问题

先向东走 4 步，再向北走 3 步，等于怎样走一步？

若只数路程，$4+3=7$；但实际离起点只有 $\sqrt{4^2+3^2}=5$。路程不能简单相加，因为两段位移的方向不同。

向量 $\ov{AB}$ 表示从起点 $A$ 指向终点 $B$ 的有向线段。

定义

相等向量与相反向量

• 相等：大小相等、方向相同，$\ov{CD}=\ov{AB}$。起点可以随意平移：向量可以自由平移。
• 相反：大小相等、方向相反，$\ov{BA}=-\ov{AB}$。
• 零向量 $\vec 0$：长度为 $0$，方向任意；单位向量：长度为 $1$。
• 共线（平行）：方向相同或相反；$\vec 0$ 与任何向量共线。

提高易错：$|\vec a|=|\vec b|$ 推不出 $\vec a=\vec b$；向量不能比较大小，模可以比较。

加法

共起点的向量加法

两种画法，同一个结果

首尾相接：$\vec a$ 的终点接 $\vec b$ 的起点，和从第一个起点指向最后一个终点。

$$ \ov{OA}+\ov{AC}=\ov{OC} $$

可以首尾相接多段：$\ov{AB}+\ov{BC}+\ov{CD}=\ov{AD}$；首尾闭合时，和为 $\vec 0$。

共起点：以 $\vec a$、$\vec b$ 为邻边作平行四边形 $OACB$，和是从 $O$ 出发的对角线：

$$ \ov{OA}+\ov{OB}=\ov{OC} $$

虚线箭头表示把 $\vec b$ 平移到 $A$ 处；两种法则是一回事。

减法

共起点，连终点

推理

1. 减法定义：$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$。

   减即加相反向量。

2. $\vec b+(\vec a-\vec b)=\vec a$，即 $\ov{OB}+\ov{BA}=\ov{OA}$。

   三角形法则。

3. 所以

   $$ \ov{OA}-\ov{OB}=\ov{BA} $$

   差向量指向被减向量的终点。

4. 任意向量都能写成“终点减起点”： $$ \ov{AB}=\ov{OB}-\ov{OA} $$ 后面坐标运算全靠这一句。

   选定原点。

易错：$\ov{OA}-\ov{OB}$ 是 $\ov{BA}$，不是 $\ov{AB}$。口诀：“共起点，连终点，指向被减”。

数乘

数乘 $\lambda\vec a$：伸缩与方向变化

• $|\lambda\vec a|=|\lambda||\vec a|$，如上图 V 形函数。
• $\lambda>0$ 时与 $\vec a$ 同向，$\lambda<0$ 时反向，$\lambda=0$ 时得到 $\vec 0$。
• 运算律：

$$ \lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b,\qquad (\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a $$

提高二维叉积 $$ \vec a\times\vec b=x_1y_2-x_2y_1= \begin{vmatrix} x_1&y_1\\ x_2&y_2 \end{vmatrix} $$ 几何意义是平行四边形的有向面积；$\vec a,\vec b$ 共线当且仅当叉积为 $0$（见上表第三行）。

中线

母模型

迁移到正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$

从 $A$ 出发，沿三条棱 $\ov{AB}$、$\ov{AD}$、$\ov{AA_1}$ 首尾相接走到 $C_1$：

$$ \ov{AC_1}=\ov{AB}+\ov{BC}+\ov{CC_1} =\ov{AB}+\ov{AD}+\ov{AA_1} $$

由相等向量，$\ov{BC}=\ov{AD}$、$\ov{CC_1}=\ov{AA_1}$。把它们平移到同一起点，就是“平行六面体法则”。

提高面对角线：$\ov{AC}=\ov{AB}+\ov{AD}$；体对角线中点 $O$ 满足 $\ov{AO}=\tfrac12\ov{AC_1}$，正是中线公式在空间的应用。

结论卡

课堂小测

观察

参数 $\lambda$ 确定直线上的点

当 $0<\lambda<1$ 时，$P$ 在线段 $AB$ 内，两个系数 $1-\lambda$ 与 $\lambda$ 都为正数。

把 $\ov{OP}$ 沿 $\ov{OA}$、$\ov{OB}$ 分解（虚线平行四边形），两个系数恰好是 $1-\lambda$ 和 $\lambda$，和永远是 $1$。

推理

从 $\ov{AP}=\lambda\ov{AB}$ 到“系数和为 1”

1. $P$ 在直线 $AB$ 上 $\iff \ov{AP}\parallel\ov{AB}\iff$ 存在唯一 $\lambda$ 使 $\ov{AP}=\lambda\ov{AB}$。

   共线定理（V01）。

2. 任取一点 $O$，把每个向量写成“终点减起点”： $$ \ov{OP}-\ov{OA}=\lambda(\ov{OB}-\ov{OA}) $$

   换起点。

3. 整理得

   $$ \ov{OP}=(1-\lambda)\ov{OA}+\lambda\ov{OB} $$

   定比分点公式。

4. 坐标版为 $P=(1-\lambda)A+\lambda B$，即 $$ x_P=(1-\lambda)x_A+\lambda x_B,\qquad y_P=(1-\lambda)y_A+\lambda y_B $$

   取 $O$ 为坐标原点。

5. 反过来，若 $\ov{OP}=x\ov{OA}+y\ov{OB}$ 且 $x+y=1$，令 $\lambda=y$，倒推第 2 步，得 $\ov{AP}=y\ov{AB}$。

   逆命题成立。

6. 因此，$O,A,B$ 不共线时，$P$ 在直线 $AB$ 上当且仅当 $x+y=1$。

   三点共线判定。

7. 另一种写法：若 $\ov{AP}=t\,\ov{PB}$（$t\ne-1$），则 $$ \ov{OP}=\frac{\ov{OA}+t\ov{OB}}{1+t},\qquad \lambda=\frac{t}{1+t} $$

   课本中的“定比”。

$\lambda$ 的范围与点的位置

易错：$\ov{AP}=\tfrac13\ov{AB}$ 时，应写成 $\ov{OP}=\tfrac23\ov{OA}+\tfrac13\ov{OB}$；不要把系数顺序写反。

提高等和线

等和线：$x+y=k$ 的点在哪里？

$\ov{OP}=x\ov{OA}+y\ov{OB}$ 与等和线

1. 过 $P$ 作 $\ell\parallel AB$，交直线 $OA$、$OB$ 于 $A'$、$B'$；$\triangle OA'B'\sim\triangle OAB$，相似比记为 $k$。

   平行线截比例。

2. $\ov{OA'}=k\ov{OA}$，$\ov{OB'}=k\ov{OB}$；$P$ 在 $A'B'$ 上，所以 $$ \ov{OP}=(1-\mu)\ov{OA'}+\mu\ov{OB'} $$

   使用 V02 定比分点公式。

3. 代入得 $$ \ov{OP}=k(1-\mu)\ov{OA}+k\mu\ov{OB} $$ 因此系数和 $x+y=k$，与 $\mu$ 无关。

   系数和不随 $P$ 沿 $\ell$ 的位置改变。

4. 等和线的有向比例为 $$ k=\frac{d(O,\ell)}{d(O,AB)} $$ 其中 $\ell$ 与 $AB$ 在 $O$ 同侧取正，异侧取负。

   相似比等于高之比。

例题

例 1经典题 · 三点共线求参

在 $\triangle ABC$ 中，$\ov{AN}=\tfrac13\ov{NC}$，$P$ 是 $BN$ 上一点。若 $\ov{AP}=m\ov{AB}+\tfrac{2}{11}\ov{AC}$，求 $m$。

解析

1. $P,B,N$ 共线，取 $A$ 为起点，将 $\ov{AP}$ 写成 $\ov{AB}$、$\ov{AN}$ 的线性组合。由三点共线判定，两个系数之和为 $1$。

   认准直线 $BN$。

2. $\ov{AN}=\tfrac13\ov{NC}$，所以 $\ov{AN}=\tfrac14\ov{AC}$，即 $\ov{AC}=4\ov{AN}$。

   换基底。

3. 代入已知式： $$ \ov{AP}=m\ov{AB}+\frac{2}{11}\cdot4\ov{AN} =m\ov{AB}+\frac{8}{11}\ov{AN} $$
4. 系数和为 $1$，所以 $$ m+\frac{8}{11}=1,\qquad m=\frac{3}{11} $$

   三点共线。

5. 用 $\lambda$ 检查位置：$\ov{BP}=\tfrac{8}{11}\ov{BN}$，即 $\lambda=\tfrac{8}{11}$，$P$ 靠近 $N$。

   检查点的位置。

答案：$m=\tfrac{3}{11}$。

提高例题 2

例 2经典题 · 等和线求最值

扇形 $OAB$ 中，$|OA|=|OB|=1$，$\angle AOB=120^\circ$，$P$ 在弧 $AB$ 上，$\ov{OP}=x\ov{OA}+y\ov{OB}$，求 $x+y$ 的最大值。

解析

1. $O$ 到 $AB$ 的距离为 $1\cdot\cos60^\circ=\tfrac12$。

   等腰三角形。

2. $P$ 处的等和线 $\ell\parallel AB$，且 $$ x+y=\frac{d(O,\ell)}{1/2} $$ $\ell$ 与弧相切（$\varphi=60^\circ$）时，$d(O,\ell)$ 最大为 $1$。

   几何法。

3. 因此 $x+y$ 的最大值为 $2$。

   最值结论。

4. 向量法验算：令 $P=(\cos\varphi,\sin\varphi)$，解得 $$ x+y=\cos\varphi+\sqrt3\sin\varphi =2\sin(\varphi+30^\circ)\le2 $$

   两种方法结论一致。

答案：$x+y$ 的最大值为 $2$。

结论

迁移到空间（母模型预告）

同一个想法升一维：$\ov{OP}=x\ov{OA}+y\ov{OB}+z\ov{OC}$ 时，$P$ 在平面 $ABC$ 上当且仅当 $x+y+z=1$。正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，体对角线 $BD_1$ 上的点可写成 $Q=(1-\lambda)B+\lambda D_1$；棱、面对角线上的动点也都可以这样表示（K01、K03 详讲）。

课堂小测

问题

两个向量能否表示平面内的每一个向量？

平面上任给两个向量 $\vec e_1,\vec e_2$，能否用它们表示平面内的每一个向量 $\vec a$？表示方法唯一吗？

• 如果 $\vec e_1\parallel\vec e_2$，那么 $x\vec e_1+y\vec e_2$ 永远落在同一条直线上，表示不了其他方向。
• 如果 $\vec e_1,\vec e_2$ 不共线，沿两个方向作平行线，可得到一张“斜网格”，每个点都落在唯一的格位上。

观察

基底网格变形：$\vec e_1=(1,0)$，$\vec e_2=(\lambda,1)$

在斜网格里读坐标

当基底 $\vec e_1=(1,0)$、$\vec e_2=(\lambda,1)$，目标向量 $\vec a=(a_x,a_y)$ 固定时， $$ x=a_x-\lambda a_y,\qquad y=a_y $$ 因此 $\lambda=0$ 时回到直角坐标。

推理

平面向量基本定理

1. $\vec e_1,\vec e_2$ 不共线，令 $\vec a=\ov{OA}$。过 $A$ 作平行于 $\vec e_2$ 的直线，交 $\vec e_1$ 所在直线于 $M$。

   作平行线。

2. $\ov{OM}\parallel\vec e_1$，所以 $\ov{OM}=x\vec e_1$；$\ov{MA}\parallel\vec e_2$，所以 $\ov{MA}=y\vec e_2$。

   使用共线定理（V02）。

3. 因此 $$ \vec a=\ov{OM}+\ov{MA}=x\vec e_1+y\vec e_2 $$

   存在性。

4. 若还有另一种表示 $\vec a=x'\vec e_1+y'\vec e_2$，相减得 $$ (x-x')\vec e_1=(y'-y)\vec e_2 $$

   假设有两种表示。

5. 若 $x\ne x'$，则 $\vec e_1=\dfrac{y'-y}{x-x'}\vec e_2$，这与不共线矛盾。因此 $x=x'$、$y=y'$。

   唯一性。

6. 求 $x,y$ 时，可作二维叉积 $\vec u\times\vec v=u_1v_2-u_2v_1$。两边与 $\vec e_2$ 作叉积，利用 $\vec e_2\times\vec e_2=0$，得 $$ x=\frac{\vec a\times\vec e_2}{\vec e_1\times\vec e_2}, \qquad y=\frac{\vec e_1\times\vec a}{\vec e_1\times\vec e_2} $$

   克拉默法则。

7. 对观察页中的基底，$\vec e_1\times\vec e_2=1$，$\vec a\times\vec e_2=a_x-\lambda a_y$，$\vec e_1\times\vec a=a_y$，与坐标读数一致。

   代入公式验算。

要点

• 基底由任意两个不共线向量组成；不要求垂直，也不要求单位长。
• 零向量不能作基底向量，因为它与任何向量共线。
• 唯一性的用法：对应系数相等。两种途径表示同一向量，就可以列方程组。
• $\vec e_1\times\vec e_2$ 是基底平行四边形的有向面积；它为 $0$ 当且仅当两向量共线，也就是不能作基底。

正交与斜坐标

正交单位基底 $\vec i,\vec j$ 与坐标

$\vec a=x\vec i+y\vec j$ 记作 $\vec a=(x,y)$。向量起点在原点时，向量坐标就是终点坐标；一般地，$\ov{AB}=B-A$。

1. $\vec a=(x_1,y_1)$、$\vec b=(x_2,y_2)$ 时， $$ \vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2,\ y_1\pm y_2),\qquad k\vec a=(kx_1,ky_1) $$

   线性运算按分量进行。

2. $\vec a\parallel\vec b\iff x_1y_2-x_2y_1=0$。

   叉积为 $0$。

3. $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$。

   因为 $\vec i\cdot\vec j=0$，且 $|\vec i|=|\vec j|=1$。

提高斜坐标：单位基底夹角为 $\varphi$

1. $\vec a=x\vec e_1+y\vec e_2$ 记作斜坐标 $(x,y)$；加减和数乘仍按分量进行。

   线性运算不依赖正交。

2. 若 $|\vec e_1|=|\vec e_2|=1$，则 $$ |\vec a|^2=x^2+y^2+2xy\cos\varphi $$

   展开平方，并用 $\vec e_1\cdot\vec e_2=\cos\varphi$。

3. $\varphi=60^\circ$ 时，$|\vec a|^2=x^2+xy+y^2$；$\varphi=90^\circ$ 时退化为勾股公式。

   长度公式需考虑基向量的夹角。

定比分点

定比分点：$\ov{AP}=\lambda\ov{AB}$

坐标只含一个未知数 $\lambda$

1. $\ov{OP}=\ov{OA}+\lambda\ov{AB}=(1-\lambda)\ov{OA}+\lambda\ov{OB}$。

   用 $\lambda$ 表示动点。

2. 若 $A=(x_1,y_1)$、$B=(x_2,y_2)$，则 $$ P=\big((1-\lambda)x_1+\lambda x_2,\ (1-\lambda)y_1+\lambda y_2\big) $$

   按分量计算。

3. $\lambda=\tfrac12$ 时，$P$ 为中点： $$ P=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) $$

   中点特例。

4. 若 $\ov{AP}=t\,\ov{PB}$，则 $\lambda=\dfrac{t}{1+t}$，且 $P=\dfrac{A+tB}{1+t}$；三角形重心满足 $G=\dfrac{A+B+C}{3}$。

   教材中的定比分点公式。

迁移

母模型：平行四边形（正方体的一个面）

平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $CD$ 中点，$F$ 在 $BC$ 上，$\ov{BF}=\lambda\ov{BC}$。若 $\ov{AC}=x\ov{AE}+y\ov{AF}$，求 $x,y$ 及 $x+y$。

解析

1. 取基底 $\ov{AB}=\vec a$、$\ov{AD}=\vec b$。则 $$ \ov{AE}=\tfrac12\vec a+\vec b,\qquad \ov{AF}=\vec a+\lambda\vec b,\qquad \ov{AC}=\vec a+\vec b $$

   全部用基底表示。

2. 代入 $\ov{AC}=x\ov{AE}+y\ov{AF}$： $$ \vec a+\vec b=\left(\tfrac x2+y\right)\vec a+(x+\lambda y)\vec b $$

   代入已知向量关系。

3. 由基本定理，对应系数相等： $$ \frac x2+y=1,\qquad x+\lambda y=1 $$
4. 解方程组得 $$ y=\frac1{2-\lambda},\qquad x=\frac{2-2\lambda}{2-\lambda},\qquad x+y=\frac{3-2\lambda}{2-\lambda} $$

   解系数方程组。

5. $\lambda=\tfrac12$ 时，$x=y=\tfrac23$。

   特例核对。

答案： $$ x=\frac{2-2\lambda}{2-\lambda},\qquad y=\frac1{2-\lambda},\qquad x+y=\frac{3-2\lambda}{2-\lambda} $$

结论

课堂小测

问题

力做了多少功？

力 $\vec F$ 拉着物体沿 $\vec s$ 运动，真正沿位移方向“出力”的是 $\vec F$ 在位移方向上的分量，因此 $$ W=|\vec F|\cos\theta\cdot|\vec s| $$ 把这个“乘法”抽象出来，就是数量积。它的结果是数，不是向量。

定义

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta,\qquad \theta\in[0,\pi] $$

易错：$\vec a\cdot\vec b$ 中间的点不能省，也不能写成 $\times$。

观察：影子

$\vec b$ 在 $\vec a$ 上的影子（投影向量）

数量积等于 $|\vec a|$ 乘影子的带符号长度

推理：坐标公式

从定义到坐标：$\vec a=(x_1,y_1)$，$\vec b=(x_2,y_2)$

1. $\vec i\cdot\vec i=\vec j\cdot\vec j=1$，$\vec i\cdot\vec j=0$。

   单位正交基。

2. $\vec a\cdot\vec b=(x_1\vec i+y_1\vec j)\cdot(x_2\vec i+y_2\vec j)$。

   使用分配律展开。

3. 展开四项： $$ \begin{aligned} \vec a\cdot\vec b &=x_1x_2\,\vec i\cdot\vec i +x_1y_2\,\vec i\cdot\vec j\\ &\quad+x_2y_1\,\vec j\cdot\vec i +y_1y_2\,\vec j\cdot\vec j \end{aligned} $$

   交叉项含 $\vec i\cdot\vec j$ 或 $\vec j\cdot\vec i$。

4. 由于交叉项为 $0$， $$ \vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2 $$
5. 另证：由余弦定理， $$ |\vec a-\vec b|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta $$ 两边用坐标展开，也可得到同一坐标式。

