核心公式$$\sum_{i=r}^{n}i^{\underline{r}}\mathrm{C}_{n}^{i} = n^{\underline{r}}2^{n-r}$$
$0\le r\le n$。降阶阶乘 $i^{\underline{r}}=i(i-1)\cdots(i-r+1)$ 是 $i$ 的 $r$ 阶下降积；$r=0$ 时空乘积为 $1$。
图 1第 $7$ 行的绿底格与第 $5$ 行的橙底格，分别对应先组队和先安排两个不同职务后的自由选取。安排职务后总体和选取人数均降两阶；人数不足时贡献为 $0$。
以 $n=7$ 为例：
$$
\begin{aligned}0+0+42+210+420+420\\&\quad+210+42=1344
\end{aligned}
$$
权重 × 该大小的队伍数
小于所需职务数的队伍贡献为 $0$。
| 队伍人数 $i$ |
权重 |
队伍数 |
贡献 |
| $0$ |
$0(0-1)=0$ |
$\mathrm{C}_7^0=1$ |
$0$ |
| $1$ |
$1(1-1)=0$ |
$\mathrm{C}_7^1=7$ |
$0$ |
| $2$ |
$2(2-1)=2$ |
$\mathrm{C}_7^2=21$ |
$42$ |
| $3$ |
$3(3-1)=6$ |
$\mathrm{C}_7^3=35$ |
$210$ |
| $4$ |
$4(4-1)=12$ |
$\mathrm{C}_7^4=35$ |
$420$ |
| $5$ |
$5(5-1)=20$ |
$\mathrm{C}_7^5=21$ |
$420$ |
| $6$ |
$6(6-1)=30$ |
$\mathrm{C}_7^6=7$ |
$210$ |
| $7$ |
$7(7-1)=42$ |
$\mathrm{C}_7^7=1$ |
$42$ |
$$0^{\underline{2}} \times \mathrm{C}_{7}^{0} = 0$$
以 $i=0$ 为例，队伍无人，无法安排两个不同职务，因此贡献为 $0$。
$i\ge2$ 时，上表每项也可写成 $42\mathrm{C}_5^{i-2}$。
观察规律：高阶权重也能统一处理
取 $r=2$，权重为 $i(i-1)$。把这些权重乘入第 $7$ 行并求和，得到 $1344$。
计数解释：先选带 $r$ 个不同职务的队伍
队伍大小为 $i$ 时，先选成员，再给 $r$ 个不同职务安排不同的人，有 $i^{\underline{r}}\mathrm{C}_n^i$ 种。
也可以先从 $n$ 人中有序确定 $r$ 位任职者，共 $n^{\underline{r}}$ 种，再让其余 $n-r$ 人自由加入或不加入。
推导证明：反复吸收，一次降 $r$ 阶
$$i^{\underline{r}}\mathrm{C}_{n}^{i}=n^{\underline{r}}\mathrm{C}_{n-r}^{i-r}$$
$$\sum_{i=r}^{n}i^{\underline{r}}\mathrm{C}_{n}^{i}=n^{\underline{r}}2^{n-r}$$
$r=0$ 是行和，$r=1$ 是一次带权和，$r=2$ 是 $i(i-1)$ 带权和。
应用辨析：与普通幂权重的桥梁
$$i^2=i(i-1)+i$$
$$i^3=i(i-1)(i-2)+3i(i-1)+i$$
将普通幂写成降阶阶乘的线性组合，就能处理更高次的带权求和。
注意降阶阶乘 $i^{\underline{r}}$ 不是普通幂 $i^r$；$r$ 个不同职务不允许兼任。
课堂小测
课堂小测
$\sum_{i=0}^6 i(i-1)\mathrm{C}_6^i$ 等于多少？
查看答案与解析
答案A
解析$6\times5\times2^4=480$。
辨析- B：指定两名任职者后，只剩 4 人自由选择
- C：192 是一次带权和
- D：权重 $i(i-1)$ 对应两名不同任职者，不是选满整个队伍。
相关专题：一次带权求和、平方权重求和、双重选取恒等式。
