第 026 题 / 82

【第一期 · 原第26题】
设函数 $f(x) = \sin x$ .

(1) 当 $x > 0$ 时,证明: $f(x) < x$ ;

(2)已知函数 $g(x) = kf(x) - \mathrm{e}^{x} - \ln(x + 1) + 1$ 在区间 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内存在极值点 $\alpha$ .
① 求 $k$ 的取值范围；

②是否存在 $\beta \in (0,\pi)$ ,使 $g(\beta) = 0$ ? 若存在,比较 $\beta$ 与 $2\alpha$ 的大小; 若不存在,请说明理由.