   几何法。

夹角公式

$$ \cos\theta =\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =\frac{x_1x_2+y_1y_2} {\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}} $$

垂直与模长

两个最常用的推论

$$ \vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b=0 \iff x_1x_2+y_1y_2=0 $$

$$ |\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a $$

迁移：正方形

母模型：边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$，$P$ 在 $BC$ 上，$\ov{BP}=\lambda\ov{BC}$

结论

课堂小测

问题

正方形模型

四条路

① 转基底

取基底 $\vec a=\ov{AB}$、$\vec b=\ov{AD}$，则 $|\vec a|=|\vec b|=2$，$\vec a\cdot\vec b=0$。

1. $\ov{AP}=\ov{AD}+\ov{DP}=\vec b+\lambda\vec a$

   首尾相接。

2. $\ov{PA}=-\lambda\vec a-\vec b$，$\ov{PB}=\ov{AB}-\ov{AP}=(1-\lambda)\vec a-\vec b$

   都用基底表示。

3. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=-\lambda(1-\lambda)|\vec a|^2+(2\lambda-1)\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$

   展开数量积。

4. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=-4\lambda(1-\lambda)+4=4\lambda^2-4\lambda+4$

   代入三个已知量。

② 转投影

设 $H$ 为 $P$ 在 $AB$ 上的射影，则 $AH=2\lambda$，$PH=2$。

1. $\ov{PB}=\ov{PA}+\ov{AB}$。

   拆出定向量 $\ov{AB}$。

2. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=|\ov{PA}|^2+\ov{PA}\cdot\ov{AB}$。

   使用分配律。

3. $\ov{PA}\cdot\ov{AB}=-\ov{AP}\cdot\ov{AB}=-|\ov{AB}|\cdot AH=-4\lambda$。

   $\ov{AP}$ 在 $\ov{AB}$ 上的投影数量为 $AH$。

4. $|\ov{PA}|^2=AH^2+PH^2=4\lambda^2+4$。

   使用勾股定理。

5. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=4\lambda^2-4\lambda+4$。

   合并前两项计算结果。

数量积也可由一个向量的模乘另一个向量在其方向上的投影数量得到。一个向量方向固定、另一个向量的投影容易确定时，投影法较简便。

③ 极化恒等式

极化恒等式：数量积等于“和的一半”的平方减去“差的一半”的平方

1. $(\vec a+\vec b)^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$。

   完全平方展开。

2. $(\vec a-\vec b)^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$。

   完全平方展开。

3. 两式相减，得 $$ \vec a\cdot\vec b=\frac14\left[(\vec a+\vec b)^2-(\vec a-\vec b)^2\right] $$

   消去模长平方项。

4. 令 $\vec a=\ov{PA}$、$\vec b=\ov{PB}$，$M$ 为 $AB$ 中点，则 $\vec a+\vec b=2\ov{PM}$，$\vec a-\vec b=\ov{BA}$。

   利用中点向量关系。

5. 因而 $$ \ov{PA}\cdot\ov{PB}=PM^2-\tfrac14 AB^2 $$

   得到中线式。

几何意义

以 $\vec a$、$\vec b$ 为邻边作平行四边形，两条对角线长分别为 $|\vec a+\vec b|$、$|\vec a-\vec b|$。数量积等于两条对角线长度平方差的四分之一。

中线式中 $AB$ 是定线段，$\tfrac14 AB^2$ 是常数，因此 $\ov{PA}\cdot\ov{PB}$ 的最值问题等价于 $PM$ 的最值问题。

• $P$ 在线上运动时，$PM$ 的最小值为 $M$ 到该直线的距离；例 1 中该距离为 $2$，故最小值为 $4-1=3$。
• $P$ 在圆上运动时，$PM$ 的最值为 $|MO|\pm r$。
• $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=0\iff PM=\tfrac12AB\iff P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。

④ 建系

以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$ 所在直线分别为 $x$、$y$ 轴。

1. $A(0,0)$，$B(2,0)$，$P(2\lambda,2)$。

   将参数写入点的坐标。

2. $\ov{PA}=(-2\lambda,-2)$，$\ov{PB}=(2-2\lambda,-2)$。

   终点坐标减起点坐标。

3. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=-2\lambda(2-2\lambda)+4=4\lambda^2-4\lambda+4$。

   对应坐标相乘后相加。

有直角或对称条件时可以建立坐标系。这种方法步骤直接，但几何意义不明显。

四种方法并排

决策树：先看信号，再选方法

两向量共起点 $P$，终点是定线段两端？

→ ③ 极化：$PM^2-\tfrac14AB^2$

否则，一个向量方向固定，另一个向量容易看出投影？

→ ② 投影：$|\vec a|$ 乘 $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的投影数量

否则，图形有直角（正方形、矩形、等腰三角形的底边与高）？

→ ④ 建系：坐标对应相乘后相加

否则，若已知两条边的长度和夹角，采用 ① 转基底（兜底方法）。

迁移

正三角形模型

课堂小测

问题

数量积能不能只用长度计算？

正方形 $ABCD$ 边长为 $2$，$P$ 在边 $BC$ 上运动。求 $\ov{PA}\cdot\ov{PD}$ 的取值范围。

坐标法可以解决这个问题。如果图中只有长度，没有坐标和夹角，能否直接计算？

本课的工具清单

1. 三角不等式：$\big||\vec a|-|\vec b|\big|\le|\vec a\pm\vec b|\le|\vec a|+|\vec b|$。
2. 平行四边形定理（极化的对偶）：$|\vec a+\vec b|^2+|\vec a-\vec b|^2=2(|\vec a|^2+|\vec b|^2)$。
3. 极化恒等式：$\vec a\cdot\vec b=\tfrac14\left(|\vec a+\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2\right)$。
4. 回路恒等式与对角线定理：$\ov{AC}\cdot\ov{BD}=\tfrac12(AD^2+BC^2-AB^2-CD^2)$。
5. 三项平方：$|\vec a+\vec b+\vec c|^2=\sum|\vec a|^2+2\sum\vec a\cdot\vec b$。

观察

平行四边形 $OACB$：$\ov{OA}=\vec a$，$\ov{OB}=\vec b$

三角不等式的等号情形

当 $\vec a$、$\vec b$ 同向时，$|\vec a-\vec b|$ 达到下界 $\big||\vec a|-|\vec b|\big|$；当两向量反向时，$|\vec a+\vec b|$ 达到该下界。三角不等式取等当且仅当两向量共线。当夹角为 $90^\circ$ 时，两条对角线等长，平行四边形为矩形，且 $\vec a\cdot\vec b=0$。

推理

一次展开，得到全部

1. $|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$。

   展开和向量的模的平方，记为等式①。

2. $|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$。

   展开差向量的模的平方，记为等式②。

3. ①与②相加，得 $$ |\vec a+\vec b|^2+|\vec a-\vec b|^2 =2\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2\right) $$

   平行四边形定理：对角线平方和等于四边平方和。

4. ①减②，得 $$ \vec a\cdot\vec b=\frac14\left(|\vec a+\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2\right) $$

   这是极化恒等式。

5. 由①、②分别解出数量积： $$ \begin{aligned} \vec a\cdot\vec b &=\frac12\left(|\vec a+\vec b|^2-|\vec a|^2-|\vec b|^2\right),\\ \vec a\cdot\vec b &=\frac12\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2\right) \end{aligned} $$

   第二个式子就是余弦定理的向量形式。

6. 由 $-|\vec a||\vec b|\le\vec a\cdot\vec b\le|\vec a||\vec b|$ 代入①，得 $$ \left(|\vec a|-|\vec b|\right)^2 \le|\vec a+\vec b|^2 \le\left(|\vec a|+|\vec b|\right)^2 $$

   开方得到三角不等式，取等当且仅当两向量共线（按具体边界判断同向或反向）。

几何意义

• 三角不等式：在三角形 $OAC$ 中，两边之和大于第三边；三点退化为一条线段时取等。
• 平行四边形定理：已知两边可求对角线，已知对角线也可求边。中线长公式是它的推论：$AM^2=\tfrac12(AB^2+AC^2)-\tfrac14BC^2$。
• 极化恒等式：数量积等于“长对角线平方减短对角线平方”的四分之一。知道两条对角线，就能确定数量积。

极化恒等式

三角形形式：$M$ 为 $AD$ 中点，$\ov{PA}\cdot\ov{PD}=PM^2-MA^2$

回路与对角线

任意四边形 $ABCD$

回路恒等式与对角线定理

1. 回路恒等式：$\ov{AB}+\ov{BC}+\ov{CD}+\ov{DA}=\vec0$。

   向量首尾相接后回到起点。

2. $\ov{AC}=\ov{AB}+\ov{BC}$，$\ov{BD}=\ov{BC}+\ov{CD}$。

   分别用两条边表示对角线。

3. $\ov{AD}=\ov{AB}+\ov{BC}+\ov{CD}$，两边平方得 $$ \begin{aligned} AD^2={}&AB^2+BC^2+CD^2 +2\ov{AB}\cdot\ov{BC}+2\ov{BC}\cdot\ov{CD}\\ &+2\ov{AB}\cdot\ov{CD} \end{aligned} $$

   展开三项和的平方。

4. 展开两条对角线的数量积： $$ \ov{AC}\cdot\ov{BD} =\ov{AB}\cdot\ov{BC}+\ov{AB}\cdot\ov{CD} +BC^2+\ov{BC}\cdot\ov{CD} $$

   将第 2 步的向量表达式相乘。

5. 将前两式组合，消去交叉项，得 $$ \ov{AC}\cdot\ov{BD} =\frac12\left[(AD^2+BC^2)-(AB^2+CD^2)\right] $$

   对角线定理只用到四条边的长度。

6. 推论：$AC\perp BD\iff AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$。

   对边平方和相等时，两条对角线垂直；空间四边形也成立。

7. 欧拉恒等式：$\ov{AB}\cdot\ov{CD}+\ov{AC}\cdot\ov{DB}+\ov{AD}\cdot\ov{BC}=0$。

   以 $A$ 为起点将各向量写出并展开即可验证。

压轴三项平方与正四面体

三项平方

迁移到母模型：正四面体中心 $O$

1. $|\vec a+\vec b+\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2(\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a)$。

   三项平方包含 3 个平方项和 3 对交叉项。

2. 三个单位向量的和为 $\vec0$ 时，$0=3+2\sum\vec a\cdot\vec b$，所以 $\sum\vec a\cdot\vec b=-\tfrac32$，两两夹角均为 $120^\circ$。

   由 $\vec a+\vec b=-\vec c$ 等关系可知各交叉积均为 $-\tfrac12$。

3. 正四面体 $ABCD$ 的中心为 $O$，有 $\ov{OA}+\ov{OB}+\ov{OC}+\ov{OD}=\vec0$。

   正四面体的重心与中心重合。

4. 对四个向量求平方：$0=4R^2+2\cdot6\,\ov{OA}\cdot\ov{OB}$，故 $\ov{OA}\cdot\ov{OB}=-\tfrac{R^2}{3}$。

   由对称性，6 对交叉项相等。

5. 因而 $\cos\angle AOB=-\tfrac13$。若棱长为 $a$，则 $$ a^2=2R^2-2\ov{OA}\cdot\ov{OB}=\tfrac83R^2, \qquad R=\tfrac{\sqrt6}{4}a $$

   得到正四面体的外接球半径。

结论卡

课堂小测

观察

正三角形 $ABC$ 边长为 $2$，$P$ 在边 $BC$ 上，$\ov{BP}=\lambda\ov{BC}$

数量积 $\ov{PA}\cdot\ov{PB}$ 的最值

函数图像显示，红点对应最小值点。

$$ \ov{PA}\cdot\ov{PB}=4\lambda^2-2\lambda =4\left(\lambda-\tfrac14\right)^2-\tfrac14 $$

当 $\lambda=\tfrac14$ 时取得最小值 $-\tfrac14$；当 $\lambda=1$ 时取得最大值 $2$。

变式一：目标量为 $|\ov{PA}|$

$$ |\ov{PA}|^2=(1-2\lambda)^2+3 =4\left(\lambda-\tfrac12\right)^2+3 $$

当 $\lambda=\tfrac12$ 时 $|\ov{PA}|$ 最小，为 $\sqrt3$；当 $\lambda=0$ 或 $1$ 时最大，为 $2$。

变式二：目标量为 $|\ov{PA}+\ov{PC}|$

$$ |\ov{PA}+\ov{PC}|^2=(3-4\lambda)^2+3 $$

当 $\lambda=\tfrac34$ 时取得最小值 $\sqrt3$；当 $\lambda=0$ 时取得最大值 $2\sqrt3$。

向量法

设 $\lambda$，写坐标，得到 $f(\lambda)$ 并配方

1. 建立平面直角坐标系：$B(0,0)$，$C(2,0)$，$A(1,\sqrt3)$。

   使动点所在边落在 $x$ 轴上。

2. $\ov{BP}=\lambda\ov{BC}$，$\lambda\in[0,1]$，所以 $P=(2\lambda,0)$。

   用一个参数表示动点。

3. $\ov{PA}=(1-2\lambda,\sqrt3)$，$\ov{PB}=(-2\lambda,0)$。

   向量坐标等于终点坐标减起点坐标。

4. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=-2\lambda(1-2\lambda)=4\lambda^2-2\lambda$。

   得到 $f(\lambda)$。

5. $f(\lambda)=4\left(\lambda-\tfrac14\right)^2-\tfrac14$，顶点 $\lambda=\tfrac14\in[0,1]$。

   配方后判断顶点是否在参数区间内。

6. $f(0)=0$，$f(1)=2$，因此 $\ov{PA}\cdot\ov{PB}\in[-\tfrac14,2]$。

   最大值在距离抛物线顶点较远的端点取得。

通用模板提高

若 $P=(1-\lambda)A+\lambda B$，$X,Y$ 为定点，记 $\vec w=\ov{AB}$、$\vec u=\ov{AX}$、$\vec v=\ov{AY}$，则 $$ \begin{aligned} \ov{PX}\cdot\ov{PY} &=(\vec u-\lambda\vec w)\cdot(\vec v-\lambda\vec w)\\ &=|\vec w|^2\lambda^2-\vec w\cdot(\vec u+\vec v)\lambda+\vec u\cdot\vec v \end{aligned} $$

• 二次项系数 $|\ov{AB}|^2>0$，所以抛物线开口向上，内部顶点只能给出最小值。
• 顶点在区间内时，最小值在顶点处取得，最大值在距离顶点较远的端点处取得；顶点在区间外时，函数在区间上单调，最值都在端点处取得。
• 求模长时先平方。例如 $|\ov{PA}|^2=4\lambda^2-4\lambda+4$，$|\ov{PA}+\ov{PC}|^2=(3-4\lambda)^2+3$，再配方求最值。

几何法

用极化恒等式：$\ov{PA}\cdot\ov{PB}=PM^2-1$，$M$ 为 $AB$ 中点

1. $\ov{PA}=\ov{PM}+\ov{MA}$，$\ov{PB}=\ov{PM}-\ov{MA}$。

   $M$ 是中点，故 $\ov{MB}=-\ov{MA}$。

2. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=|\ov{PM}|^2-|\ov{MA}|^2=|PM|^2-1$。

   使用极化恒等式，也就是平方差。

3. $|PM|\ge|MH|=\tfrac{\sqrt3}{2}$，其中 $H$ 是 $M$ 到 $BC$ 的垂足。

   垂线段最短。

4. 最小值为 $\tfrac34-1=-\tfrac14$。此时 $P=H$，$BH=\tfrac12$，$\lambda=\tfrac14$。

   与配方结果一致。

提高不同目标量的几何转化：

结论

提高迁移：正方体

正方体棱长为 $2$，$Q$ 在体对角线 $BD_1$ 上，$\ov{BQ}=\lambda\ov{BD_1}$，求 $\ov{QA}\cdot\ov{QC}$ 的范围

1. 取 $D$ 为原点，则 $B(2,2,0)$、$D_1(0,0,2)$，$Q=(2-2\lambda,2-2\lambda,2\lambda)$。

   空间中的线段动点也只需一个参数 $\lambda$。

2. $A(2,0,0)$、$C(0,2,0)$，所以 $\ov{QA}=(2\lambda,2\lambda-2,-2\lambda)$，$\ov{QC}=(2\lambda-2,2\lambda,-2\lambda)$。

   分别用终点坐标减起点坐标。

3. $\ov{QA}\cdot\ov{QC}=12\lambda^2-8\lambda=12\left(\lambda-\tfrac13\right)^2-\tfrac43$。

   配方得到顶点和最小值。

4. $f(0)=0$，$f(1)=4$，故值域为 $[-\tfrac43,4]$。

   最大值在距离顶点较远的端点 $\lambda=1$ 处取得。

5. 几何验算：$\ov{QA}\cdot\ov{QC}=|QO_1|^2-2$。$O_1$ 到 $BD_1$ 的距离为 $$ \frac12\cdot\frac{BD\cdot DD_1}{BD_1}=\frac{\sqrt6}{3} $$ 因而数量积最小值为 $\tfrac23-2=-\tfrac43$。

   $O_1$ 是 $AC$ 中点；利用底面矩形 $BDD_1B_1$ 度量点到直线的距离，与坐标配方相互核验。

课堂小测

问题：双路线

正方形 $ABCD$ 边长为 $2$，$\ov{BE}=\lambda\ov{BC}$，$\ov{CF}=\lambda\ov{CD}$

建系法

1. 取 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(2,2)$、$D(0,2)$，则 $E=(1-\lambda)B+\lambda C=(2,2\lambda)$，$F=(2-2\lambda,2)$。

   用 $\lambda$ 表示动点坐标。

2. $\ov{AE}=(2,2\lambda)$，$\ov{BF}=(-2\lambda,2)$。

   终点坐标减起点坐标。

3. $\ov{AE}\cdot\ov{BF}=-4\lambda+4\lambda=0$，且 $|\ov{AE}|=|\ov{BF}|=2\sqrt{1+\lambda^2}$。

   数量积为零说明垂直，模长相等说明两线段等长；结论恒成立。

基底法

取基底 $\vec a=\ov{AB}$、$\vec b=\ov{AD}$，则 $|\vec a|=|\vec b|=2$，$\vec a\cdot\vec b=0$。

1. $\ov{AE}=\vec a+\lambda\vec b$，$\ov{BF}=\ov{BC}+\ov{CF}=\vec b-\lambda\vec a$。

   用基底表示目标向量。

2. $\ov{AE}\cdot\ov{BF}=\vec a\cdot\vec b-\lambda|\vec a|^2+\lambda|\vec b|^2-\lambda^2\vec a\cdot\vec b=0$。

