$。
共同点：先找“哪个量”成等差或等比。分式递推看倒数，带 $r^n$ 的看除以 $r^{n+1}$，带 $n$ 的一次式就把 $xn+y$ 一起配凑，乘方型看对数。
取倒数、取对数之前要说明 $a_n\ne0$、$a_n\gt0$（通常用归纳法或递推式本身说明）。
| 递推式 | 变形 | 辅助数列 | 通项 |
|---|---|---|---|
| $a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$，$a_1=1$ | 取倒数：$\frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_n}+2$ | $b_n=\frac1{a_n}$ 等差，$d=2$ | $a_n=\frac1{2n-1}$ |
| $a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}$，$a_1=2$ | 除以 $2^{n+1}$：$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+1$ | $b_n=\frac{a_n}{2^n}$ 等差，$d=1$ | $a_n=n\cdot2^n$ |
| $a_{n+1}=2a_n-n+1$，$a_1=2$ | 配凑：$a_{n+1}-(n+1)=2(a_n-n)$ | $b_n=a_n-n$ 等比，$q=2$ | $a_n=2^{n-1}+n$ |
| $a_{n+1}=a_n^2$，$a_1=2$ | 取对数：$\ln a_{n+1}=2\ln a_n$ | $b_n=\ln a_n$ 等比，$q=2$ | $a_n=2^{2^{n-1}}$ |
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+1$。证明 $\left\{a_n+\frac12\right\}$ 是等比数列，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式。
不动点 $x=3x+1\Rightarrow x=-\frac12$
证明等比要写出首项不为 0
回代检验：$a_2=4=3\cdot1+1$ ✓
第 (2) 问证 $\sum\frac1{a_k}\lt\frac32$，要用 $\frac{1}{3^n-1}\le\frac{1}{2\cdot3^{n-1}}$ 的等比放缩，见 G08。
记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1$，$\left\{\dfrac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac13$ 的等差数列。求 $\{a_n\}$ 的通项公式。
先把已知的等差数列写出来
$S_n$ 型：用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 消去 $S_n$（$n\ge2$）
隔一项约分：分子剩 $n(n+1)$，分母剩 $1\cdot2$
第 (2) 问 $\frac1{a_n}=2\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$ 裂项，见 G07
例 2 的点由 $a_n=\dfrac{3S_{n-1}}{n-1}$ 逐项算出，正好落在抛物线 $y=\frac{x(x+1)}2$ 上。题目给的是 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系时，第一步几乎总是 $a_n=S_n-S_{n-1}$。
| 递推式 | 方法 | 关键一步 |
|---|---|---|
| $a_{n+1}-a_n=f(n)$ | 累加 | $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$，要求 $\sum f(k)$ 可求 |
| $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ | 累乘 | $a_n=a_1\prod_{k=1}^{n-1}f(k)$，错位约分 |
| $a_{n+1}=pa_n+q$（$p\ne1$） | 待定系数 | $\lambda$ 解 $x=px+q$，$\{a_n-\lambda\}$ 等比 |
| $a_{n+1}=pa_n+r^{n}$ 型 | 两边除以 $r^{n+1}$（或 $p^{n+1}$） | 化为 $b_{n+1}=\frac pr b_n+\frac1r$ 或累加 |
| $a_{n+1}=pa_n+kn+b$ | 待定一次式 | $\{a_n+xn+y\}$ 等比 |
| $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{ca_n+d}$ | 取倒数 | $\frac1{a_{n+1}}=\frac d{a_n}+c$，再按上面处理 |
