第 027 题 / 82

【第一期 · 原第27题】
已知函数 $f(x) = \ln(1 + x) - x + \dfrac{1}{2}x^2 - kx^3$，其中 $0 < k < \dfrac{1}{3}$.

(1)证明: $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)设 $x_1, x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 的极值点和零点.

(i) 设函数 $g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)$. 证明: $g(t)$ 在区间 $(0, x_1)$ 单调递减;

(ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小,并证明你的结论.