   展开后利用 $\vec a\cdot\vec b=0$、$|\vec a|=|\vec b|$。

3. $|\ov{AE}|^2=|\vec a|^2+\lambda^2|\vec b|^2=4+4\lambda^2$，而 $|\ov{BF}|^2=|\vec b|^2+\lambda^2|\vec a|^2=4+4\lambda^2$，所以 $AE=BF$。

   两段长度平方相等，因此长度相等。

翻译表

几何关系转化为向量语言

提高二维叉积定义为 $$ \vec u\times\vec v= \begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix} =x_1y_2-x_2y_1 $$

1. $|\vec u\times\vec v|=|\vec u||\vec v|\sin\theta$，等于以 $\vec u$、$\vec v$ 为邻边的平行四边形面积。

   行列式的绝对值表示有向面积的大小。

2. $\vec u\times\vec v=0\iff\vec u$ 与 $\vec v$ 共线。

   两向量张成的平行四边形面积为零。

3. $(2,4)\times(1,2)=4-4=0$，两向量共线；$(2,0)\times(0,3)=6$，对应平行四边形面积为 $6$。

   用坐标计算作检验。

$\lambda$ 直线过心

两条 $\lambda$ 射线：过重心与过内心

设 $\ov{AP}=\lambda(\ov{AB}+\ov{AC})$，$\ov{AQ}=\lambda(\vec e_{AB}+\vec e_{AC})$，其中 $\vec e$ 表示单位向量。

1. $\ov{AB}+\ov{AC}=2\ov{AM}$，其中 $M$ 为 $BC$ 中点。

   平行四边形对角线关系。

2. $\ov{AP}=2\lambda\ov{AM}$，所以 $P$ 在中线 $AM$ 上；当 $\lambda=\tfrac13$ 时，$P=G$。

   $AG=\tfrac23AM$。

3. 两个单位向量之和是菱形的一条对角线，因此方向平分 $\angle BAC$，$Q$ 的轨迹经过内心 $I$。

   菱形对角线平分顶角。

4. 向量 $$ \lambda\left(\frac{\ov{AB}}{|\ov{AB}|\cos B} +\frac{\ov{AC}}{|\ov{AC}|\cos C}\right) $$ 与 $\ov{BC}$ 的数量积为 $\lambda(-|BC|+|BC|)=0$，所以该方向垂直于 $BC$，其射线所在直线为从 $A$ 引出的高线，经过垂心。

   用垂直的数量积判据。

四心判据

三角形四心的向量刻画

1. 重心：$\ov{GA}+\ov{GB}+\ov{GC}=\vec0\iff\ov{OG}=\tfrac13(\ov{OA}+\ov{OB}+\ov{OC})$。

   重心将中线按 $2:1$ 分点；其位置向量等于三个顶点位置向量的平均值。

2. 外心：$|\ov{OA}|=|\ov{OB}|=|\ov{OC}|$。

   外心到三个顶点距离相等，是三边中垂线的交点。

3. 垂心：$\ov{HA}\cdot\ov{HB}=\ov{HB}\cdot\ov{HC}=\ov{HC}\cdot\ov{HA}$。

   两式相减可得 $\ov{HB}\cdot\ov{CA}=0$，即 $BH\perp AC$；同理得到其他高线关系。

4. 内心：$a\ov{IA}+b\ov{IB}+c\ov{IC}=\vec0$，其中 $a,b,c$ 分别为 $BC,CA,AB$ 的长度。

   由角平分线分对边成比例可得该加权向量关系。

压轴欧拉线

欧拉线向量式：$\ov{OH}=\ov{OA}+\ov{OB}+\ov{OC}$，其中 $O$ 为外心

1. 令 $\ov{OH'}=\ov{OA}+\ov{OB}+\ov{OC}$，则 $\ov{AH'}=\ov{OB}+\ov{OC}$。

   两边减去 $\ov{OA}$。

2. $\ov{AH'}\cdot\ov{BC}=(\ov{OC}+\ov{OB})\cdot(\ov{OC}-\ov{OB})=|OC|^2-|OB|^2=0$。

   因为 $O$ 是外心，$|OC|=|OB|$；所以 $AH'\perp BC$。

3. 同理 $BH'\perp CA$，因此 $H'=H$。又 $\ov{OG}=\tfrac13\ov{OH}$，所以 $O,G,H$ 共线且 $OG:GH=1:2$。

   $H'$ 同时位于两条高线上，故为垂心；位置向量关系给出欧拉线及其分点比。

结论

课堂小测

问题

怎样用一个量描述直线“有多斜”？

1. 用角度：直线向上方向与 $x$ 轴正向所成的角 $\alpha$ 称为倾斜角，$\alpha\in[0^\circ,180^\circ)$。
2. 用数值：沿直线向右走 $1$ 个单位时，上升的量称为斜率 $k$。
3. 用向量：直线上任取两点 $P_1,P_2$，向量 $\ov{P_1P_2}$ 是直线的方向向量。

约定

• 水平直线的倾斜角为 $0^\circ$，不取 $180^\circ$。
• 竖直直线的倾斜角为 $90^\circ$，斜率不存在，方向向量可取 $(0,1)$。
• 当 $x_1\ne x_2$ 时，斜率为 $$ k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$

观察

直线绕 $O$ 旋转：$\alpha$ 与 $k$ 的关系

$k=f(\alpha)=\tan\alpha$

当 $\alpha$ 从 $0^\circ$ 增至 $90^\circ$ 时，$k$ 从 $0$ 增至 $+\infty$；越过 $90^\circ$ 后，$k$ 从 $-\infty$ 增至 $0$。斜率在两段上各自递增，但整体不单调。

推理

几何法：倾斜角推出斜率

1. 直线上取 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，且 $x_1\ne x_2$。

   两点确定一条直线。

2. 以 $P_1P_2$ 为斜边作直角三角形，水平边为 $\Delta x$，竖直边为 $\Delta y$。

   在直角三角形中读取水平和竖直方向的有向变化量。

3. $\tan\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k$。

   由正切定义；当 $\alpha$ 为钝角时，$\Delta x$ 与 $\Delta y$ 异号，正切为负。

4. 当 $\alpha=90^\circ$ 时，$\Delta x=0$，斜率分母为零，故斜率不存在。

向量法：方向向量与法向量

1. $\ov{P_1P_2}=(\Delta x,\Delta y)=\Delta x\left(1,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)=\Delta x(1,k)$。

   提出 $\Delta x$。

2. 因此 $\vec u=(1,k)$ 是方向向量，单位方向向量为 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$。

   方向向量乘任意非零数仍是方向向量。

3. 对直线的一般式 $Ax+By+C=0$，取直线上两点相减，得 $A\Delta x+B\Delta y=0$，即 $(A,B)\cdot\ov{P_1P_2}=0$。

   相减消去常数项 $C$。

4. 所以 $\vec n=(A,B)$ 是法向量，$\vec u=(B,-A)$ 或 $(-B,A)$ 是方向向量；当 $B\ne0$ 时，$k=-\dfrac AB$。

   将法向量旋转 $90^\circ$ 可得一个方向向量。

5. 验算：$(A,B)\cdot(-B,A)=-AB+AB=0$；并且 $$ \vec u\times\vec n= \begin{vmatrix}-B&A\\A&B\end{vmatrix} =-(A^2+B^2)\ne0 $$

   数量积为零验证垂直，二维叉积非零验证二者不共线。

结论

迁移

经典模型：直线绕定点旋转

参数化：交点 $Q$ 用 $\lambda$ 表示

1. $Q=(2-3\lambda,1+\lambda)$，$\lambda\in[0,1]$。

   用线段定比分点参数表示交点。

2. $k(\lambda)=\dfrac{(1+\lambda)+1}{2-3\lambda}=\dfrac{2+\lambda}{2-3\lambda}$；当 $\lambda=\tfrac23$ 时，$PQ$ 为竖直线。

   此时水平位移 $\Delta x=0$。

3. 倾斜角 $\alpha(\lambda)$ 连续递增，从 $\alpha(0)=45^\circ$（$k_{PA}=1$）增至 $\alpha(1)=180^\circ-\arctan3$（$k_{PB}=-3$）。

   斜率跨过竖直位置时不连续，倾斜角仍连续递增。

4. 因此 $$ \alpha\in[45^\circ,180^\circ-\arctan3],\qquad k\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty) $$

   斜率范围在竖直位置处分为两段。

课堂小测

问题

怎样用最少的信息确定一条直线？

常见的直线方程形式包括点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式。逐一记忆多个公式容易混淆，而且竖直直线 $x=1$ 没有斜率。

$$ \text{一个点 }P_0+\text{一个方向}\Longrightarrow\text{一条直线} $$

点法式

点法式中，直线始终垂直于法向量

点法式推出一般式

例如，$\vec n=(1,2)$、$P_0=(1,1)$ 时，点法式为 $(x-1)+2(y-1)=0$，即 $x+2y-3=0$。

1. 设 $\vec n=(A,B)\ne\vec0$，$P_0=(x_0,y_0)$，$P=(x,y)$ 在直线上。

   由一个点和一个法向量确定直线。

2. $P$ 在直线上 $\iff\ov{P_0P}\perp\vec n\iff\vec n\cdot(P-P_0)=0$。

   垂直等价于数量积为零。

3. $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$。

   将数量积按坐标展开。

4. 整理得 $Ax+By+C=0$，其中 $C=-(Ax_0+By_0)$。

   一般式中 $x,y$ 的系数就是法向量的坐标。

5. 反过来，$Ax+By+C=0$ 的法向量为 $(A,B)$，方向向量可取 $(-B,A)$ 或 $(B,-A)$。

   $(A,B)\cdot(-B,A)=0$。

6. 点斜式是 $\vec n=(k,-1)$ 时的特例：$k(x-x_0)-(y-y_0)=0$。竖直直线也包含在点法式中，例如法向量 $\vec n=(1,0)$。

   点法式无需除以水平变化量。

参数式

参数式：$P=P_0+t\vec d$

当 $\vec d$ 为单位方向向量时，$t$ 表示沿该方向的有向距离，且 $|P_0P|=|t|$。例如可取 $\vec d=(-B,A)/|\vec n|$。

若以原点为参考点，且 $|\vec d|=1$，则 $$ f(t)^2=|P_0+t\vec d|^2=|P_0|^2+2tP_0\cdot\vec d+t^2 $$ 配方可知最小值在 $t^*=-P_0\cdot\vec d$ 处取得，$f(t)$ 的最小值为 $\dfrac{|C|}{|\vec n|}$，即原点到直线的距离。

参数式就是 $\lambda$ 动点

1. 在直线上取 $A=P_0$、$B=P_0+\vec d$。

   先取直线上两点。

2. $P=(1-t)A+tB=A+t(B-A)=P_0+t\vec d$。

   这是定比分点表示，参数 $\lambda=t$。

3. 坐标形式为 $$ \begin{cases} x=x_0+td_1\\ y=y_0+td_2 \end{cases} $$

   直线上点的坐标只含一个未知参数 $t$。

4. 消去 $t$，得 $d_2(x-x_0)-d_1(y-y_0)=0$，对应法向量 $(d_2,-d_1)$。

   由参数式回到点法式。

两点与截距

两点式、截距式也只是点法式

例如，$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1\iff2x+3y-6=0$。

1. 已知两点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，方向向量为 $\vec d=\ov{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，法向量可取 $(y_2-y_1,-(x_2-x_1))$。

   将方向向量旋转 $90^\circ$。

2. 点法式为 $$ (y_2-y_1)(x-x_1)-(x_2-x_1)(y-y_1)=0 $$

   这是无需除法的两点式，也适用于竖直直线。

3. 若 $A(a,0)$、$B(0,b)$，则 $\vec d=(-a,b)$、$\vec n=(b,a)$，点法式为 $b(x-a)+ay=0$。

   将截距点代入点法式。

4. 整理得 $bx+ay=ab$；当 $a,b\ne0$ 时，两边除以 $ab$，得截距式 $\dfrac xa+\dfrac yb=1$。

   截距式要求两个截距都非零。

结论

母模型

正方形底面 $ABCD$，边长为 $2$，$D$ 为原点

1. $BD$ 经过原点，方向向量为 $(1,1)$，法向量可取 $(1,-1)$，故方程为 $x-y=0$。

   使用点法式。

2. $\ov{AC}=(-2,2)\parallel(-1,1)$，其法向量可取 $(1,1)$。直线 $AC$ 经过 $A$，故 $(x-2)+y=0$，即 $x+y-2=0$；截距式为 $\dfrac x2+\dfrac y2=1$。

   两个坐标轴截距均为 $2$。

3. $AC$ 的法向量 $(1,1)$ 正是 $BD$ 的方向向量，因此 $AC\perp BD$。

   一条直线的法向量平行于另一条直线的方向向量时，两直线垂直。

4. $BD$ 的参数式为 $P=(2t,2t)$（$t=\lambda$）。代入 $AC$ 的方程 $x+y-2=0$，得 $t=\tfrac12$，交点为正方形中心 $O(1,1)$。

   用参数式代入直线方程求交点。

课堂小测

问题

不画图，怎样看出两条直线的关系？

设 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0$，$l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$。

• 斜率法：$k_1=k_2$ 时平行，$k_1k_2=-1$ 时垂直；竖直直线没有斜率，需要另行讨论。
• 法向量法：$\vec n_1=(A_1,B_1)$、$\vec n_2=(A_2,B_2)$，不必对竖直直线作特殊分类。

例题：根据平行条件求参数

1. 两直线平行时法向量平行，故 $$ \vec n_1\times\vec n_2= \begin{vmatrix}a&2\\1&a-1\end{vmatrix} =a(a-1)-2=0 $$

   平行时叉积为零。

2. 解得 $a^2-a-2=0$，所以 $a=2$ 或 $a=-1$。

   解一元二次方程。

3. 当 $a=2$ 时，$l_1:x+y+3=0$，$l_2:x+y+3=0$，两直线重合，舍去。

   还需比较位置，即检验常数项。

4. 当 $a=-1$ 时，$l_1:-x+2y+6=0$，$l_2:x-2y=0$，两直线平行且不重合。

   因此答案为 $a=-1$。

观察

两条相交直线及其法向量

取 $l_1:x-2y+2=0$、$\vec n_1=(1,-2)$，以及 $l_2:7x+4y-2=0$、$\vec n_2=(7,4)$。两直线相交，因为法向量叉积不为零。

变式一：平行

令 $l_2:x-2y+7=0$，法向量为 $(1,-2)$。两直线平行但不重合：法向量叉积为零，常数项不成相同比例。

变式二：重合

令 $l_2:x-2y+2=0$，法向量为 $(1,-2)$。两直线重合：法向量叉积为零，方程的三个系数均成比例。

变式三：垂直

令 $l_2:2x+y-2=0$，法向量为 $(2,1)$。两法向量点积为零，因此两直线垂直。

推理

四种关系都化为 $\vec n_1,\vec n_2$ 的运算

1. 两直线平行或重合，当且仅当 $\vec n_1\parallel\vec n_2$，即 $$ \vec n_1\times\vec n_2= \begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix} =A_1B_2-A_2B_1=0 $$

   二阶行列式就是二维叉积。

2. 再比较位置：原稿给出的判别为 $A_1C_2-A_2C_1\ne0$ 时平行，等于 $0$ 时重合。

   法向方向相同，常数项比例关系决定位置；此判别存在适用条件疑点，详见整理报告。

3. 两直线垂直，当且仅当法向量垂直，即 $A_1A_2+B_1B_2=0$。

   两法向量的点积为零。

4. 交点由方程组求得。令 $D=A_1B_2-A_2B_1\ne0$，由克拉默法则 $$ x=\frac{B_1C_2-B_2C_1}{D},\qquad y=\frac{C_1A_2-C_2A_1}{D} $$

   分母就是两法向量的叉积。

5. 取直线夹角 $\theta\in[0,\tfrac\pi2]$，则 $$ \cos\theta =\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|} =\frac{|A_1A_2+B_1B_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}} $$

   法向量夹角与直线夹角相等或互补，因此取绝对值。

6. 叉积绝对值满足 $|\vec n_1\times\vec n_2|=|\vec n_1||\vec n_2|\sin\theta$，可用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 核验计算。

   叉积的绝对值等于由两个向量张成的平行四边形面积。

斜率法对照

1. 当 $B\ne0$ 时，斜率 $k=-\tfrac AB$。若 $k_1=k_2$ 且截距不同，则两直线平行。

   使用前需排除竖直直线。

2. $k_1k_2=-1$ 时两直线垂直；一条竖直、一条水平时也垂直。

   垂直的斜率公式需要补上特殊情形。

3. 两直线夹角满足 $\tan\theta=\left|\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$。

   由两直线斜率的到角公式并取绝对值。

4. 斜率法需要分类讨论，法向量法可用统一公式处理。

提高直线系

过交点的直线系 $l_1+\lambda l_2=0$

考虑 $$ (x-y+1)+\lambda(2x+y-4)=0 $$ 对应直线为 $l_\lambda:(1+2\lambda)x+(\lambda-1)y+(1-4\lambda)=0$，斜率 $k(\lambda)=\dfrac{1+2\lambda}{1-\lambda}$。

1. $P(1,2)$ 同时使两个括号为零，因此任意 $\lambda$ 下，$P$ 都在 $l_\lambda$ 上。

   代入两个括号均得零。

2. 整理方程，得 $(1+2\lambda)x+(\lambda-1)y+(1-4\lambda)=0$，斜率为 $k(\lambda)=\dfrac{1+2\lambda}{1-\lambda}$。

   一个参数描述直线系中的成员。

3. 当 $\lambda\to\infty$ 时，系数按 $\lambda$ 归一化后趋于 $2x+y-4=0$，即 $l_2$。有限参数写出的直线系应单独验 $l_2$ 本身。

   不能漏掉第二条基准直线。

4. 若 $m(x-2)-(y-1)=0$ 对任意 $m$ 都成立，则必须有 $x-2=0$ 且 $y-1=0$，故定点为 $(2,1)$。

   分离参数求定点。

结论

迁移

正方体底面

正方体棱长为 $2$，底面 $ABCD$ 置于坐标平面，$D(0,0)$、$A(2,0)$、$C(0,2)$、$B(2,2)$。

• $AC:x+y-2=0$，$\vec n_1=(1,1)$；$BD:x-y=0$，$\vec n_2=(1,-1)$。
• $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$，所以 $AC\perp BD$，交点 $(1,1)$ 是底面中心。
• $AB:x-2=0$ 与 $AC$ 的夹角满足 $\cos\theta=\dfrac1{1\cdot\sqrt2}$，故 $\theta=45^\circ$。