| $a_{n+1}=ca_n^{\,k}$（$a_n\gt0$） | 取对数 | $\ln a_{n+1}=k\ln a_n+\ln c$ |
| 含 $S_n$ 的关系式 | 作差 | $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge2$），化为上面的类型 |
**易错 1：首项不验。**累加、累乘、作差得到的式子只对 $n\ge2$ 成立，最后要检查 $n=1$；不符合就写成分段形式。
**易错 2：$\lambda$ 的符号。**$a_{n+1}=3a_n+1$ 的配凑是 $a_n+\frac12$，不是 $a_n-\frac12$。解 $x=px+q$ 不会错。
**易错 3：累乘少了首项。**$\frac{a_n}{a_1}=\prod f(k)$，最后要乘 $a_1$。
**易错 4：等比数列首项为 0。**证明“$\{b_n\}$ 是等比数列”必须说明 $b_1\ne0$。
$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n-3$，则 $a_n=$
答案C
$\lambda=3$，$a_n-3=(2-3)\cdot2^{n-1}$，所以 $a_n=3-2^{n-1}$；检验 $a_2=1$ ✓。
$a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}$，最合适的变形是
答案B
$\frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_n}+1$，$\{\frac1{a_n}\}$ 是公差 1 的等差数列，$a_n=\frac1n$。
已知 $S_n=n^2+1$，则 $a_n=$
答案D
$n\ge2$ 时 $a_n=2n-1$，而 $a_1=2$ 不符合，要分段写。
相关专题：G01 aₙ 与 Sₙ · G02 等差数列 · G03 等比数列 · G05 不动点与特征根 · G07 裂项相消
把递推 $a_{n+1}=g(a_n)$ 看成函数的反复迭代：数列的走向由 $y=g(x)$ 与 $y=x$ 的交点（不动点）决定。G04 里配凑的常数 $\lambda$ 就是不动点；分式递推、二阶线性递推也都按这个思路构造等比或等差数列。
蛛网图把“代入”变成“走折线”
递推式两边同时取极限
导数就是局部的“公比”
对线性递推 $g(x)=px+q$，$g'(x^*)=p$ 正是 $\{a_n-\lambda\}$ 的公比。对分式递推，构造出的等比数列的公比也恰好等于 $g'$ 在吸引不动点处的值（表中最后一行）。
先找不动点
两式分母相同
分母约掉，只剩常数倍
$n=1$ 时得 $3$ ✓；$n\to\infty$ 时 $a_n\to2$
重根对应一个不动点
将 $a_n+3$ 拆成 $(a_n-1)+4$
$g'(1)=1$，收敛到不动点的速度不像公比绝对值小于 $1$ 时那样呈等比衰减
记方法不如记来由：不动点让 $a_{n+1}-\alpha$ 与 $a_n-\alpha$ 出现公因式。两个根就相除得等比，一个根就取倒数得等差。解答题里要写出完整的变形过程，不能只写“由不动点法”。
把 $a_{n+2},a_{n+1},a_n$ 换成 $x^2,x,1$
$p=\alpha+\beta$，$q=-\alpha\beta$
两种做法结果相同
$a_3=5\cdot5-6=19=27-8$ ✓
判别式为 $0$
仍先构造等比数列
重根时通项多出因子 $n$
$\varphi\approx1.618$，是黄金比
利用 $\varphi+\psi=1$、$\varphi\psi=-1$
通项含无理数，但每一项仍是整数
相邻项之比趋近绝对值较大的特征根
原理：若 $\alpha,\beta$ 是 $x^2=px+q$ 的根，则 $p=\alpha+\beta$，$q=-\alpha\beta$，递推式可改写为 $a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$。所以 $\{a_{n+1}-\beta a_n\}$ 是公比 $\alpha$ 的等比数列，再用 G04 的方法即可。
| 特征根 | 通项形式 |
|---|---|
| $\alpha\ne\beta$ | $a_n=A\alpha^n+B\beta^n$ |
| $\alpha=\beta$ | $a_n=(A+Bn)\alpha^n$ |
$A,B$ 由 $a_1,a_2$ 列方程求出。特征根法是选填的速算工具；解答题要写出“构造 $\{a_{n+1}-\beta a_n\}$ 为等比数列”的过程。
甲、乙两人投篮，命中则此人继续投，未命中则换对方投。甲每次命中率 0.6，乙每次命中率 0.8，第 1 次由甲、乙投篮的概率各为 0.5。求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率 $p_i$。
全概率公式把概率问题变成递推
