第 082 题 / 82

【第三期 · 原第28题】
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的左右焦点为 $F_1,F_2$，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，$P$ 为椭圆上一点，$|PF_1| \cdot |PF_2|$ 的最大值为 2.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线 $l : x = my - 2$ 与椭圆交于不同的两点 $A, B$，点 $C$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，证明:直线 $BC$ 过定点；

(3)若曲线 $y = t\mathrm{e}^x\left(t > 0\right)$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点，直线 $MN$ 的斜率为 $k$，证明: $0 < k < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(参考公式: $\forall x_1,x_2 \in \mathbf{R}\left(x_1 \neq x_2\right)$，都有 $\mathrm{e}^{\frac{x_1 + x_2}{2}} < \frac{\mathrm{e}^{x_1} - \mathrm{e}^{x_2}}{x_1 - x_2} < \frac{\mathrm{e}^{x_1} + \mathrm{e}^{x_2}}{2}$ 成立)