到空间去

课堂小测

问题

点 $M(1,2)$ 到直线 $l:3x+4y-12=0$ 的距离

常规做法是先求过 $M$ 的垂线，再联立求垂足 $H$，最后计算两点距离，计算步骤较多。

需要的工具

• 直线 $Ax+By+C=0$ 的法向量为 $\vec n=(A,B)$。
• 向量 $\vec a$ 在 $\vec n$ 方向上的投影长为 $\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec n|}$。

观察

动点 $M$：$\ov{OM}=(1-\lambda)\ov{OP}+\lambda\ov{OQ}$，$P(-1,-1)$，$Q(6,5)$

投影段与垂线段等长，且与直线上基点的选取无关

距离函数为 $d(\lambda)=\dfrac{|45\lambda-19|}{5}$。它是一次式的绝对值，在 $\lambda=\tfrac{19}{45}$ 时 $M$ 位于直线 $l$ 上。投影长不随直线上基点 $A$ 的选取而改变。

推理

向量法推导

1. 设 $l:Ax+By+C=0$，法向量 $\vec n=(A,B)$。任取 $A_0(x_1,y_1)\in l$，则 $Ax_1+By_1=-C$。

   点 $A_0$ 在直线上。

2. 若 $M=(x_0,y_0)$，则 $\ov{A_0M}=(x_0-x_1,y_0-y_1)$。

   用终点坐标减起点坐标。

3. $\vec n\cdot\ov{A_0M}=Ax_0+By_0-(Ax_1+By_1)=Ax_0+By_0+C$。

   利用 $A_0$ 在线上的关系消去 $x_1,y_1$。

4. 因此 $$ d=\frac{|\vec n\cdot\ov{A_0M}|}{|\vec n|} =\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

   点到直线的距离等于向量在法向量方向上的投影长。

5. 对 $M(1,2)$，有 $d=\dfrac{|3+8-12|}{5}=\dfrac15$。

   得到问题的答案。

面积法

点 $M$ 与直线 $l$ 上两点 $E,F$ 构成三角形，$MH$ 是以 $EF$ 为底边时的高，因此 $$ d=\frac{2S_{\triangle MEF}}{|EF|} $$ 取 $E(4,0)$、$F(0,3)$，则 $|EF|=5$，且 $$ 2S_{\triangle MEF} =|\ov{EM}\times\ov{EF}| =|(-3)(3)-(2)(-4)|=1 $$ 所以 $d=\tfrac15$。

平行线

$l_1:3x+4y-12=0$，$l_2:3x+4y+c=0$

平行线间距离等于其中一条线上一点到另一条线的距离

1. 取 $M_0(x_0,y_0)\in l_2$，则 $3x_0+4y_0=-c$。

   点 $M_0$ 在 $l_2$ 上。

2. 由点线距公式， $$ d=\frac{|3x_0+4y_0-12|}{5} =\frac{|-c-12|}{5} =\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

   其中两直线的 $x,y$ 系数已相同。

先将第二条直线的 $x,y$ 系数化为相同，得 $3x+4y+\tfrac12=0$。于是 $$ d=\frac{|-12-\tfrac12|}{5}=\frac52 $$ 直接相减得到 $\tfrac{13}{5}$ 是错误的。

对照：点线距与点面距

完整展开见 K05《一个公式管全部距离》。

提高正方体棱长为 $2$：求 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离

1. 取 $A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$D(0,2,0)$、$A_1(0,0,2)$。

   建立空间直角坐标系。

2. $$ \ov{BA_1}\times\ov{BD} =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ -2&0&2\\ -2&2&0 \end{vmatrix} =(-4,-4,-4) $$ 故可取法向量 $\vec n=(1,1,1)$。

   由平面内两方向向量的叉积求法向量。

3. 验算：$\vec n\cdot\ov{BA_1}=-2+0+2=0$，$\vec n\cdot\ov{BD}=-2+2+0=0$。

   法向量与平面内两方向向量垂直。

4. $\ov{BA}=(-2,0,0)$，因此 $$ d=\frac{|\vec n\cdot\ov{BA}|}{|\vec n|} =\frac{|-2|}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3} $$

   使用同一个点面距公式。

结论

课堂小测

问题与观察

将军饮马：$P$ 在 $l:x-y+1=0$ 上，求 $|PA|+|PB|$ 的最小值

$A(3,1)$、$B(6,4)$ 在 $l$ 的同侧。设直线上的动点 $$ P=(1-t)(0,1)+t(1,2)=(t,t+1) $$

由于 $|PA|=|PA'|$，所以 $$ |PA|+|PB|=|PA'|+|PB|\ge|A'B|=6 $$ 当 $P$ 在线段 $A'B$ 上时取等号。$A'B$ 的方程为 $y=4$，与 $l$ 交于 $P(3,4)$，故 $t=3$，最小值为 $6$。

也可将距离和写为 $$ f(t)=\sqrt{(t-3)^2+t^2}+\sqrt{(t-6)^2+(t-3)^2} $$ 直接求导计算较繁；将 $A$ 对称到 $A'(0,4)$ 后，折线 $A'PB$ 拉直即可得最小值。函数图像的最低点与几何结论一致。

点的对称

点关于 $l:x-y+1=0$ 的对称点

两个条件：中点在线上，连线垂直

1. 设 $Q'(m,n)$，$Q(x_0,y_0)$。

   设对称点坐标。

2. 中点在 $l$ 上：$\dfrac{x_0+m}{2}-\dfrac{y_0+n}{2}+1=0$。

   对称轴平分 $QQ'$。

3. $QQ'\perp l$，故 $\dfrac{n-y_0}{m-x_0}\cdot1=-1$。

   两条垂直直线的斜率乘积为 $-1$。

4. 解得 $m=y_0-1$、$n=x_0+1$。

   直线斜率为 $1$，可直接交换并平移坐标。

一般地，若直线为 $l:Ax+By+C=0$，点 $Q(x_0,y_0)$ 关于 $l$ 的对称点为 $$ Q'=Q-\frac{2(Ax_0+By_0+C)}{A^2+B^2}(A,B) $$ 其中 $\dfrac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 是点 $Q$ 到直线的有向距离。

直线的对称

$l_1:2x-y-2=0$ 关于 $l:x-y+1=0$ 的对称直线

用“交点加一个对称点”确定对称直线

1. $l_1$ 与 $l$ 交于 $E(3,4)$，此点在对称直线上不动。

   交点位于对称轴上。

2. 在 $l_1$ 上取 $R(1,0)$，其对称点为 $R'(-1,2)$。

   使用点关于直线的对称关系。

3. 过 $E$、$R'$ 作直线，得 $l_2:x-2y+5=0$。

   两点确定一条直线。

4. 也可利用 $x\mapsto y-1$、$y\mapsto x+1$ 代入 $l_1$：$2(y-1)-(x+1)-2=0$，整理仍得 $x-2y+5=0$。

   此速算适用于斜率为 $1$ 或 $-1$ 的对称轴。

5. 若 $l_1\parallel l$，则对称直线也与 $l$ 平行，且到 $l$ 的距离相等。

   平行时原直线与对称轴没有交点。

若 $R=(1-t)(1,0)+t(3,4)$ 在 $l_1$ 上变化，则其像点 $R'$ 始终在 $l_2$ 上。

光线反射

提高同侧求和、异侧求差

结论

课堂小测

问题

圆的一般方程与直线截弦

$x^2+y^2-4x+2y+1=0$ 表示什么图形？直线 $x-y+1=0$ 与圆 $(x-1)^2+y^2=4$ 相交所截得的弦长是多少？

圆的方程

圆由圆心 $C(a,b)$ 和半径 $r$ 确定

标准方程与一般方程

1. $|PC|=r\iff(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

   根据圆的定义及两点距离公式。

2. 展开为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中 $D=-2a$、$E=-2b$、$F=a^2+b^2-r^2$。

   得到圆的一般方程。

3. 反过来配方，圆心为 $\left(-\tfrac D2,-\tfrac E2\right)$，半径为 $r=\tfrac12\sqrt{D^2+E^2-4F}$。

   要求 $D^2+E^2-4F>0$。

4. 对点 $P$，令 $d=|PC|$：$d<r$ 时点在圆内，$d=r$ 时点在圆上，$d>r$ 时点在圆外。

   也可将点坐标代入圆方程左侧判断符号。

例如，若 $d=3.20$、$r=2.00$，则点 $P$ 在圆外。

直线与圆

圆心到直线的距离及弦

1. 设圆心为 $C(a,b)$，直线为 $Ax+By+C_0=0$，则 $$ d=\frac{|Aa+Bb+C_0|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

   使用点到直线距离公式。

2. $d>r$ 时相离，$d=r$ 时相切，$d<r$ 时相交。

   比较圆心到直线距离与半径。

3. 相交时，弦长 $|MN|=2\sqrt{r^2-d^2}$。

   由垂径定理和勾股定理。

例如 $d=1.41$、$r=2.00$ 时，直线与圆相交，有两个交点。

圆与圆

圆心距 $d=|O_1O_2|$

五种关系：两个分界值 $|r_1-r_2|$ 与 $r_1+r_2$

1. $d>r_1+r_2$ 时外离；$d=r_1+r_2$ 时外切。

   对应 $4$ 条或 $3$ 条公切线。

2. $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$ 时相交。

   对应 $2$ 条公切线。

3. $d=|r_1-r_2|$ 时内切；$d<|r_1-r_2|$ 时内含。

   分别对应 $1$ 条或 $0$ 条公切线。

4. 两圆相交时，将两圆方程相减可得公共弦所在直线。

   相减后 $x^2,y^2$ 二次项抵消。

例如，若 $d=3.0$、$r_1+r_2=3.5$、$|r_1-r_2|=0.5$，则两圆相交。

结论

课堂小测

问题

圆外动点引切线与切点弦

$P$ 可表示为端点 $A(-4,4)$、$B(4,4)$ 的定比分点： $$ P=(1-\lambda)A+\lambda B=(8\lambda-4,4) $$ 其中 $\lambda\in[0,1]$，因此动点只含一个参数 $\lambda$。

• 切线：半径垂直于切线，$\ov{OT}\cdot\ov{TP}=0$。
• 切线长：由直角三角形 $OTP$ 和勾股定理求得。
• 弦长：由弦心距、半弦和半径构成的直角三角形求得。

观察：动点引切线

动点 $P=(8\lambda-4,4)$ 向圆 $x^2+y^2=4$ 引切线

切线长 $|PT|=f(\lambda)$

$$ f(\lambda)=\sqrt{|PO|^2-r^2}=\sqrt{(8\lambda-4)^2+12} $$

当 $\lambda=\tfrac12$ 时切线长最小，为 $2\sqrt3$；此时 $OP$ 正好等于圆心 $O$ 到直线 $y=4$ 的距离。切点弦始终经过 $M(0,1)$。

观察：弦长

过 $M(0,1)$ 的直线 $y=kx+1$ 截圆所得弦

弦心距为 $d=\dfrac1{\sqrt{1+k^2}}$，弦长为 $$ |AB|=2\sqrt{4-d^2} $$

当 $k=0$ 时，$d$ 最大，为 $|OM|=1$，弦长最短，为 $2\sqrt3$；此时弦垂直于 $OM$。过 $M$ 的最长弦为直径，长度为 $4$。

提高代数法：联立直线和圆，得 $(1+k^2)x^2+2kx-3=0$。若两交点横坐标为 $x_1,x_2$，则 $$ |AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2| =\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt\Delta}{1+k^2} $$ 几何法较快，代数法更通用，也适用于圆锥曲线。

推理

切线方程（向量法）

1. 切点 $T(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 上，$Q(x,y)$ 在切线上。

   设切点和切线上任意一点。

2. $\ov{OT}\perp\ov{TQ}$，所以 $x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)=0$。

   半径垂直切线。

3. 整理得 $x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2=r^2$。

   使用 $T$ 在圆上的条件。

4. 圆心为 $(a,b)$ 的一般圆，其切线方程为 $$ (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2 $$

   将圆心平移到原点。

切线长

1. $|PT|^2=|PC|^2-r^2$。

   由直角三角形 $CTP$ 的勾股定理。

2. 对圆心 $C(a,b)$，可写为 $|PT|^2=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2$，即将点 $P(x_1,y_1)$ 代入圆方程左边（右边移到零）。

   代入即可得到切线长平方。

切点弦

1. 设圆外点 $P(x_1,y_1)$，切点为 $T_1(a_1,b_1)$、$T_2(a_2,b_2)$。

   设而不求切点坐标。

2. 切线 $PT_1$ 的方程为 $a_1x+b_1y=r^2$，且经过 $P$，所以 $a_1x_1+b_1y_1=r^2$。

   将 $P$ 代入切线方程。

3. 同理，$a_2x_1+b_2y_1=r^2$，因此 $T_1,T_2$ 都满足 $x_1x+y_1y=r^2$。

   两切点满足同一条直线方程。

4. 切点弦方程为 $x_1x+y_1y=r^2$。

   方程形式与切线相同，但这里的点 $(x_1,y_1)$ 是圆外点。

5. 本题中 $P=(8\lambda-4,4)$，故切点弦方程为 $(8\lambda-4)x+4y=4$。令 $x=0$ 得 $y=1$，所以切点弦始终经过定点 $M(0,1)$。

   定点与参数 $\lambda$ 无关。

切点弦长满足 $$ |T_1T_2|=\frac{2r|PT|}{|PO|} $$ 这是由三角形 $OPT$ 的两种面积表达式得到的：$\tfrac12|OP|\cdot\tfrac12|T_1T_2|=\tfrac12r|PT|$。

压轴圆系

圆系压轴

1. 两圆 $C_1:f_1=0$、$C_2:f_2=0$ 相交时，过两圆交点的圆系为 $f_1+\mu f_2=0$（$\mu\ne-1$）。

   公共交点同时满足 $f_1=0$、$f_2=0$。

2. 当 $\mu=-1$ 时，$f_1-f_2=0$ 是公共弦所在直线。

   两个圆方程相减后，二次项消去。

3. 以 $OP$ 为直径的圆 $x(x-x_1)+y(y-y_1)=0$ 经过切点 $T_1,T_2$。

   $\angle OTP=90^\circ$，由直径所对圆周角为直角。

4. 将该圆方程与 $x^2+y^2-r^2=0$ 相减，得 $x_1x+y_1y=r^2$，再次得到切点弦方程。

   切点弦是两圆的公共弦。

5. 过直线 $l:g=0$ 与圆的交点的圆系可写成 $f+\mu g=0$。

   直线也可纳入圆系表达。

结论

课堂小测

问题：描点

固定 $A(-2,0)$、$B(2,0)$，满足条件的点 $P$ 在哪里？

数值描点显示，满足下列条件的点分别排成圆或圆弧：

1. 定角定弦，轨迹为圆弧。

   由正弦定理确定外接圆半径。

2. $|PA|=k|PB|$（$k\ne1$），轨迹为阿波罗尼斯圆。

   可用角平分线或坐标法证明。

3. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=c$，轨迹为以 $AB$ 中点为圆心的圆。

   使用极化恒等式。

定角定弦

定弦 $AB=4$，定角 $\angle APB=\alpha$

推理：几何法

1. 在 $\triangle PAB$ 中由正弦定理，$\dfrac{AB}{\sin\alpha}=2R$。

   $R$ 为三角形外接圆半径。

2. $AB$、$\alpha$ 都是定值，所以 $R=\dfrac{AB}{2\sin\alpha}$ 不变。

   半径与点 $P$ 的位置无关。

3. 外心 $O'$ 在 $AB$ 的中垂线上，且 $O'A=R$，所以在 $AB$ 同一侧时 $O'$ 固定。

   圆心和半径均确定。

4. 因而 $P$ 位于定圆上：当 $\alpha<90^\circ$ 时，$AB$ 上方为一段优弧；当 $\alpha>90^\circ$ 时为一段劣弧。两段弧均不含 $A,B$，$AB$ 下方还有关于 $AB$ 对称的一段。

   同弧所对的圆周角相等。

5. 当 $\alpha=90^\circ$ 时，轨迹为以 $AB$ 为直径的圆，但不包括 $A,B$。

   直径所对的圆周角为直角。

阿波罗尼斯圆

$|PA|=k|PB|$（$k\ne1$）

1. 在 $AB$ 上取内分点 $C$，并在 $AB$ 延长线上取外分点 $D$，使 $\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{DA}{DB}=k$。

   $C,D$ 都是定点。

2. $\dfrac{PA}{PB}=k=\dfrac{CA}{CB}$，所以 $PC$ 平分 $\angle APB$。

   由角平分线定理的逆定理。

3. 同理，$PD$ 平分 $\angle APB$ 的外角。

   由外角平分线定理。

4. 内、外角平分线互相垂直，故 $\angle CPD=90^\circ$。

   两角平分线所成角为两角和的一半，即 $90^\circ$。

5. 所以 $P$ 在以 $CD$ 为直径的圆上。

   由定弦 $CD$ 和定角 $90^\circ$ 得圆轨迹。

坐标法核验提高

取 $A(-2,0)$、$B(2,0)$，设 $P(x,y)$，则 $$ (x+2)^2+y^2=k^2\left[(x-2)^2+y^2\right] $$ 整理得 $$ (k^2-1)(x^2+y^2)-4(k^2+1)x+4(k^2-1)=0 $$ 当 $k\ne1$，除以 $k^2-1$ 并配方，得 $$ x^2+y^2-\frac{4(k^2+1)}{k^2-1}x+4=0 $$ 所以圆心为 $\left(\dfrac{2(k^2+1)}{k^2-1},0\right)$，半径为 $\dfrac{4k}{|k^2-1|}$。当 $k=2$ 时，圆心为 $\left(\tfrac{10}{3},0\right)$、半径为 $\tfrac83$；$C\left(\tfrac23,0\right)$、$D(6,0)$ 正好是该圆的直径端点，与几何法一致。

数量积定值

$\ov{PA}\cdot\ov{PB}=c$：极化恒等式

推理：向量法

1. 设 $M$ 为 $AB$ 中点，则 $\ov{PA}=\ov{PM}+\ov{MA}$，$\ov{PB}=\ov{PM}-\ov{MA}$。

   $\ov{MB}=-\ov{MA}$。

2. $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=|\ov{PM}|^2-|\ov{MA}|^2=|PM|^2-\dfrac{|AB|^2}{4}$。