$g'=0.4$，$|0.4|\lt1$，收敛
检验：$p_2=0.4$，与第 (1) 问 $P(B_2)=0.6$ 吻合
$p_i\to\frac13$：投很多次以后，甲投篮的概率稳定在 $\frac13$，不再受第一次抽签的影响。这就是不动点的含义。
$p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=0.4p_{i-1}+0.5p_i+0.1p_{i+1}$（$i=1,2,\cdots,7$）。(i) 证明 $\{p_{i+1}-p_i\}$ 为等比数列；(ii) 求 $p_4$。
压轴1. 整理得 $p_{i+1}=5p_i-4p_{i-1}$，即 $p_{i+1}-p_i=4(p_i-p_{i-1})$，且 $p_1-p_0=p_1\ne0$
特征方程 $x^2=5x-4$ 的根是 1 和 4
- 累加：$p_8-p_0=p_1(1+4+\cdots+4^7)=p_1\cdot\dfrac{4^8-1}{3}=1$，$p_1=\dfrac{3}{4^8-1}$ 用两端的条件定首项
- $p_4=p_1\cdot\dfrac{4^4-1}{3}=\dfrac{4^4-1}{4^8-1}=\dfrac{1}{4^4+1}=\dfrac1{257}$
平方差约分
$p_i$ 从 $0.5$ 出发很快稳定到 $\frac13$：公比 $0.4$ 越小，靠近得越快。
| 递推式 | 先解的方程 | 构造 | 得到 |
|---|---|---|---|
| $a_{n+1}=pa_n+q$ | $x=px+q$，根 $\lambda$ | $a_n-\lambda$ | 等比，公比 $p$ |
| $a_{n+1}=\dfrac{Aa_n+B}{Ca_n+D}$，两根 $\alpha\ne\beta$ | $x=\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$ | $\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}$ | 等比 |
| 同上，重根 $\alpha$ | 同上 | $\dfrac1{a_n-\alpha}$ | 等差 |
| $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ | $x^2=px+q$，根 $\alpha,\beta$ | $a_{n+1}-\beta a_n$ | 等比，公比 $\alpha$ |
**易错 1：首项等于不动点。**若 $a_1=\alpha$，则 $a_n\equiv\alpha$，“$\{a_n-\alpha\}$ 是等比数列”不成立（首项为 0）。证明等比必须写出首项不为 0。
**易错 2：两个根的位置。**$\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}$ 与 $\dfrac{a_n-\beta}{a_n-\alpha}$ 都是等比数列，公比互为倒数。选哪个都对，但前后要一致。
**极限只能是不动点，但不动点不一定是极限。**$|g'(x^*)|\gt1$ 的不动点会把数列推开（蛛网图中的 $2x-1$）。
概率递推是高频场景。“第 $i$ 次 …… 的概率”常由全概率公式得出 $p_{i+1}=ap_i+b$，本质就是本模块的线性递推。
$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n}{a_n+1}$，下列数列中是等比数列的是
答案B
不动点 $0,1$；$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}}=\frac12\cdot\frac{a_n-1}{a_n}$，首项 $\frac12$，公比 $\frac12$。
$a_1=0$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n-1}{a_n+1}$，应构造
答案C
重根 $x=1$，$\frac1{a_{n+1}-1}=\frac1{a_n-1}+\frac12$，公差 $\frac12$。
$a_1=10$，$a_{n+1}=\frac12a_n+3$，则当 $n\to\infty$ 时 $a_n\to$
答案A
不动点 $x=\frac12x+3$，$x=6$；$|g'|=\frac12\lt1$，$a_n=6+4\left(\frac12\right)^{n-1}\to6$。
相关专题：G04 递推求通项（一） · G03 等比数列 · G08 数列不等式与放缩 · G09 函数不等式与数列
求和的本质是把“不会加的”变成“会加的”：拆成等差、等比（分组），首尾配对成常数（倒序相加），错开一位变成等比（错位相减）。三种方法各对应一种通项结构。
求 $a_n=2n+2^n$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。
加法交换律：同类的放一起
