第 081 题 / 82

【第三期 · 原第27题】
已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x}$ ,圆 $\Gamma : x^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2}(r > 0)$ ,设 $\Gamma$ 与 $f(x)$ 的图像交于 $A, B$ 两点.

(1) 求 $f(x)$ 在 $(1,\mathrm{e})$ 处的切线方程;

(2)试判断线段 $AB$ 的中点在第几象限,并证明:

(3)证明: 随着 $r$ 的变化,直线 $AB$ 的斜率始终小于 1 .