   展开后为平方差。

3. 若 $\ov{PA}\cdot\ov{PB}=c$，则 $$ |PM|=\sqrt{c+\frac{|AB|^2}{4}} $$

   当 $c>-\tfrac{|AB|^2}{4}$ 时半径为正。

4. 因而 $P$ 在以 $M$ 为圆心的圆上；本图 $|AB|=4$，半径为 $r=\sqrt{c+4}$。

   数量积定值对应隐圆。

5. 同理，$|PA|^2+|PB|^2=2|PM|^2+\dfrac{|AB|^2}{2}$，定值条件也给出圆轨迹。

   使用中线长公式。

反过来，若 $P$ 在已知圆上运动，$\ov{PA}\cdot\ov{PB}$ 的范围只需研究 $|PM|$ 的范围，即将数量积最值化为距离最值。

最值：圆心距与半径

$A(0,0)$、$B(3,0)$，$|PA|=2|PB|$；$Q$ 在线段 $EF$ 上，$\ov{EQ}=\lambda\ov{EF}$

1. 先识别圆： $$ x^2+y^2=4\left[(x-3)^2+y^2\right] \iff(x-4)^2+y^2=4 $$ 所以圆心 $O'(4,0)$，半径 $r=2$。

   这是阿波罗尼斯圆。

2. 令 $d=|O'Q|$，由三角不等式，$d-r\le|PQ|\le d+r$。

   $P$ 在圆上，比较点 $Q$ 到圆心的距离与半径。

3. 等号分别在直线 $O'Q$ 与圆的近、远交点处取得。

   分别对应最短和最长距离。

4. $E(0,4)$、$F(8,4)$，且 $\lambda\in[0,1]$，则 $$ Q=(1-\lambda)E+\lambda F=(8\lambda,4) $$

   用一个参数表示线段上的动点。

5. $f(\lambda)=\min|PQ|=\sqrt{(8\lambda-4)^2+16}-2$，当 $\lambda=\tfrac12$ 时取最小值 $2$。

   此时 $Q$ 与 $O'$ 的横坐标相同，$|O'Q|=4$。

阿波罗尼斯圆的圆心为 $O'(4,0)$、半径为 $2$。$d=|O'Q|=\sqrt{9+16}=5$，所以 $|PQ|\in[3,7]$。在线段 $EF$ 参数化时，该点对应 $\lambda=\tfrac78$。

压轴升维：阿氏球

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $2$，$P$ 在底面 $ABCD$ 内

空间图定位，平面图度量

条件：$PD_1$ 与底面所成角的正切，是 $PA_1$ 与底面所成角正切的 $2$ 倍。求 $P$ 的轨迹长。

1. $DD_1\perp$ 底面，因此 $\tan\angle D_1PD=\dfrac2{PD}$；同理 $\tan\angle A_1PA=\dfrac2{PA}$。

   将线面角落到底面。

2. $\dfrac2{PD}=2\cdot\dfrac2{PA}$，所以 $PA=2PD$，底面内轨迹为阿波罗尼斯圆。

   将空间条件转化为平面内的距离比。

3. 取底面坐标 $D(0,0)$、$A(2,0)$，则 $$ (x-2)^2+y^2=4(x^2+y^2) \iff\left(x+\tfrac23\right)^2+y^2=\tfrac{16}{9} $$

   得到圆心 $(-\tfrac23,0)$、半径 $\tfrac43$。

4. 该圆与正方形交于 $\left(\tfrac23,0\right)$、$\left(0,\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)$，所截弧对应圆心角 $60^\circ$，弧长为 $\tfrac43\cdot\tfrac\pi3=\tfrac{4\pi}{9}$。

   $\cos\theta=\dfrac{2/3}{4/3}=\tfrac12$。

5. 空间中条件 $|PA|=k|PD|$ 的轨迹为阿氏球，球心在直线 $AD$ 上；与底面相交后得到上面的圆。

   球与平面相交得到圆。

结论

课堂小测

问题

同一个正方体，为什么画法不一样？

正方体的六个面都是正方形，可纸上画出来，有的面是平行四边形，有的棱是虚线。

1. 纸上的图是投影：看的方向不同，图就不同。
2. 被挡住的棱画虚线，看得见的画实线。
3. 平面图里量出的长度、角度不一定是真实值：“空间图定位，平面图度量”。

本节用到的母模型

虚实线

正方体：看见的实线，挡住的虚线

正四面体

规则

1. 一条棱是否被挡：从眼睛看过去，视线先碰到别的面，就画虚线。

   遮挡

2. 正方体斜二测图里，恰有 3 条棱是虚线，交于一个“背后”的顶点。

   背棱

3. 正视、俯视、侧视时，前后重合的棱只画一条，实线盖住虚线。

   三视图

斜二测

斜二测：横不变，纵减半，夹角 $45^\circ$

推理：面积比为什么是 $\dfrac{\sqrt2}{4}$

1. $x$ 方向的线段长度不变。

   横不变

2. $y$ 方向的线段长度变为一半，并画成与 $x'$ 轴成 $45^\circ$。

   纵减半

3. 原图的“高” $h$ 变成斜边 $\tfrac h2$，直观图里的高是 $\tfrac h2\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{4}h$。

   求新高

4. 底不变、高乘 $\tfrac{\sqrt2}{4}$，所以

$$ S_{直观}=\frac{\sqrt2}{4}S_{原} $$

面积比

三视图

长方体 $2\times3\times6$

三视图口诀

长对正，高平齐，宽相等。

• 正视图（从前往后看）：反映长和高。
• 俯视图（从上往下看）：反映长和宽，放在正视图下方。
• 侧视图（从左往右看）：反映宽和高，放在正视图右方。

面积体积

正四棱锥截成台：上底边 $=\lambda\cdot$ 下底边

体积 $V(\lambda)$：两种算法一致

1. 大锥：底边 $2$，高 $3$，$V_{大}=\tfrac13\cdot4\cdot3=4$。

   锥的体积等于同底等高柱体积的三分之一

2. 小锥与大锥相似，比为 $\lambda$，体积比 $\lambda^3$。

   相似立体

3. $V_{台}=4-4\lambda^3=4(1-\lambda^3)$。

   台 = 大锥 − 小锥

4. 公式验算：$h=3(1-\lambda)$，$S=4$，$S'=4\lambda^2$，

$$ \frac h3\left(S+\sqrt{SS'}+S'\right)=(1-\lambda)(4+4\lambda+4\lambda^2)\quad\checkmark $$

棱锥台体积公式

母模型

正四面体放进正方体

课堂小测

问题

为什么几乎所有立体几何题都能“装进正方体”？

正方体三条棱两两垂直，天然就是一个空间直角坐标系。把棱长取成 $2$，所有顶点、棱中点、面中心、体中心的坐标都是整数。

约定（全课统一）

• $D$ 为原点，$DA$ 为 $x$ 轴，$DC$ 为 $y$ 轴，$DD_1$ 为 $z$ 轴。
• 棱长 $a=2$：坐标只出现 $0,1,2$。
• 上底面顶点 = 下底面顶点 $+(0,0,2)$。

$$ \begin{aligned} A(2,0,0)\quad B(2,2,0)\quad C(0,2,0)\quad D(0,0,0)\\ A_1(2,0,2)\quad B_1(2,2,2)\quad C_1(0,2,2)\quad D_1(0,0,2) \end{aligned} $$

观察：坐标与 $\lambda$

动点 $Q$：$\ov{XQ}=\lambda\ov{XY}$

坐标只含一个未知数

当 $Q$ 在棱 $AA_1$ 上时，$Q=(2,0,2\lambda)$。

棱 $B_1C_1$

$$Q=(2-2\lambda,\,2,\,2)$$

面对角线 $A_1C_1$

$$Q=(2-2\lambda,\,2\lambda,\,2)$$

体对角线 $BD_1$

$$Q=(2-2\lambda,\,2-2\lambda,\,2\lambda)$$

推理：三类线段

三类线段的长度

1. 棱：$\ov{DA}=(2,0,0)$，$|DA|=2$。

   一个分量非零

2. 面对角线：$\ov{AC}=(-2,2,0)$，$|AC|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$。

   两个分量非零

3. 体对角线：$\ov{DB_1}=(2,2,2)$，$|DB_1|=\sqrt{12}=2\sqrt3$。

   三个分量非零

4. 一般地，棱长为 $a$ 时，三类长度依次为 $a,\ \sqrt2a,\ \sqrt3a$。

   勾股定理两次

5. 体对角线与棱夹角：

$$ \cos\theta=\frac{\ov{DB_1}\cdot\ov{DA}}{2\sqrt3\cdot2}=\frac{\sqrt3}{3} $$

与底面所成角记为 $\alpha$，则 $\tan\alpha=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$。

L2 常用值

垂直关系一眼看出

1. $\ov{AC}\cdot\ov{BD}=(-2,2,0)\cdot(-2,-2,0)=0$：同一面两条对角线垂直。

   正方形

2. $\ov{AC}\cdot\ov{DB_1}=-4+4+0=0$：面对角线垂直于与它异面的体对角线。

   数量积为 $0$

3. $\ov{AD_1}\cdot\ov{DB_1}=(-2,0,2)\cdot(2,2,2)=0$。

   同理

4. 两条相交直线 $AC,AD_1$ 都垂直 $DB_1$，所以 $DB_1\perp$ 平面 $ACD_1$。

   线面垂直判定

双解法：体对角线 $\perp$ 面

体对角线 $DB_1\perp$ 平面 $ACD_1$

截面族 $S(\lambda)$

截面族：垂直于体对角线的平面

过 $P=\lambda B_1=(2\lambda,2\lambda,2\lambda)$，法向量 $(1,1,1)$

截面方程为 $x+y+z=6\lambda$。$0\le\lambda\le\tfrac13$ 时截面是三角形，$\tfrac13\le\lambda\le\tfrac23$ 时是六边形；$\lambda=\tfrac12$ 时是正六边形。

例题

结论

课堂小测

问题

问题：三棱锥 $P\text{-}ABC$ 中 $PA\perp$ 平面 $ABC$，$AB\perp BC$，$PA=AB=BC=2$。外接球半径是多少？

直接找球心很难：要找到到四个顶点距离都相等的点。

本课主线

1. 长方体：体对角线 $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2R$。
2. 五种“切块”：墙角四面体、鳖臑、阳马、堑堵、等腰四面体。
3. 见到切块，补成长方体，再用 $2R=l$ 和体积比。

观察

长方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 和它的切块

墙角四面体 $D\text{-}ACD_1$

从 $D$ 出发的三条棱 $DA$、$DC$、$DD_1$ 两两垂直。

切块的顶点都是长方体的顶点，所以它们都在长方体的外接球上，到球心的距离都等于 $\tfrac l2$。

鳖臑 $D_1\text{-}DAB$

折线 $D_1D$、$DA$、$AB$ 两两垂直，四个面都是直角三角形。

阳马 $D_1\text{-}ABCD$

底面为矩形 $ABCD$，侧棱 $D_1D\perp$ 底面的四棱锥。

堑堵 $ABD\text{-}A_1B_1D_1$

沿对角面 $BDD_1B_1$ 切下的直三棱柱，底面是直角三角形。

等腰四面体 $ACB_1D_1$

棱全是面对角线，三组对棱分别相等（如 $AC=B_1D_1$）。

推理

体对角线 = 外接球直径

1. 底面对角线 $DB^2=a^2+b^2$。

   勾股，$DA\perp AB$

2. $BB_1\perp$ 底面，所以 $BB_1\perp DB$，从而 $DB_1^2=DB^2+c^2=a^2+b^2+c^2$。

   再勾股一次

3. 四条体对角线相等且互相平分，交点 $O$ 到 $8$ 个顶点的距离都是 $\tfrac l2$。

   矩形 $DBB_1D_1$ 的对角线

4. 因此外接球直径为体对角线：

$$ 2R=l=\sqrt{a^2+b^2+c^2} $$

外接球

5. 向量法：$\ov{DB_1}=\ov{DA}+\ov{AB}+\ov{BB_1}$，三向量两两垂直，所以 $|\ov{DB_1}|^2=a^2+b^2+c^2$。 交叉项点积为 $0$

体积：长方体切几刀

1. 堑堵：沿对角面 $BDD_1B_1$ 切成两半，$V=\tfrac12abc$。

   直三棱柱

2. 阳马：以 $ABCD$ 为底、$D_1$ 为顶，$V=\tfrac13abc$。

   锥体 = 底面积乘高的三分之一

3. 鳖臑：堑堵 = 阳马 + 鳖臑，$V=\tfrac12abc-\tfrac13abc=\tfrac16abc$。

   四个面全是直角三角形

4. 墙角四面体：$V=\tfrac13\cdot\tfrac12ab\cdot c=\tfrac16abc$。

   三条棱两两垂直

5. 等腰四面体：长方体切掉 $4$ 个墙角，$V=abc-4\cdot\tfrac16abc=\tfrac13abc$。

   对棱相等

结论

迁移

课堂小测

问题与观察

正四面体 $P\text{-}ABC$，棱长 $a=2$

问题：这 $8$ 个量怎样一次全拿到？

$h$（高）、$V$、$R$（外接球）、$r$（内切球）、$\rho$（棱切球）、对棱距离、$\alpha$（棱与面所成角）、$\beta$（相邻面二面角）。

$$ f(\lambda)=|QA|-|QP|=\sqrt{CH^2+(1-\lambda)^2h^2}-\lambda h $$

$f(\lambda)$ 的零点为 $\lambda=\tfrac34$：球心在高的四等分点（靠近底面）。四个面距离之和恒为 $h$（等体积），所以 $Q=O$ 时 $4r=h$。

$Q=P$ 时

$Q=O$（$\lambda=\tfrac34$）时

$Q=H$ 时

截面 $PMC$

隔离截面 $PMC$：空间图定位，平面图度量

1. $AB\perp PM,\ AB\perp CM\Rightarrow AB\perp$ 平面 $PMC$；高 $PH$、对棱 $PC$、球心 $O$ 全在这个截面里。

   定位

2. $PM=CM=\tfrac{\sqrt3}{2}a$，$H$ 是重心：$MH=\tfrac13CM=\tfrac{\sqrt3}{6}a$，$CH=\tfrac{\sqrt3}{3}a$。

   底面正三角形

3. $h=PH=\sqrt{PC^2-CH^2}=\sqrt{a^2-\tfrac13a^2}=\tfrac{\sqrt6}{3}a$，

$$ V=\tfrac13\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot h=\tfrac{\sqrt2}{12}a^3 $$

直角三角形 $PHC$

4. $O$ 在 $PH$ 上，$OP=OC=R$：$(h-R)^2+CH^2=R^2$，因此

$$ R=\frac{h^2+CH^2}{2h}=\tfrac{\sqrt6}{4}a $$

直角三角形 $OHC$

5. $r=OH=h-R=\tfrac{\sqrt6}{12}a$，所以 $h:R:r=4:3:1$。 四等分点
6. 验算：$V=\tfrac13\cdot4S\cdot r$，所以 $r=\tfrac{3V}{4S}=\tfrac h4$。

   等体积

7. $\rho=OM=\sqrt{OH^2+MH^2}=\sqrt{\tfrac{a^2}{24}+\tfrac{a^2}{12}}=\tfrac{\sqrt2}{4}a$。

   $O$ 到棱 $AB$ 的距离

8. $AB\perp$ 面 $PMC\Rightarrow AB\perp MN$；$PM=CM\Rightarrow MN\perp PC$。对棱距离

$$ MN=\sqrt{PM^2-PN^2}=\sqrt{\tfrac34a^2-\tfrac14a^2}=\tfrac{\sqrt2}{2}a $$

公垂线

9. 二面角 $\beta=\angle PMC$：$\cos\beta=\dfrac{MH}{PM}=\dfrac13$。 $PM\perp AB$，$CM\perp AB$
10. 线面角 $\alpha=\angle PCH$：$\sin\alpha=\dfrac ha=\dfrac{\sqrt6}{3}$，$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$。

    $CH$ 是 $PC$ 的射影

向量法：对棱 $AB,PC$ 与二面角

以棱长为 $2$ 的 $M$ 系坐标计算：

$$ A=(-1,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad C=(0,\sqrt3,0),\quad P=(0,\tfrac{\sqrt3}{3},\tfrac{2\sqrt6}{3}) $$

1. $\ov{AB}=(2,0,0)$，$\ov{PC}=(0,\tfrac{2\sqrt3}{3},-\tfrac{2\sqrt6}{3})$，两向量点积为 $0$，故两对棱垂直。
2. $\ov{AB}\times\ov{PC}=(0,\tfrac{4\sqrt6}{3},\tfrac{4\sqrt3}{3})\parallel(0,\sqrt2,1)$，这是公垂线方向；取两棱中点 $M,N$，$MN=\tfrac{\sqrt2}{2}a$。
3. 面 $PAB$ 的法向量可取 $(0,-2\sqrt2,1)$，底面 $ABC$ 的法向量可取 $(0,0,1)$，故两法向量夹角满足

$$ \cos\beta=\frac{|(0,-2\sqrt2,1)\cdot(0,0,1)|}{3\cdot1}=\frac13 $$

两套坐标系

$M$ 系：$AB$ 中点为原点，$z$ 轴平行于高

正方体系：正四面体 = 正方体切掉四个角

正方体棱长 $s=\tfrac{\sqrt2}{2}a$（正四面体的棱是面对角线）。$V=s^3-4\cdot\tfrac16s^3=\tfrac13s^3$；$R$ 是体对角线一半；对棱距离 $=s$；$\rho=\tfrac s2$。对棱垂直，对棱中点连线即公垂线。

结论与例题

参数总表

课堂小测

问题

棱长 $a=2$ 的正四面体 $P\text{-}ABC$：三个球同心

三个问题，一个思路

• 外接球：球心到 4 个顶点 距离相等，$R=|OA|$。
• 内切球：球心到 4 个面 距离相等，$r=d(O,\text{面})$。
• 棱切球：球心到 6 条棱 距离相等，$\rho=d(O,\text{棱})$。

外心垂线法

球心在过底面外心 $H$ 的垂线上：$O=(1-\lambda)H+\lambda P$

找 $|OA|=|OP|$ 的位置

1. $|OA|=|OB|=|OC|$ 对任意 $\lambda$ 都成立。

   $O$ 在过外心的垂线上

2. 只剩一个方程 $|OA|=|OP|$：设 $OH=d$，底面外接圆半径为 $r_0$，高为 $h$。

   一个未知数

3. $R^2=d^2+r_0^2$，且当 $O$ 在线段 $PH$ 上时 $R=h-d$。

   勾股方程

4. $(h-d)^2=d^2+r_0^2\Rightarrow d=\dfrac{h^2-r_0^2}{2h}$。

   解出 $d$

5. 正四面体 $a=2$：$h=\tfrac{2\sqrt6}{3}$，$r_0=\tfrac{2\sqrt3}{3}$，$d=\tfrac{\sqrt6}{6}=\tfrac h4$，$R=\tfrac{\sqrt6}{2}$。