验算 $n=1$：$S_1=a_1=4$，$2+4-2=4$
**同一思路：奇偶分组。**$a_n=(-1)^nn$：$-1+2-3+4-\cdots$，相邻两项一组，每组和为 1，所以 $S_{2k}=k$；$S_{2k-1}=S_{2k}-a_{2k}=k-2k=-k$。
分组的“组”要看通项：$a_n=\begin{cases}2n,&n\text{ 奇}\\2^n,&n\text{ 偶}\end{cases}$ 这类分段通项，奇数项、偶数项各成一个数列，项数要数清楚。
已知 $f(x)=x^3-3x^2$，则 $f\!\left(\frac1{2023}\right)+f\!\left(\frac2{2023}\right)+\cdots+f\!\left(\frac{4046}{2023}\right)=$（ ）
A. $-8088$ B. $-8090$ C. $-8092$ D. $-8094$
三次函数关于拐点对称：$f''(x)=6x-6=0$，$x=1$，$f(1)=-2$；也可直接展开验证
倒序相加就是首尾配对；项数为奇数时中间项 $f(1)=-2$ 自己和自己配
配对前先数清楚哪些项“有伴”
**易错：**直接说“共 4046 项，配成 2023 对，和为 $-8092$”。错在 $f(2)$ 的伴是 $f(0)$，而 $f(0)$ 不在和式里。
| $\frac1{2^{1}}$ 列 | $\frac1{2^{2}}$ 列 | $\frac1{2^{3}}$ 列 | $\frac1{2^{4}}$ 列 | $\frac1{2^{5}}$ 列 | $\frac1{2^{6}}$ 列 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T_n$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{2}{4}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{4}{16}$ | $\frac{5}{32}$ | |
| $\frac12T_n$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{2}{8}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{4}{32}$ | $\frac{5}{64}$ | |
| 相减 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{1}{32}$ | $-\frac{5}{64}$ |
同一列分母相同，分子差 1
中间变成等比数列，末尾多出一项要减掉
左图：$T_n$ 递增，始终在 $y=2$ 下方
G03 推等比求和公式用的就是这一步：$S_n-qS_n$。错位相减 = 等比求和公式的推导，再多一个“等差系数”。
记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_2=1$，$2S_n=na_n$。
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\dfrac{a_n+1}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$。
$a_n$ 与 $S_n$ 的关系先看 $n=1$（G01）
$n=2$ 时系数 $n-2=0$，不能除，要从 $n\ge3$ 开始
验算：$T_1=\frac12$，$2-\frac32=\frac12$ ✓；$T_2=1$，$2-1=1$ ✓
结构（检验用）：$c_n=(an+b)q^{n}$（$q\ne1$）的前 $n$ 项和一定形如 $T_n=(An+B)q^n-B$。本题 $A=-1,B=-2$。用 $T_1,T_2$ 两个值就能定出 $A,B$，用来检验错位相减的结果，解答题仍要写完整过程。
三个高频失分点：① 相减后中间等比数列的项数数错（这里是 $n$ 项）；② 末项 $-\frac n{2^{n+1}}$ 的符号；③ 最后忘了除以 $1-q$（这里乘 2）。
| 通项结构 | 方法 | 关键动作 | 本课例 |
|---|---|---|---|
| 等差 ± 等比；$(-1)^n\cdot$ 等差 | 分组求和 | 拆开分别套公式；奇偶相邻两项一组 | 例 1：$n(n+1)+2^{n+1}-2$ |
| $f(x)+f(c-x)$ 为常数 | 倒序相加 | 首尾配对；数清落单的项 | 例 2：$-8094$ |
| 等差 × 等比 | 错位相减 | 乘公比、错一位、相减、除以 $1-q$ | 例 3：$2-\frac{n+2}{2^n}$ |
| 分式 $\frac1{n(n+k)}$、根式等 | 裂项相消 | 见 G07 |
