第 001 题 / 16

已知函数 $f\left( x\right) = x{\mathrm{e}}^{ax} - {\mathrm{e}}^{x}$ .
（1）当 $a = 1$ 时，讨论 $f\left( x\right)$ 的单调性；
（2）当 $x > 0$ 时， $f\left( x\right) < - 1$ ，求 $a$ 的取值范围；
(3) 设 $n \in {\mathbf{N}}^{ * }$ ,证明: $\frac{1}{\sqrt{{1}^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{{2}^{2} + 2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{{n}^{2} + n}} > \ln \left( {n + 1}\right)$ .