   $\lambda=\tfrac14$

**空间图定位，平面图度量。**在截面 $\triangle PHA$ 里：$OA^2=OH^2+HA^2$，即 $d^2+r_0^2=R^2$。球心也可能在 $H$ 的另一侧（钝角型）；此时距离关系须用带符号的有向距离表示，原稿另写的 $R=d-h$ 与 $d$ 取负的符号约定容易混淆，见校对报告。

向量法：三个中垂面联立

设 $O=(x,y,z)$，利用 $|OA|=|OB|$、$|OA|=|OC|$、$|OA|=|OP|$，两两平方相减，二次项抵消，得到三个一次方程（三个中垂面），再用 Cramer 法则解出 $O$。垂线法其实是先用了前两个方程：它们的交线就是过外心的垂线。

补形法

补成长方体：外接球相同，球心是体对角线中点

四个顶点都是长方体的顶点

1. 长方体 $8$ 个顶点到体对角线中点等距，$R=\dfrac12\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

   体对角线 = 直径

2. 模型的顶点取自长方体顶点，因此它们共用同一个外接球。

   $4$ 点确定一个球

3. 正四面体棱长 $a$ 对应正方体棱长 $\tfrac{a}{\sqrt2}$：$R=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{4}a$。

   面对角线 = 棱

4. 等腰四面体（对棱相等 $p,q,s$）补成长方体：$a^2+b^2=p^2$ 等三式，$R^2=\dfrac{p^2+q^2+s^2}{8}$。

   对棱 = 面对角线

墙角四面体

鳖臑

阳马

内切球

内切球：球心到各面等距

体积分割：$r=\dfrac{3V}{S}$

1. 连接球心 $I$ 与 $4$ 个顶点，四面体分成 $4$ 个以 $I$ 为顶点的小棱锥。

   分割

2. 每个小棱锥的高都是 $r$：$V=\tfrac13r(S_1+S_2+S_3+S_4)=\tfrac13rS$。

   等距 = 等高

3. 因而

$$ r=\frac{3V}{S} $$

$S$ 为表面积

4. 平面类比：三角形内切圆 $r=\dfrac{2S_{\triangle}}{C}$（$C$ 为周长）。 降一维
5. 正四面体：$r=\dfrac h4$，$R=\dfrac{3h}{4}$，$R:r=3:1$。

   球心是重心

墙角四面体内切球

鳖臑内切球

棱切球

棱切球提高：球心到各棱等距，切点在棱上

对称模型里，切点是棱的中点

1. 正四面体：$\rho=|OM|$，$M$ 为 $AB$ 中点；放进正方体，$OM$ 是正方体中心到面中心，$\rho=\tfrac12\cdot\tfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}a$。

   补形

2. 正方体棱长 $a$：$\rho=$ 中心到棱中点 $=\dfrac{\sqrt2}{2}a$（半条面对角线）。

   截面度量

3. 正四面体 $R:\rho:r=\dfrac{\sqrt6}{4}:\dfrac{\sqrt2}{4}:\dfrac{\sqrt6}{12}=3:\sqrt3:1$。

   三球同心

4. 正方体 $R:\rho:r=\sqrt3:\sqrt2:1$，三个半径正是体对角线、面对角线、棱的一半。

   对比记忆

正方体的棱切球

例题

结论

课堂小测

问题

公式表：全部来自“底 × 高”

$$ V_{柱}=Sh,\quad V_{锥}=\tfrac13Sh,\quad V_{台}=\tfrac13h\left(S+\sqrt{SS'}+S'\right) $$

$$ V_{球}=\tfrac43\pi R^3,\quad S_{球}=4\pi R^2 $$

本课三个问题

1. 圆锥里放一个最大的球，半径多少？（立体 → 平面）
2. 球的体积 $\tfrac43\pi R^3$ 从哪来？（祖暅原理）
3. 动点 $P$ 在棱上跑，四面体体积为什么不变？（等积，参数 $\lambda$）

轴截面

空间图定位：球心在轴上，切点在轴截面里

平面图度量：等腰三角形的内切圆与外接圆

推理（$R=3,\ h=4,\ l=5$）

1. 过轴切开：$\triangle SAB$，$SA=SB=l=\sqrt{R^2+h^2}=5$，$AB=6$。

   轴截面

2. 内切圆：面积 = $\tfrac12$ 周长乘 $r$：$\tfrac12\cdot6\cdot4=\tfrac12(5+5+6)r$，所以 $r=\dfrac{Rh}{R+l}=\dfrac32$。

   等面积

3. 外接圆：球心 $O$ 在轴上，$OS=OA=R_{外}$：$(4-R_{外})^2+3^2=R_{外}^2$，所以 $R_{外}=\dfrac{l^2}{2h}=\dfrac{25}{8}$。

   勾股

4. $h<R$ 时 $R_{外}=\tfrac{l^2}{2h}>h$：外心落在底面下方，方程不变。

   位置讨论

提高祖暅原理

半球 vs 圆柱挖去倒圆锥（同底同高 $R$）

等高处截面积相等

1. 半球在高 $t$ 处截面是圆，半径 $\sqrt{R^2-t^2}$，面积 $\pi(R^2-t^2)$。

   勾股

2. 倒圆锥在高 $t$ 处半径为 $t$；圆环面积 $\pi R^2-\pi t^2$。

   相似

3. 处处相等，因此 $V_{半球}=\pi R^3-\tfrac13\pi R^3=\tfrac23\pi R^3$。

   祖暅原理

4. $V_{球}=\tfrac43\pi R^3$；由球可视为无数小锥组成，$V=\tfrac13SR$，所以 $S=4\pi R^2$。

   球 = 无数小锥

等积变换

正方体（棱长 $2$），$P=(1-\lambda)B_1+\lambda C$

$V_{P-A_1BD}=f(\lambda)$：一条水平线

母模型

正四面体（棱长 $a=2$）：内切球、外接球

等体积法：$V=\tfrac13S_{表}\,r$

1. 高 $h=\sqrt{a^2-(\tfrac{\sqrt3}{3}a)^2}=\tfrac{\sqrt6}{3}a$，

$$ V=\tfrac13\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot h=\tfrac{\sqrt2}{12}a^3 $$

锥体积

2. 体心 $O$ 连四顶点，切成 $4$ 个小锥，高都是 $r$：$V=\tfrac13\cdot4S_{面}\cdot r$。 分割
3. $r=\dfrac{3V}{S_{表}}=\dfrac{\sqrt6}{12}a$，$R=h-r=\dfrac{\sqrt6}{4}a=3r$。

   $O$ 在高上

4. 嵌入正方体（棱长 $\tfrac{\sqrt2}{2}a$）：外接球 = 正方体外接球，$R=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}a$；$V=V_{方}-4\cdot\tfrac16V_{方}=\tfrac13V_{方}$。

   补形

结论

课堂小测

问题

回顾：平面向量基本定理

$\vec e_1,\vec e_2$ 不共线，则平面内任一向量 $\vec p$ 都有唯一一对实数 $x,y$：

$$\vec p=x\vec e_1+y\vec e_2$$

两个“方向”就是一张坐标网格。

问题：空间里要几个向量？

1. 两个向量只能张成一个平面，平面外的向量表示不出来。
2. 再添一个不在这个平面里的向量 $\vec c$，够不够？
3. 表示法唯一吗？三个向量“共面”时会出什么问题？

观察

平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$：$\ov{AB}=\vec a,\ \ov{AD}=\vec b,\ \ov{AA_1}=\vec c$

沿三条棱方向“走折线”到达 $P$

$$\ov{AP}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$$

提高L2 反解用的是混合积：

$$ x=\dfrac{[\vec p,\vec b,\vec c]}{[\vec a,\vec b,\vec c]} $$

分母不为 $0$ 正是“不共面”。

推理

空间向量基本定理

1. 设 $\vec a,\vec b,\vec c$ 不共面，$\vec p=\ov{AP}$ 任意。

   已知

2. 过 $P$ 作直线平行于 $\vec c$，交 $\vec a,\vec b$ 所在平面于 $Q$。

   $\vec c$ 不在该平面内，直线与平面必相交

3. $\ov{AQ}$ 在平面内：$\ov{AQ}=x\vec a+y\vec b$。

   平面向量基本定理

4. $\ov{QP}\parallel\vec c$：$\ov{QP}=z\vec c$。

   共线定理

5. $\vec p=\ov{AQ}+\ov{QP}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$。

   存在性

6. 若还有 $\vec p=x'\vec a+y'\vec b+z'\vec c$，相减得

$$ (x-x')\vec a+(y-y')\vec b+(z-z')\vec c=\vec 0 $$

若 $z\ne z'$，$\vec c$ 就能用 $\vec a,\vec b$ 表示，与不共面矛盾；故 $z=z'$，进而由平面向量基本定理得 $x=x',y=y'$。

唯一性

基底与正交基底

不共面的 $\{\vec a,\vec b,\vec c\}$ 叫一个基底；任意三个不共面向量都可以。

两两垂直的单位向量 $\{\vec i,\vec j,\vec k\}$ 叫单位正交基底，系数就是坐标 $(x,y,z)$，对应空间直角坐标系。

提高L2 判定不共面：

$$ [\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\ne0 $$

混合积的几何意义是平行六面体的有向体积。

共面定理

正方体中平面 $A_1BD$ 上的动点 $P$：$\ov{A_1P}=s\ov{A_1B}+t\ov{A_1D}$

共面定理

1. $\ov{AB},\ov{AC}$ 不共线，则 $P\in$ 平面 $ABC\iff\ov{AP}=s\ov{AB}+t\ov{AC}$。

   平面向量基本定理

2. 换成任意起点 $O$：$\ov{OP}=(1-s-t)\ov{OA}+s\ov{OB}+t\ov{OC}$。

   $\ov{AP}=\ov{OP}-\ov{OA}$

3. 即 $\ov{OP}=x\ov{OA}+y\ov{OB}+z\ov{OC}$ 且 $x+y+z=1\iff P,A,B,C$ 共面。

   系数和为 $1$

4. 向量法验算：$[\ov{A_1P},\ov{A_1B},\ov{A_1D}]=0$。

   混合积为 $0$ 等价于共面

迁移

母模型里的基底

• 正方体：$\ov{AC_1}=\ov{AB}+\ov{AD}+\ov{AA_1}$（体对角线 = 三棱之和）。
• 正四面体 $P\text{-}ABC$：取 $\{\ov{PA},\ov{PB},\ov{PC}\}$，长度都为 $a$，两两夹角 $60^\circ$，点积都是 $\tfrac{a^2}2$。
• 正四面体重心 $G$：$\ov{PG}=\tfrac13(\ov{PA}+\ov{PB}+\ov{PC})$，系数和为 $1$，所以 $G$ 在底面 $ABC$ 上。

结论

课堂小测

问题

点的坐标是“天生”的吗？

正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 棱长为 $2$。以 $D$ 为原点时 $C_1=(0,2,2)$；以中心 $O$ 为原点时 $C_1=(-1,1,1)$。

建系三条硬条件

1. 三条轴两两垂直，且有共同原点。

   先证垂直再建系

2. 右手系：$\vec e_z=\vec e_x\times\vec e_y$。

   否则叉积方向反号

3. 单位长度一致（通常取棱长或其一半）。

   避免分数

4. 好坐标系 = 零多、负少、根式少；本课用评分 $=2\times$ 零 $-$ 负 $-2\times$ 根式量化。

   评分规则

三类建系

① 墙角：现成的三条两两垂直棱

正方体、长方体、墙角四面体：以 $D$ 为原点，$DA,DC,DD_1$ 为 $x,y,z$ 轴，坐标全是 $0$ 和棱长。

② 对称轴：原点放在对称中心

正四面体 $P\text{-}ABC$：$PH\perp$ 底面（$H$ 为底面中心），以 $H$ 为原点、$HP$ 为 $z$ 轴。坐标对称，但底面三点都带根式。

③ 找垂直：先证两条线垂直，再立轴

正四面体：取 $AB$ 中点 $M$，$MC\perp AB$（等边三角形中线），过 $M$ 作底面垂线为 $z$ 轴。

正四面体（棱长 $2$）用 ③ 建系

1. $M$ 为原点，$\ov{MB}$ 为 $x$ 轴，$\ov{MC}$ 为 $y$ 轴：$A(-1,0,0),\ B(1,0,0),\ C(0,\sqrt3,0)$。

   $MC=\sqrt3$

2. $P$ 在底面的射影是中心 $H$，$MH=\tfrac13MC=\tfrac{\sqrt3}{3}$。

   重心分中线 $2:1$

3. $PH=\sqrt{PA^2-AH^2}=\sqrt{4-\tfrac43}=\tfrac{2\sqrt6}{3}$。

   $AH=\tfrac23\cdot\sqrt3$

4. $P\left(0,\tfrac{\sqrt3}{3},\tfrac{2\sqrt6}{3}\right)$；验算 $|PB|^2=1+\tfrac13+\tfrac83=4$。

   验算

5. 对比 ②：$H$ 为原点时 $A,B,C$ 三点都有根式，$M$ 原点只有 $C,P$ 有，评分 ③ 更高。

   评分比较

6. ④ 嵌入正方体：正四面体 = 正方体 $ACB_1D_1$，坐标全是 $0$ 与棱长，代价是正方体棱长为 $\tfrac{a}{\sqrt2}$。

   高观点

正方体实验

正方体：自选原点和坐标轴

默认坐标与评分

零 $12$ 个、负 $0$ 个、根式 $0$ 个，评分 $2\times12-0-2\times0=24$。

原点选择的评分比较

改变轴正方向会改变坐标符号和负数个数，但不改变几何量；原稿中多组轴方向变体评分介于 $16$ 与 $20$。

正四面体实验

正四面体：比较 ② 与 ③

标准坐标：原点 $M$，$x\parallel AB$，$y\parallel MC$

零 $7$ 个、负 $1$ 个、根式 $3$ 个，评分 $2\times7-1-2\times3=7$。

坐标系评分比较

其余只改变坐标轴正负方向的组合，评分也按同一规则计算；它们不产生新的几何结论。

结论

课堂小测

问题

设法一：设 $P(x,y,z)$，三个未知数

• $AP\perp BD_1$ 只给出 1 个方程。
• 还要“$P$ 在 $BD_1$ 上”：$\ov{BP}=k\ov{BD_1}$，即 $(x-2,\,y-2,\,z)=k(-2,-2,2)$。
• 绕一圈，最后还是要引入一个比例 $k$，再把 $x,y,z$ 全用 $k$ 表示。

设法二：设 $\ov{BP}=\lambda\ov{BD_1}$，一个未知数

$$P=(2-2\lambda,\;2-2\lambda,\;2\lambda)$$

“在 $BD_1$ 上”这一条件已经写进坐标里，剩下的 $AP\perp BD_1$ 一个方程正好解一个 $\lambda$。

观察

正方体中的 $\lambda$ 动点 $P$：$\ov{XP}=\lambda\ov{XY}$

坐标与距离随 $\lambda$ 变化

$$\ov{BP}=\lambda\ov{BD_1},\quad P=(2-2\lambda,\,2-2\lambda,\,2\lambda)$$

棱、面对角线、体对角线上的点，坐标中分别有 $1,2,3$ 个分量含 $\lambda$。

棱 $CC_1$

$$\ov{CP}=\lambda\ov{CC_1},\quad P=(0,\,2,\,2\lambda)$$

底面对角线 $AC$

$$\ov{AP}=\lambda\ov{AC},\quad P=(2-2\lambda,\,2\lambda,\,0)$$

侧面对角线 $BC_1$

$$\ov{BP}=\lambda\ov{BC_1},\quad P=(2-2\lambda,\,2,\,2\lambda)$$

推理

空间定比分点公式

1. 设 $\ov{AP}=\lambda\ov{AB}$，$\lambda\in[0,1]$ 时 $P$ 在线段 $AB$ 上。

   设 $\lambda$

2. $\ov{OP}-\ov{OA}=\lambda(\ov{OB}-\ov{OA})$，即

$$ \ov{OP}=(1-\lambda)\ov{OA}+\lambda\ov{OB} $$

与平面完全相同

3. 若 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则

$$ P=\big((1-\lambda)x_1+\lambda x_2,\ (1-\lambda)y_1+\lambda y_2,\ (1-\lambda)z_1+\lambda z_2\big) $$

逐分量

4. 速写：$P=A+\lambda\ov{AB}$。如 $B(2,2,0)$，$\ov{BD_1}=(-2,-2,2)$，得 $P=(2-2\lambda,\,2-2\lambda,\,2\lambda)$。 起点 + $\lambda\cdot$方向
5. 验算：$\lambda=0$ 得 $B$，$\lambda=1$ 得 $D_1$，$\lambda=\tfrac12$ 得中心 $O(1,1,1)$。

   代端点、中点

6. $|\ov{AP}|=|\lambda|\,|\ov{AB}|$；若 $\ov{OP}=x\ov{OA}+y\ov{OB}$，则 $P,A,B$ 共线 $\iff x+y=1$。

   $\lambda$ 的几何意义

正方体（棱长 $2$）中三类线段

提高L2 起点选谁都行，但 $\lambda$ 的含义随之改变：$\ov{D_1P}=\mu\ov{D_1B}$ 时 $\mu=1-\lambda$。答题时写清“$\ov{BP}=\lambda\ov{BD_1}$”。

设 $\lambda$ 不设 $x,y,z$

例：$P\in BD_1$，$AP\perp BD_1$，求 $P$

平面内 $(s,t)$

平面 $A_1BD$ 内的动点：$\ov{A_1P}=s\ov{A_1B}+t\ov{A_1D}$

两个参数 $(s,t)$ 代替三个坐标

$$P=(2-2t,\;2s,\;2-2s-2t)$$

提高L2 求 $C_1(0,2,2)$ 在平面 $A_1BD$ 内的射影：

1. $\ov{C_1P}=(2-2t,\,2s-2,\,-2s-2t)$。

   两个未知数

2. $\ov{C_1P}\cdot\ov{A_1B}=8s+4t-4=0$，$\ov{C_1P}\cdot\ov{A_1D}=4s+8t-4=0$。

   垂直于面内两条相交直线

3. $s=t=\tfrac13$，$P=G(\tfrac43,\tfrac23,\tfrac23)$ 是 $\triangle A_1BD$ 的重心，$C_1G=\tfrac{4\sqrt3}{3}$。