**易错 1：**等比部分的公比为字母时，要讨论 $q=1$。如 $\sum kq^{k}$ 中 $q=1$ 时就是等差数列求和 $\frac{n(n+1)}2$。
**易错 2：**$(-1)^n$ 型分组求和，$n$ 的奇偶要分开写结果，最后能合并再合并。
**养成习惯：**求出 $S_n$ 后，代 $n=1,2$ 与 $a_1$、$a_1+a_2$ 对照。错位相减算错，这一步几乎都能查出来。
**和不等式连起来：**$T_n=2-\frac{n+2}{2^n}\lt2$ 是“先求和、再放缩”的标准起点，见 G08。
$a_n=(-1)^nn$，则 $S_{100}=$
答案B
相邻两项一组，每组和为 1，共 50 组。
求 $\sum_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^k$，应选
答案C
等差 $(2k-1)$ × 等比 $3^k$，乘 3 错位相减。
$\sum_{k=1}^n k\cdot2^k=$ （提示：代 $n=1,2$ 检验）
答案A
$n=1$：$0+2=2$ ✓；$n=2$：$8+2=10=2+8$ ✓。
相关专题：G02 等差数列 · G03 等比数列 · G07 裂项相消 · G08 数列不等式
若 $a_k=f(k)-f(k+1)$，那么相加时中间的 $f(2),f(3),\dots,f(n)$ 一正一负成对消掉，只剩首尾：$\sum_{k=1}^n a_k=f(1)-f(n+1)$。裂项的全部功夫，就是找出这个 $f$。
$1$−$\frac1{2}$+$\frac1{2}$−$\frac1{3}$+$\frac1{3}$−$\frac1{4}$+$\frac1{4}$−$\frac1{5}$+$\frac1{5}$−$\frac1{6}$
分子的 1 恰好是两个因式之差
每一项的“减数”就是下一项的“被减数”
前面剩 1 个，后面剩 1 个
两因式之差为 $2$，所以裂项系数为 $\dfrac12$
间隔为 $2$，对应前后各两项
这是“后项减前项”，消法相同；$S_n$ 趋于无穷，能裂项不代表和有上界
| 类型 | 裂项 |
|---|---|
| 分式 | $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ |
| 分式 | $\dfrac1{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac12\left(\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k+1}\right)$ |
| 根式 | $\dfrac1{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt k$ |
| 对数 | $\ln\left(1+\dfrac1k\right)=\ln(k+1)-\ln k$ |
| 指数 | $\dfrac{2^k}{(2^k+1)(2^{k+1}+1)}=\dfrac1{2^k+1}-\dfrac1{2^{k+1}+1}$ |
| 平方差 | $\dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\dfrac1{k^2}-\dfrac1{(k+1)^2}$ |
| 三因式 | $\dfrac1{k(k+1)(k+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1{k(k+1)}-\dfrac1{(k+1)(k+2)}\right)$ |
| 阶乘 | $k\cdot k!=(k+1)!-k!$ |
怎么看出 $f$：分母是两个“相邻”因式的积时，看分子是不是（或能不能配成）两因式之差；指数型看分子是不是 $(2^{k+1}+1)-(2^k+1)$。
把通项看成 $f(k)-f(k+1)$，相加就是沿着 $f$ 的图像一级一级往下走，最后只剩“起点高度 − 终点高度”。
$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_n\gt0$，$a_n^2+2a_n=4S_n+3$。(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；(2) 设 $b_n=\dfrac1{a_na_{n+1}}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。
先求首项
$a_n\gt0$ 保证 $a_{n+1}+a_n\ne0$
两因式差 2，乘 $\frac12$
检验 $T_1=\frac1{15}=b_1$ ✓
已知 $a_n=\dfrac{n(n+1)}2$（第 (1) 问结果，见 G04），证明 $\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n}\lt2$。
别漏了系数 2
先求和，再放掉一个正数
$T_n=\frac{n}{3(2n+3)}$ 单调递增且 $T_n\lt\frac16$。若第 (3) 问让证 $\frac1{15}\le T_n\lt\frac16$，就是看这张图：最低点是 $T_1$，上界是极限。
| 步骤 | 做什么 | 检查 |
|---|---|---|
| 1. 裂 | 把通项写成 $c\,[f(k)-f(k+m)]$ | 通分还原，看系数 $c$ 对不对 |
| 2. 列 | 写出前三项和最后两项 | 看清是隔几项抵消 |
| 3. 剩 | 前面剩 $m$ 个，后面剩 $m$ 个 | 用 $n=1$ 或 $n=2$ 代入验证 |
**易错 1：漏系数。**$\dfrac1{(2k-1)(2k+1)}$ 裂开要乘 $\frac12$；因式差 $d$ 就乘 $\frac1d$。
**易错 2：剩余项数。**$\dfrac1{k(k+2)}$ 隔一项抵消，首尾各剩 2 项，不是 1 项。
**易错 3：首尾符号。**前面剩的是正项 $f(1),\dots,f(m)$，后面剩的是负项 $-f(n+1),\dots,-f(n+m)$。
**和数列不等式的衔接。**求出和后再放缩（例 2）是最常见的证明方式；若和求不出，就先把通项放大成可裂项的形式，见 G08。
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+2)}=$
答案C
前剩 $1,\frac12$，后剩 $-\frac1{n+1},-\frac1{n+2}$，再乘 $\frac12$。$n=1$：$\frac12(\frac32-\frac12-\frac13)=\frac13$ ✓。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{99}\frac1{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=$
答案B
每项为 $\sqrt{k+1}-\sqrt k$，和为 $\sqrt{100}-1=9$。
$\dfrac1{4n^2-1}$ 的正确裂项是
答案D
两因式差 2，乘 $\frac12$；通分得 $\frac12\cdot\frac{2}{4n^2-1}$ ✓。
相关专题：G04 递推求通项 · G06 数列求和 · G08 数列不等式与放缩
证明 $S_n\lt M$ 有两条路：能求出 $S_n$ 的，先求和再放缩；求不出的，先把每一项放成“能求和”的形式（裂项、等比），再求和。放多了证不出，放少了求不了，关键是精度。
裂项相消（G07）
求出精确的和
放缩只发生在最后一步：扔掉一个正数
| 路线 | 什么时候用 | 放缩发生在 |
|---|---|---|
| 先求和后放缩 | 通项可裂项、可错位相减、是等差或等比 | 和式的结果（扔掉正项、看单调性） |
| 先放缩后求和 | $\sum\frac1{k^2}$、$\sum\frac1{2^k-1}$ 这类求不出和的 | 每一项：放成可裂项或等比的形式 |
先问一句：**这个和能求出来吗？**能，就先求；不能，就想“把通项放成什么才能求和”。左右两边一个是常数、一个含 $n$ 时，含 $n$ 的那边往往就是裂项后剩下的尾巴。
证明：$1+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\cdots+\dfrac1{n^2}\lt2$；进一步，$\lt\dfrac74$；$\lt\dfrac53$。
分母变小，分数变大；放成可裂项的形式
第 1 项保留，从第 2 项起放
目标常数越接近极限 $\frac{\pi^2}{6}$，放缩必须越精细：保留前几项，或者让放大后的分母更接近原分母。先算出目标和真值的差，就知道需要多精细。
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+1$。(1) 证明 $\big\{a_n+\frac12\big\}$ 是等比数列，并求通项；(2) 证明：$\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n}\lt\dfrac32$。
待定系数（G04）
$3^n-1-2\cdot3^{n-1}=3^{n-1}-1\ge0$，$n=1$ 取等
放成等比，再求和
信号：通项形如 $\dfrac1{q^n-c}$（或 $\dfrac{q^n}{(q^n-1)^2}$ 等），就放成公比为 $\frac1q$ 的等比数列。比较“相邻两项之比”：$\dfrac{1/a_{n+1}}{1/a_n}=\dfrac{3^n-1}{3^{n+1}-1}\le\dfrac13$，这就是等比放缩的依据。
常数上界没有给“新加的一项”留余地
把常数换成含 $n$ 的上界，正是放法一裂项后剩下的式子
归纳步骤所需的不等式，就是裂项放缩的那一项
证明 $S_n\lt M$ 不好归纳时，加强为 $S_n\le M-g(n)$（$g(n)\gt0$）。$g(n)$ 怎么找：让 $g(k)-g(k+1)\ge a_{k+1}$，即 $g$ 的差能盖住新加的项。
设 $a_1=1$，$a_{n+1}=\ln(a_n+1)$，证明：$\dfrac2{n+2}\lt a_n\le\dfrac3{n+2}$。