   回代

4. 验算：$G$ 在 $AC_1$ 上，$\ov{AG}=\tfrac13\ov{AC_1}$；$\ov{AC_1}=(-2,2,2)\parallel(1,-1,-1)=\mathbf n$。

   体对角线垂直于平面 $A_1BD$

结论

提高迁移：正四面体

正四面体 $P\text{-}ABC$（棱长 $2$），$\ov{PQ}=\lambda\ov{PC}$

不建系也能用 $\lambda$

1. $\triangle PAC$ 中 $PA=2$，$PQ=2\lambda$，$\angle APC=60^\circ$。

   平面图度量

2. $AQ^2=4+4\lambda^2-2\cdot2\cdot2\lambda\cos60^\circ=4\lambda^2-4\lambda+4$，同理 $BQ=AQ$。

   余弦定理

3. 向量验算：$\ov{AQ}=(1-\lambda)\ov{AP}+\lambda\ov{AC}$，

$$ |\ov{AQ}|^2=4(1-\lambda)^2+4\lambda^2+2\lambda(1-\lambda)\cdot2 $$

结果相同。

定比分点

4. $\cos\angle AQB=\dfrac{2AQ^2-4}{2AQ^2}=1-\dfrac2{AQ^2}$，$AQ$ 越短角越大。 余弦定理
5. $\lambda=\tfrac12$ 时 $AQ^2=3$ 最小，$\cos\angle AQB=\tfrac13$；此时 $AQ\perp PC$，$BQ\perp PC$，$\angle AQB$ 就是二面角 $A\text{-}PC\text{-}B$。

   最值 = 二面角

课堂小测

问题

求平面的法向量：老办法

平面内两个方向向量 $\mathbf u=(1,2,-1)$，$\mathbf v=(3,0,2)$，求法向量 $\mathbf n=(x,y,z)$。

1. $\begin{cases}\mathbf n\cdot\mathbf u=x+2y-z=0\\\mathbf n\cdot\mathbf v=3x+2z=0\end{cases}$。

   两个方程三个未知数

2. 令 $x=1$：$z=-\tfrac32$，$y=\tfrac{z-x}{2}=-\tfrac54$。

   赋值、解方程

3. $\mathbf n=(1,-\tfrac54,-\tfrac32)\xrightarrow{\times4}(4,-5,-6)$。

   去分母

麻烦在哪里

• 令哪个分量为 $1$？令错了（比如该分量本应为 $0$）就解不出来。
• 中间出分数，最后还要通分化简。
• 坐标含根式（正四面体）或含 $\lambda$（动点）时，消元更容易错。

观察

$\mathbf u,\mathbf v$ 与 $\mathbf u\times\mathbf v$

示例计算

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}0.5&0\\2&0.5\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}2&0\\0.5&0.5\end{vmatrix},\begin{vmatrix}2&0.5\\0.5&2\end{vmatrix}\right)=(0.25,-1,3.75) $$

预设：$\mathbf i\times\mathbf j$

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}0&0\\1.5&0\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}1.5&0\\0&0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}1.5&0\\0&1.5\end{vmatrix}\right)=(0,0,2.25) $$

预设：$\mathbf j\times\mathbf k$

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}1.5&0\\0&1.5\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}0&0\\0&1.5\end{vmatrix},\begin{vmatrix}0&1.5\\0&0\end{vmatrix}\right)=(2.25,0,0) $$

预设：$\mathbf k\times\mathbf i$

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}0&1.5\\0&0\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}0&1.5\\1.5&0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}0&0\\1.5&0\end{vmatrix}\right)=(0,2.25,0) $$

预设：$(1,2,-1)\times(1.5,0,1)$

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}2&-1\\0&1\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}1&-1\\1.5&1\end{vmatrix},\begin{vmatrix}1&2\\1.5&0\end{vmatrix}\right)=(2,-2.5,-3) $$

预设：$\mathbf u\parallel\mathbf v$

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}0.5&1\\1&2\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}1&1\\2&2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}1&0.5\\2&1\end{vmatrix}\right)=(0,0,0) $$

推理

盖列法：上下两行写 $\mathbf u,\mathbf v$，盖一列算一个二阶行列式

$$ \mathbf u\times\mathbf v=\left(\begin{vmatrix}u_2&u_3\\v_2&v_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}u_1&u_3\\v_1&v_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}u_1&u_2\\v_1&v_2\end{vmatrix}\right) $$

为什么这样算一定垂直？

1. 设 $\mathbf n=(x,y,z)$：$u_1x+u_2y+u_3z=0$，$v_1x+v_2y+v_3z=0$。

   垂直等价于点积为 $0$

2. ①乘 $v_3$ 减 ②乘 $u_3$ 消去 $z$：$(u_1v_3-u_3v_1)x=(u_3v_2-u_2v_3)y$。

   消元

3. 取 $x=u_2v_3-u_3v_2$，$y=u_3v_1-u_1v_3$。

   交叉取系数，不出分数

4. 代回 ① 得 $z=u_1v_2-u_2v_1$。

   恰好也是一个二阶行列式

5. 三个分量依次是盖掉第 $1,2,3$ 列的行列式，第 $2$ 个变号。

   盖列法

6. 验算：$\mathbf n\cdot\mathbf u=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0$（两行相同）。

   按第一行展开即点积

解方程组法（对照）

1. $x+2y-z=0$，$3x+2z=0$。

   列方程

2. 令 $x=1$ 得 $z=-\tfrac32$。

   赋值

3. $y=\tfrac{z-x}{2}=-\tfrac54$。

   回代

4. $\mathbf n=(1,-\tfrac54,-\tfrac32)\parallel(4,-5,-6)$。

   去分母

几何意义

大小与方向

• 方向：$\mathbf u\times\mathbf v\perp\mathbf u$，$\mathbf u\times\mathbf v\perp\mathbf v$，所以垂直于 $\mathbf u,\mathbf v$ 所在平面。
• 大小：$|\mathbf u\times\mathbf v|=|\mathbf u||\mathbf v|\sin\theta$，等于以 $\mathbf u,\mathbf v$ 为邻边的平行四边形面积。
• 右手定则：右手四指从 $\mathbf u$ 经小于 $180^\circ$ 的角弯向 $\mathbf v$，拇指指向 $\mathbf u\times\mathbf v$。例如 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$，$\mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i$，$\mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j$。
• 反交换：$\mathbf v\times\mathbf u=-\mathbf u\times\mathbf v$（每个二阶行列式两行互换变号）。
• $\mathbf u\parallel\mathbf v\iff\mathbf u\times\mathbf v=\vec0$（面积为 $0$）。

面积公式从哪来提高

1. $|\mathbf u\times\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2$。

   展开比较（拉格朗日恒等式）

2. $=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2(1-\cos^2\theta)=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2\sin^2\theta$。

   点积定义

3. $S_{\triangle ABC}=\tfrac12|\ov{AB}\times\ov{AC}|$。

   三角形是平行四边形的一半

4. $V_{\text{平行六面体}}=|(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w|=|\det(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w)|$。

   底面积乘高

提高与二维对照：$\mathbf u=(x_1,y_1,0)$，$\mathbf v=(x_2,y_2,0)$ 时 $\mathbf u\times\mathbf v=(0,0,x_1y_2-x_2y_1)$，由此得到平面三角形面积公式 $S=\tfrac12|x_1y_2-x_2y_1|$。

结论

迁移·正方体

正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$（棱长 $2$）中某面的法向量

平面 $A_1BD$

1. $\ov{A_1B}=(0,2,-2)$，$\ov{A_1D}=(-2,0,-2)$。
2. $\mathbf n=\ov{A_1B}\times\ov{A_1D}=(-4,4,4)\parallel(1,-1,-1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{A_1B}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{A_1D}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(1,-1,-1)$，与 $\ov{AC_1}$ 平行：体对角线垂直于“不过其端点”的三条面对角线围成的正三角形截面。

平面 $ACD_1$

1. $\ov{AC}=(-2,2,0)$，$\ov{AD_1}=(-2,0,2)$。
2. $\mathbf n=\ov{AC}\times\ov{AD_1}=(4,4,4)\parallel(1,1,1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{AC}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{AD_1}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(1,1,1)$，与 $\ov{DB_1}$ 平行：体对角线垂直于“不过其端点”的三条面对角线围成的正三角形截面。

平面 $AB_1C$

1. $\ov{AB_1}=(0,2,2)$，$\ov{AC}=(-2,2,0)$。
2. $\mathbf n=\ov{AB_1}\times\ov{AC}=(-4,-4,4)\parallel(1,1,-1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{AB_1}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{AC}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(1,1,-1)$，与 $\ov{BD_1}$ 平行：体对角线垂直于“不过其端点”的三条面对角线围成的正三角形截面。

平面 $ABC_1$

1. $\ov{AB}=(0,2,0)$，$\ov{AC_1}=(-2,2,2)$。
2. $\mathbf n=\ov{AB}\times\ov{AC_1}=(4,0,4)\parallel(1,0,1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{AB}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{AC_1}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(1,0,1)$，与 $\ov{A_1D}$ 平行：对角面 $ABC_1D_1$ 的法向量是面对角线 $A_1D$ 方向。

迁移·正四面体

正四面体 $P\text{-}ABC$（棱长 $2$）的面法向量

平面 $PAB$

1. $\ov{PA}=(-1,-\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt6}{3})$，$\ov{PB}=(1,-\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt6}{3})$。
2. $\mathbf n=\ov{PA}\times\ov{PB}=(0,-\dfrac{4\sqrt6}{3},\dfrac{2\sqrt3}{3})\parallel(0,2\sqrt2,-1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{PA}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{PB}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(0,2\sqrt2,-1)$，平行于顶点 $C$ 到面 $PAB$ 中心的连线（正四面体的高）。

平面 $PBC$

1. $\ov{PB}=(1,-\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt6}{3})$，$\ov{PC}=(0,\dfrac{2\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt6}{3})$。
2. $\mathbf n=\ov{PB}\times\ov{PC}=(2\sqrt2,\dfrac{2\sqrt6}{3},\dfrac{2\sqrt3}{3})\parallel(\sqrt6,\sqrt2,1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{PB}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{PC}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(\sqrt6,\sqrt2,1)$，平行于顶点 $A$ 到面 $PBC$ 中心的连线（正四面体的高）。

平面 $PAC$

1. $\ov{PA}=(-1,-\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt6}{3})$，$\ov{PC}=(0,\dfrac{2\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt6}{3})$。
2. $\mathbf n=\ov{PA}\times\ov{PC}=(2\sqrt2,-\dfrac{2\sqrt6}{3},-\dfrac{2\sqrt3}{3})\parallel(\sqrt6,-\sqrt2,-1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{PA}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{PC}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(\sqrt6,-\sqrt2,-1)$，平行于顶点 $B$ 到面 $PAC$ 中心的连线（正四面体的高）。

平面 $ABC$

1. $\ov{AB}=(2,0,0)$，$\ov{AC}=(1,\sqrt3,0)$。
2. $\mathbf n=\ov{AB}\times\ov{AC}=(0,0,2\sqrt3)\parallel(0,0,1)$。
3. 验算：$\mathbf n\cdot\ov{AB}=0$，$\mathbf n\cdot\ov{AC}=0$。
4. 化简 $\mathbf n=(0,0,1)$，平行于顶点 $P$ 到面 $ABC$ 中心的连线（正四面体的高）。

课堂小测

问题

四种距离，都要找垂线段

• 点 $P$ 到平面 $\alpha$：过 $P$ 作 $PH\perp\alpha$。
• 直线 $l\parallel\alpha$ 到 $\alpha$：取 $l$ 上任一点，求它到 $\alpha$ 的距离。
• 平面 $\beta\parallel\alpha$ 到 $\alpha$：取 $\beta$ 上任一点，求它到 $\alpha$ 的距离。
• 异面直线 $l_1,l_2$：求公垂线段长。

核心想法：投影

$$ d=|\overrightarrow{AP}|\,|\cos\angle(\mathbf n,\overrightarrow{AP})|=\dfrac{|\mathbf n\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\mathbf n|} $$

其中 $A$ 在目标上（平面或另一条直线），$P$ 在出发处。$A、P$ 的选择可以变化，投影长不变；下面分别考察点面距、线面距、面面距和异面直线距离。

观察

点面距：$P\in CC_1$ 到面 $A_1BD$

令 $P=(0,2,2\lambda)$，则

$$ f(\lambda)=\dfrac{2+2\lambda}{\sqrt3},\qquad 0\leq\lambda\leq1. $$

线面距：$B_1D_1$ 到面 $A_1BD$

$B_1D_1\parallel BD$，且 $BD$ 位于平面 $A_1BD$ 内，因此 $B_1D_1\parallel$ 平面 $A_1BD$。线上任一点 $P$ 到平面的距离相同，为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$。

面面距：面 $CB_1D_1$ 到面 $A_1BD$

面 $CB_1D_1\parallel$ 面 $A_1BD$。取 $P$ 在线段 $B_1C$ 上，点到目标平面的距离恒为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$。

异面直线：$AC$ 与 $BD_1$

取 $\mathbf n=\mathbf u\times\mathbf v=(1,1,2)$，其中 $\mathbf u、\mathbf v$ 分别为两直线方向向量；取 $A$ 为直线 $BD_1$ 上的点 $B$，$P\in AC$，投影长恒为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$。

推理

推导：投影长

1. 设 $H$ 是 $P$ 在平面 $\alpha$ 上的垂足，则 $\overrightarrow{HP}\parallel\mathbf n$。

   垂线方向平行于法向量。

2. $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HP}$，且 $\overrightarrow{AH}\perp\mathbf n$。

   $AH$ 在平面内。

3. $\mathbf n\cdot\overrightarrow{AP}=\mathbf n\cdot\overrightarrow{HP}=\pm|\mathbf n|\,|\overrightarrow{HP}|$。

   共线向量的数量积。

4. 因而 $$ d=|\overrightarrow{HP}|=\dfrac{|\mathbf n\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\mathbf n|}. $$

   结果与 $A$ 的选择无关。

5. 对异面直线，取 $\mathbf n=\mathbf u\times\mathbf v$，它同时垂直两条直线，方向即公垂线方向；取 $A\in l_2$、$P\in l_1$。

   叉积给出公垂方向。

正方体实算（$D$ 为原点，棱长 $2$）

1. $\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DA_1}=(2,0,2)$。

   平面 $A_1BD$ 内两条相交方向向量。

2. $\overrightarrow{DB}\times\overrightarrow{DA_1}=(4,-4,-4)$，可取 $\mathbf n=(1,-1,-1)$。

   叉积求法向量。

3. 验算：$\mathbf n\cdot\overrightarrow{DB}=2-2=0$，$\mathbf n\cdot\overrightarrow{DA_1}=2-2=0$。

   法向量须与平面内两方向向量垂直。

4. $P=(0,2,2\lambda)\in CC_1$，$\overrightarrow{DP}=(0,2,2\lambda)$，$\mathbf n\cdot\overrightarrow{DP}=-2-2\lambda$。

   用参数定位动点。

5. $$ f(\lambda)=\dfrac{2+2\lambda}{\sqrt3},\qquad f(1)=\dfrac{4\sqrt3}{3}=d(C_1,\text{面 }A_1BD). $$

   令 $\lambda=1$ 得到顶点 $C_1$ 到平面的距离。

6. 对异面直线 $AC、BD_1$，$\mathbf u=(-2,2,0)$，$\mathbf v=(-2,-2,2)$，$\mathbf u\times\mathbf v=(4,4,8)$，可取 $\mathbf n=(1,1,2)$。验算 $\mathbf n\cdot\mathbf u=\mathbf n\cdot\mathbf v=0$；取 $\overrightarrow{BA}=(0,-2,0)$，得 $$ d=\dfrac{|\mathbf n\cdot\overrightarrow{BA}|}{|\mathbf n|}=\dfrac{2}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{3}. $$

   叉积确定公垂方向，再代入统一公式。

提高2D 对照

点到直线距离

直线 $ax+by+c=0$ 的法向量为 $\mathbf n=(a,b)$。设 $A(x_1,y_1)$ 在直线上，$P(x_0,y_0)$，则

$$ d=\dfrac{|\mathbf n\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\mathbf n|}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$

因为 $\mathbf n\cdot\overrightarrow{AP}=a(x_0-x_1)+b(y_0-y_1)=ax_0+by_0+c$。空间中，平面 $ax+by+cz+d=0$ 到点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的距离同理为

$$ d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. $$

结论

迁移

正四面体：嵌进正方体

在棱长为 $2$ 的正方体中取 $A(2,0,0)$、$C(0,2,0)$、$B_1(2,2,2)$、$D_1(0,0,2)$，则 $ACB_1D_1$ 是棱长为 $2\sqrt2$ 的正四面体。

几何法对照

(1) 正四面体高为 $\dfrac{\sqrt6}{3}\cdot2\sqrt2=\dfrac{4\sqrt3}{3}$，也就是正方体体对角线 $2\sqrt3$ 的 $\dfrac23$。

(2) $AC$ 在底面、$B_1D_1$ 在顶面，两面平行且相距 $2$；公垂线是连接两面中心的竖直线，因此 $d_2=2$。

课堂小测

问题

三条棱向量能否直接给出体积？

四面体 $P\text{-}ABC$ 由三条棱向量 $\mathbf a=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf b=\overrightarrow{AC}$、$\mathbf c=\overrightarrow{AP}$ 决定。

• 传统做法：找底面、作高、求高，其中高往往最难找。
• 向量做法：$\mathbf a\times\mathbf b$ 的模长是平行四边形面积，方向是底面法向量；$\mathbf c$ 在法向量上的投影给出高。

$$ V=\dfrac13S_{\triangle}h=\dfrac16\left|(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c\right| $$

本节主线

1. 在正方体中令 $P$ 沿体对角线 $BD_1$ 运动，$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BD_1}$，考察 $V(\lambda)$。
2. 推导平行六面体体积 $=|(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c|$，四面体体积取其 $\tfrac16$。
3. 与等体积法对照：几何法找高，向量法不必找高。
4. $V=0$ 当且仅当四点共面，混合积可作共面判定。

观察

正方体棱长 $2$，$P\in BD_1$，四面体 $P\text{-}ACB_1$

体积函数为

$$ V(\lambda)=\dfrac43|1-3\lambda|. $$

推理

从平行六面体到四面体

1. 以 $\mathbf a、\mathbf b、\mathbf c$ 为棱作平行六面体，底面平行四边形面积为 $S=|\mathbf a\times\mathbf b|$。

   叉积的模等于平行四边形面积。

2. $\mathbf n=\mathbf a\times\mathbf b$ 垂直底面，高为 $h=\dfrac{|\mathbf n\cdot\mathbf c|}{|\mathbf n|}$。