$f(x)=\ln(x+1)-\frac{ax}{x+a}$ 取 $a=2$、$a=3$
把上下界代入递增函数，方向不变
下界
上界（$0\lt a_k\le1\lt3$）
| 通项 | 放成 | 求和后 | 注意 |
|---|---|---|---|
| $\frac1{k^2}$ | $\frac1{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k$（$k\ge2$） | $\lt2$ | 从 $k=2$ 起；粗 |
| $\frac1{k^2}$ | $2\big(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\big)$ | $\lt\frac53$ | 分母减 $\frac14$，精细 |
| $\frac1{k^2}$（下界） | $\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ | $\gt1-\frac1{n+1}$ | 分母变大，分数变小 |
| $\frac1{\sqrt k}$ | $\frac2{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt k)$（下界） | $\gt2(\sqrt{n+1}-1)$ | 上界用 $2(\sqrt k-\sqrt{k-1})$ |
| $\frac1{q^k-1}$ | $\frac{c}{q^{k}}$ 型等比 | $\lt$ 常数 | 先比较 $k=1$ 的情形定 $c$ |
**易错 1：放过头。**$\sum\frac1{k^2}\lt\frac74$ 若从 $k=2$ 起放成 $\frac1{k-1}-\frac1k$，得到的是 $\lt2$，证不出。先算目标与真值的差，余量小就多保留几项或换更精细的裂项。
**易错 2：放缩方向写反。**证“$\lt$”要把每一项放大，证“$\gt$”要缩小。分母变小 ⇒ 分数变大。
**易错 3：裂项的起点。**$\frac1{k(k-1)}$ 在 $k=1$ 无意义，第一项必须单独保留；保留几项，求和的下标就从哪里开始。
**易错 4：归纳不加强。**证 $S_n\lt$ 常数，直接归纳往往卡住；把右边换成“常数减一个正的 $g(n)$”再归纳。
证明 $\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\lt\frac74$，下面哪种做法可行？
答案C
$1+\frac14+\big(\frac12-\frac1n\big)=\frac74-\frac1n\lt\frac74$。
要证 $\sum_{k=1}^n\frac1{2^k-1}\lt2$，合适的放缩是
答案B
$2^k-1\ge2^{k-1}$，所以 $\frac1{2^k-1}\le\frac1{2^{k-1}}$，求和 $\le2\big(1-\frac1{2^n}\big)\lt2$。
用数学归纳法证 $\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\lt2$，应该
答案A
加强后归纳步只需 $\frac1{(k+1)^2}\le\frac1k-\frac1{k+1}$。
相关专题：G07 裂项相消 · G04 递推求通项 · G09 函数不等式与数列 · E03 飘带函数
压轴题最后一问常要证一个关于 $n$ 的和式或积式不等式。办法是：拿前面证过的函数不等式（如 $\ln(1+x)\lt x$），给 $x$ 赋一个与 $k$ 有关的值，使一边变成可以相消的差 $\ln(k+1)-\ln k$，再对 $k$ 求和。几何上，这就是用矩形面积去夹积分。
E01：$\ln t\le t-1$ 及其倒代换
赋值的目标：让中间一项变成可以相消的差
中间隔项相消，只剩 $\ln(n+1)-\ln1$
调和数 $H_n$ 被 $\ln$ 夹住
看结论里出现什么：有 $\ln(n+1)$ 或 $\ln n$，就想到“$\ln$ 的差”；有 $\sum\frac1k$、$\sum\frac1{k^2}$ 等，就是每一项要放成的对象。**赋值 $x=\frac1k$（或 $x=\frac{k+1}k$ 代入 $\ln x$）**是最常见的选择。
和第 1 步的结论完全相同
矩形盖住曲线
第一项单独保留
积分是找思路的工具：先画矩形看出上下界，再把每一小段写成“$f(k+1)\lt F(k+1)-F(k)\lt f(k)$”的初等不等式求和。答卷上用后一种写法。
已知 $f(x)=x-1-a\ln x$。(1) 若 $f(x)\ge0$，求 $a$；(2) 设 $m$ 为整数，且对任意正整数 $n$，$\Big(1+\dfrac12\Big)\Big(1+\dfrac1{2^2}\Big)\cdots\Big(1+\dfrac1{2^n}\Big)\lt m$，求 $m$ 的最小值。
(1) 答案：$a=1$
第 (1) 问就是第 (2) 问的工具
连乘 → 取对数变成和
(2) 答案：$m_{\min}=3$
求“整数 $m$ 的最小值”，要两头夹：上界靠放缩（$P_n\lt\mathrm e$），下界靠算出具体某一项（$P_3\gt2$）。
已知 $f(x)=\ln(1+x)$，$g(x)=ax^2+x$，前两问得到 $\ln(1+x)\le x$（$x\gt-1$）。(3) 证明：$\sin\dfrac1{n+1}+\sin\dfrac1{n+2}+\cdots+\sin\dfrac1{2n}\lt\ln2$。
先去掉 $\sin$（E05）
右边是 $\ln$ 的差，能相消
两次放大
求和相消
$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{n+k}=\sum_{k=1}^n\frac1n\cdot\frac1{1+\frac kn}$ 是 $y=\frac1x$ 在 $[1,2]$ 上的右端点矩形和，所以它比 $\int_1^2\frac{\mathrm dx}x=\ln2$ 小，且 $n\to\infty$ 时趋于 $\ln2$。结论里的常数 $\ln2$，正是这个积分。
![\sum\frac1{n+k}：[1,2] 上宽 \frac1n 的矩形](book-01/images/G09-f4.png)
| 函数不等式 | 赋值 | 逐项不等式 | 求和结果 |
|---|---|---|---|
| $\ln(1+x)\lt x$ | $x=\frac1k$ | $\ln(k+1)-\ln k\lt\frac1k$ | $\ln(n+1)\lt\sum_{k=1}^n\frac1k$ |
| $\ln(1+x)\gt\frac x{1+x}$ | $x=\frac1k$ | $\frac1{k+1}\lt\ln(k+1)-\ln k$ | $\sum_{k=2}^{n+1}\frac1k\lt\ln(n+1)$ |
| $\ln(1+x)\lt x$ | $x=\frac1{2^k}$，取对数 | $\ln\big(1+\frac1{2^k}\big)\lt\frac1{2^k}$ | $\prod\big(1+\frac1{2^k}\big)\lt\mathrm e$ |
| $\ln x\lt\frac12\big(x-\frac1x\big)$（$x\gt1$） | $x=\frac{k+1}k$ | $\ln\frac{k+1}k\lt\frac12\big(\frac1k+\frac1{k+1}\big)$ | $\ln(n+1)\lt\sum_{k=1}^n\frac1k-\frac n{2(n+1)}$ |
| $\frac1{\sqrt x}$ 递减 | 区间 $[k,k+1]$ | $\frac1{\sqrt{k+1}}\lt2(\sqrt{k+1}-\sqrt k)\lt\frac1{\sqrt k}$ | $2(\sqrt{n+1}-1)\lt\sum\frac1{\sqrt k}\lt2\sqrt n-1$ |
**易错 1：赋值不能相消。**$\ln(1+x)\lt x$ 中取 $x=k$ 得 $\ln(1+k)\lt k$，左边求和不相消。赋值要让 $\ln$ 那一侧变成 $\ln(k+1)-\ln k$ 这样的差。
**易错 2：方向选错。**证 $\sum\frac1k\gt\ln(n+1)$ 用 $\ln(1+x)\lt x$；证 $\sum\frac1k\lt\cdots$ 用 $\ln(1+x)\gt\frac x{1+x}$。先看要证的是上界还是下界。
**易错 3：首项。**$\sum_{k=1}^n\frac1k\lt1+\ln n$ 中的 $1$ 来自第一项单独保留；不留首项会得到 $\int_0$ 这样发散的积分。
**易错 4：连乘直接放。**积式不等式先取对数化成和，再逐项放缩；最后别忘了把 $\ln P_n\lt c$ 还原成 $P_n\lt\mathrm e^c$。
用 $\ln(1+x)\lt x$（$x\gt0$）证明 $\sum_{k=1}^n\frac1k\gt\ln(n+1)$，应令
答案A
得 $\ln(k+1)-\ln k\lt\frac1k$，求和相消为 $\ln(n+1)$。
证明 $\Big(1+\frac13\Big)\Big(1+\frac1{3^2}\Big)\cdots\Big(1+\frac1{3^n}\Big)\lt\sqrt{\mathrm e}$，正确思路是
答案C
$\ln P_n\lt\sum\frac1{3^k}=\frac12\big(1-\frac1{3^n}\big)\lt\frac12$，所以 $P_n\lt\mathrm e^{1/2}$。
$\sum_{k=1}^n\frac1k\lt1+\ln n$ 中的“$1$”从哪里来？
答案B
$k\ge2$ 时 $\frac1k\lt\ln k-\ln(k-1)$，求和得 $\ln n$，再加上第一项 $1$。
相关专题：G08 数列不等式与放缩 · E01 指对基本不等式 · E03 飘带函数 · E05 三角函数放缩 · F11 估值与整数最值