   使用点到平面的投影公式。

3. $$ V_{\text{六面体}}=S\cdot h=|\mathbf a\times\mathbf b|\cdot\dfrac{|(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c|}{|\mathbf a\times\mathbf b|}=|(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c|. $$

   $|\mathbf n|$ 约去。

4. 三棱锥的底面是平行四边形的一半，体积公式还需乘 $\tfrac13$，故 $$ V=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot V_{\text{六面体}}=\dfrac16|(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c|. $$

   $\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac16$。

5. 坐标形式为 $$ (\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c= \begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}. $$

   这是三阶行列式。

6. 混合积轮换不变：$(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c=(\mathbf b\times\mathbf c)\cdot\mathbf a=(\mathbf c\times\mathbf a)\cdot\mathbf b$；交换两个向量会变号，因此体积公式取绝对值。

   行列式交换两行变号。

双解法

结论

母模型

正方体切出正四面体 $ACB_1D_1$

两种算法一致

几何法：正方体体积为 $8$，减去四个角上的墙角四面体，每个体积为 $\tfrac16\cdot2^3=\tfrac43$，得 $$V=8-4\cdot\dfrac43=\dfrac83.$$

向量法：$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$、$\overrightarrow{AB_1}=(0,2,2)$、$\overrightarrow{AD_1}=(-2,0,2)$，叉积 $(4,4,-4)$ 与 $\overrightarrow{AD_1}$ 点积为 $-16$，所以 $V=\tfrac{16}{6}=\tfrac83$。

压轴长方体 $a\times b\times c$ 中同样的等腰四面体，体积为 $abc-4\cdot\tfrac16abc=\tfrac13abc$。

课堂小测

平面经过动点 $P$，它就跟着 $\lambda$ 转动；法向量用叉积一步写出，是 $\lambda$ 的多项式向量。所求角、距离代入公式，就成了一元函数 $f(\lambda)$。

问题

母模型：正方体中过动点的平面

难点在哪

思路三步：

1. 动点只用一个未知数：$P=(1-\lambda)C+\lambda C_1$；
2. 叉积 $\ov{DB}\times\ov{DP}$ 直接得 $\vn(\lambda)$，不用解方程组；
3. 代入距离 / 角公式，得 $f(\lambda)$，再研究单调性、最值。

观察

平面 $PBD$ 与法向量 $\vn(\lambda)$

所求量 $=f(\lambda)$

$$\vn(\lambda)=(0.50,\,-0.50,\,1)$$

$$d(\lambda)=\dfrac{2(\lambda+1)}{\sqrt{2\lambda^2+1}}$$

端点情形：$\lambda=0$，平面为底面

$$\vn(\lambda)=(0.00,\,0.00,\,1)$$

端点情形：$\lambda=1$，平面为 $BDC_1$

$$\vn(\lambda)=(1.00,\,-1.00,\,1)$$

线面角：$AD_1$ 与平面 $PBD$

$$\sin\varphi=\dfrac{1-\lambda}{\sqrt2\sqrt{2\lambda^2+1}}$$

二面角：$P\text{-}BD\text{-}C$

$$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2\lambda^2+1}}$$

推理

叉积求 $\vn(\lambda)$：一步到位

1. $D(0,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$C_1(0,2,2)$，$P=(1-\lambda)C+\lambda C_1=(0,2,2\lambda)$

   λ 定位

2. $\ov{DB}=(2,2,0)$，$\ov{DP}=(0,2,2\lambda)$

   面内两向量

3. $$\ov{DB}\times\ov{DP}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\2&2&0\\0&2&2\lambda\end{vmatrix}=(4\lambda,\,-4\lambda,\,4)$$

   行列式展开

4. 约去常数 $4$：$\vn(\lambda)=(\lambda,\,-\lambda,\,1)$

   只约常数

5. 验算：$\vn\cdot\ov{DB}=2\lambda-2\lambda=0$，$\vn\cdot\ov{DP}=-2\lambda+2\lambda=0$ ✓

   点积验算

6. 特殊值验算：$\lambda=0$ 得 $(0,0,1)$，正是底面法向量；$\lambda=1$ 得 $(1,-1,1)\parallel\ov{A_1C}$，而 $A_1C\perp$ 面 $BDC_1$ ✓

   端点退化

7. $\ov{DA_1}=(2,0,2)$， $$d(\lambda)=\frac{|\vn\cdot\ov{DA_1}|}{|\vn|}=\frac{2(\lambda+1)}{\sqrt{2\lambda^2+1}}$$

   距离公式

8. $d^2=\dfrac{4(\lambda+1)^2}{2\lambda^2+1}$，$(d^2)'$ 的分子 $=8(\lambda+1)\big[(2\lambda^2+1)-2\lambda(\lambda+1)\big]=8(\lambda+1)(1-2\lambda)$，故 $\lambda=\tfrac12$ 时 $d_{\max}=\sqrt6$

   求导定最值

几何意义与易错

$\vn(\lambda)$ 的方向随 $\lambda$ 连续转动；它的每个分量是 $\lambda$ 的多项式，所以 $|\vn\cdot\vu|$、$|\vn|$ 都是 $\lambda$ 的简单式子。

提高同一个 $\vn(\lambda)$ 还能给：线面角 $\sin\varphi=\dfrac{|\vn\cdot\ov{AD_1}|}{|\vn||\ov{AD_1}|}=\dfrac{1-\lambda}{\sqrt2\sqrt{2\lambda^2+1}}$；二面角 $P\text{-}BD\text{-}C$：$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2\lambda^2+1}}$。

双轨

几何法：空间图定位，平面图度量

两条路，同一个 $f(\lambda)$

1. $BD\perp AC$，$BD\perp AA_1$ ⇒ $BD\perp$ 面 $ACC_1A_1$

   线面垂直

2. $BD\subset$ 面 $PBD$ ⇒ 面 $PBD\perp$ 面 $ACC_1A_1$，交线为 $OP$（$O$ 为 $AC$ 中点）

   面面垂直

3. $A_1$ 在面 $ACC_1A_1$ 内，作 $A_1H\perp OP$，则 $A_1H\perp$ 面 $PBD$：距离只需在矩形 $ACC_1A_1$ 里量

   定位垂足

4. 矩形中 $O(0,0)$，$A_1(-\sqrt2,2)$，$P(\sqrt2,2\lambda)$：$d=\dfrac{|\ov{OP}\times\ov{OA_1}|}{|\ov{OP}|}=\dfrac{2(\lambda+1)}{\sqrt{2\lambda^2+1}}$，与向量法一致

   平面度量

5. $d=A_1H\le A_1O=\sqrt6$，等号 ⇔ $OP\perp OA_1$ ⇔ $-2+4\lambda=0$ ⇔ $\lambda=\tfrac12$

   斜边 ≥ 直角边

结论

迁移

迁移：正四面体 $ACB_1D_1$（嵌进正方体）

$Q$ 在棱 $B_1D_1$ 上，$\ov{B_1Q}=\lambda\ov{B_1D_1}$

1. $A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$B_1(2,2,2)$，$D_1(0,0,2)$，$Q=(2-2\lambda,\,2-2\lambda,\,2)$

   λ 定位

2. $\ov{AC}\times\ov{AQ}=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\-2&2&0\\-2\lambda&2-2\lambda&2\end{vmatrix}=(4,4,8\lambda-4)$，$\vn(\lambda)=(1,1,2\lambda-1)$

   叉积

3. 面 $ACB_1$：$\vn_0=(1,1,-1)$（$\lambda=0$ 时 $\vn(0)$ 正好是它 ✓）

   特殊值验算

4. $$\cos\varphi(\lambda)=\frac{|\vn\cdot\vn_0|}{|\vn||\vn_0|}=\frac{3-2\lambda}{\sqrt3\sqrt{4\lambda^2-4\lambda+3}}$$

   面面角

5. $\lambda=1$：$\cos\varphi=\tfrac13$，正是正四面体相邻面二面角；$\lambda=\tfrac12$：$\cos\varphi=\tfrac{\sqrt6}{3}$，截面是对称面，平分二面角

   母模型结论

6. $\cos^2\varphi$ 求导，分子 $=-16\lambda(3-2\lambda)\le0$，故 $\varphi(\lambda)$ 在 $[0,1]$ 上递增

   单调性

课堂小测

空间里只有三种元素。两两组合，去掉重复，只剩 6 类：点点、点线、点面、线线、线面、面面。每一类先问“什么关系”，再问“角多大、距离多远”。母模型：正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$，棱长 2。

九宫格总览

问题：空间两个元素，有几种“关系”？

为什么是 6 类

3 种元素两两组合：$3\times3=9$ 格，对角线下方与上方重复，剩 $\dfrac{3\times 4}{2}=6$ 类。

异面只在“线线”里出现：两条直线既不平行也不相交。这是空间与平面的根本区别。

关系探查

观察：在正方体里任选两个元素

关系探查器

line-line：异面 角 $60^\circ$ 距离 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

向量法步骤：默认示例 $AB_1$ 与 $BC_1$

1. $\ov{AB_{1}}=\left(0,\,2,\,2\right),\ \ov{BC_{1}}=\left(-2,\,0,\,2\right)$
2. $\cos\theta=\dfrac{|\ov{AB_{1}}\cdot\ov{BC_{1}}|}{|\ov{AB_{1}}||\ov{BC_{1}}|}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
3. $\vn=\ov{AB_{1}}\times\ov{BC_{1}}=\left(4,\,-4,\,4\right)\parallel\left(1,\,-1,\,1\right)\ \ (\text{公垂线方向})$
4. $d=\dfrac{|\ov{AB}\cdot\vn|}{|\vn|}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
5. $\text{公垂线垂足：}\ov{AB_{1}}\text{ 上 }\lambda=\dfrac{2}{3},\ \ov{BC_{1}}\text{ 上 }\mu=\dfrac{1}{3}$

几何法与向量法判定

1. 线线：共面且无公共点则平行，有一个公共点则相交，不共面则异面。

   由位置关系定义判定。

2. 线面：直线平行于平面内一条直线，且直线在平面外，则直线与平面平行。

   线线平行判定线面平行。

3. 线面：直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面。

   两条直线必须相交。

4. 面面：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面，则两平面平行。

   将面面关系降为线面关系。

5. 面面：一个平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。

   由线面垂直判定面面垂直。

6. 向量判定：直线方向向量为 $\mathbf u$，平面法向量为 $\mathbf n$。$\mathbf u\cdot\mathbf n=0$ 表示直线平行或在平面内；$\mathbf u\parallel\mathbf n$ 表示直线垂直平面。两平面的法向量平行则两面平行或重合，法向量垂直则两面垂直。

   法向量把位置关系转化为方向关系。

7. 平面 $ABC$ 的法向量可取 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$，并验算它与两条平面内方向向量的点积均为 $0$。

   叉积垂直于两个因向量。

判定

判定：几何法看“定义”，向量法看“方向”

1. 线线：共面且无公共点 → 平行；有一个公共点 → 相交；不共面 → 异面

   定义

2. 线面：线 ∥ 面内一条线（线在面外）→ 线面平行

   线线平行 ⇒ 线面平行

3. 线面：线 ⊥ 面内两条相交直线 → 线面垂直

   两条，且相交

4. 面面：一个面内两条相交直线都 ∥ 另一面 → 面面平行

   降维到线面

5. 面面：一个面经过另一个面的垂线 → 面面垂直

   降维到线面

例题：$AC_1$ 与平面 $A_1BD$

1. $D$ 为原点：$A(2,0,0)$，$C_1(0,2,2)$，$A_1(2,0,2)$，$B(2,2,0)$

   建系

2. $\ov{DB}\times\ov{DA_1}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&2&0\\2&0&2\end{vmatrix}=(4,-4,-4)\to\vn=(1,-1,-1)$

   叉积

3. 验算：$\vn\cdot\ov{DB}=2-2=0$，$\vn\cdot\ov{DA_1}=2-2=0$

   验算

4. $\ov{AC_1}=(-2,2,2)=-2\vn$，所以 $AC_1\perp$ 平面 $A_1BD$

   方向 ∥ 法向

5. 几何法：$BD\perp AC$、$BD\perp CC_1$ ⇒ $BD\perp$ 面 $ACC_1$ ⇒ $BD\perp AC_1$；同理 $A_1B\perp AC_1$

   两条相交直线

提高λ 动线

λ 动线：$Q\in B_1D_1$，$\ov{B_1Q}=\lambda\ov{B_1D_1}$；$R\in BD_1$，$\ov{BR}=\lambda\ov{BD_1}$

线面平行 ⇔ 线上各点到面距离不变

1. $AB_1\parallel DC_1$，$B_1D_1\parallel BD$ ⇒ 面 $AB_1D_1\parallel$ 面 $BC_1D$

   几何法

2. $AQ\subset$ 面 $AB_1D_1$，所以对任意 $\lambda$，$AQ\parallel$ 面 $BC_1D$

   面面平行 ⇒ 线面平行

3. $\vn=\ov{DB}\times\ov{DC_1}=(4,-4,4)\to(1,-1,1)$，面：$x-y+z=0$

   叉积

4. $Q=(2-2\lambda,2-2\lambda,2)$，$\vn\cdot Q=2$，$d_Q=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$，与 λ 无关

   常数

5. $R=(2-2\lambda,2-2\lambda,2\lambda)$，$d_R=f(\lambda)=\dfrac{2\lambda}{\sqrt3}$：$BD_1$ 与面交于 $B$

   随 λ 变

结论

课堂小测

线线 → 线面 → 面面：几何法靠“中位线 / 平行四边形”在平面内造平行线；向量法靠“共线 / 与法向量垂直 / 法向量共线”。母模型：正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$（$a=2$，$D$ 为原点）、正四面体 $P\text{-}ABC$。

问题

问题：怎样证明“线 ∥ 面”？

空间里直线与平面“永不相交”无法直接验证——平面无限大。必须把它转化成能检验的东西：

• 几何法：在平面内找一条直线与它平行（线线 ⇒ 线面）。
• 向量法：方向向量 $\vu$ 与平面法向量 $\vn$ 垂直，$\vu\cdot\vn=0$，且直线上有一点不在平面内。

三种平行的判定链

$$\text{线}\parallel\text{线}\ \Longrightarrow\ \text{线}\parallel\text{面}\ \Longrightarrow\ \text{面}\parallel\text{面}$$

观察

正方体：$P$ 在 $BC_1$ 上，$\ov{BP}=\lambda\ov{BC_1}$

无论 $\lambda$ 取多少，$A_1P\parallel$ 平面 $ACD_1$

$d(P,\text{面}ACD_1)=f(\lambda)\equiv\dfrac{2\sqrt3}{3}$：函数图是水平线——“线面平行 ⇔ 线上各点到面距离相等”。

推理

构造平行线：中位线与平行四边形

1. $\dfrac{PE}{PA}=\dfrac{PF}{PB}=\lambda$

   同比例分点

2. 在 $\triangle PAB$ 中由平行线分线段成比例的逆定理，$EF\parallel AB$

   平面内证线线

3. $EF\not\subset$ 面 $ABC$，$AB\subset$ 面 $ABC$

   两个条件缺一不可

4. $\therefore EF\parallel$ 面 $ABC$

   线面平行判定

5. 找面内平行线的口诀：有中点找中位线，无中点构造平行四边形（把线段平移到面内，平移向量就是平行四边形的另一边）

   构造法

向量法：同比例分点

1. $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{PE}=\lambda\overrightarrow{PB}-\lambda\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{AB}$。

   同一参数使差向量成为底面方向向量的倍数。

2. 因此 $EF\parallel AB$；当 $\lambda\ne1$ 时，$E$ 不在面 $ABC$，故 $EF\parallel$ 面 $ABC$。

   线面平行还须排除直线在平面内。

正方体中的向量验证

1. 面 $ACD_1$ 的法向量可取 $$\mathbf n=\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD_1}=(4,4,4)\parallel(1,1,1).$$

   叉积求法向量。

2. 验算 $\mathbf n\cdot\overrightarrow{AC}=0$、$\mathbf n\cdot\overrightarrow{AD_1}=0$。

   法向量与平面内方向垂直。

3. $P=(1-\lambda)B+\lambda C_1=(2-2\lambda,2,2\lambda)$，$\overrightarrow{A_1P}=(-2\lambda,2,2\lambda-2)$，故 $\overrightarrow{A_1P}\cdot\mathbf n=0$。

   方向向量垂直于法向量。

4. 平面 $ACD_1$ 的方程为 $x+y+z=2$，而 $A_1$ 代入左侧得 $4\ne2$，故 $A_1$ 不在平面内，$A_1P\parallel$ 面 $ACD_1$。

   排除直线在平面内。

面面平行

面 $A_1BD\parallel$ 面 $CB_1D_1$；$P$ 在 $AC_1$ 上，$\ov{AP}=\lambda\ov{AC_1}$

1. $A_1B\parallel D_1C$（$A_1BCD_1$ 是平行四边形）⇒ $A_1B\parallel$ 面 $CB_1D_1$

   平行四边形构造

2. $BD\parallel B_1D_1$（$BB_1D_1D$ 是平行四边形）⇒ $BD\parallel$ 面 $CB_1D_1$

   同理

3. $A_1B\cap BD=B$ ⇒ 面 $A_1BD\parallel$ 面 $CB_1D_1$

   两条相交线

面面平行的向量法

1. $\mathbf n_1=\overrightarrow{A_1B}\times\overrightarrow{A_1D}=(-4,4,4)\parallel(1,-1,-1)$。

   叉积求第一个平面的法向量。

2. $\mathbf n_2=\overrightarrow{CB_1}\times\overrightarrow{CD_1}=(4,-4,-4)\parallel(1,-1,-1)$，且 $\mathbf n_2\cdot\overrightarrow{CB_1}=2-2=0$。

   求第二个平面的法向量并验算。

3. 两法向量平行；平面 $A_1BD$ 的方程为 $x-y-z=0$，平面 $CB_1D_1$ 的方程为 $x-y-z=-2$，故两平面不重合且平行。

   平面方程不同，排除重合。

4. 两面距离为 $$d=\dfrac{|0-(-2)|}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$$ 又 $\mathbf n\parallel\overrightarrow{AC_1}$，两平面与 $AC_1$ 的交点将体对角线分成三等段。

   由平面方程求交点参数。

5. 过动点 $P$ 的平行截面方程为 $x-y-z=2-6\lambda$，面积 $S=g(6\lambda)$ 先增（三角形阶段）后形成六边形；$\lambda=\tfrac12$ 时面积最大，为 $3\sqrt3$。

   平行截面族的面积变化。

结论

课堂小测