第 016 题 / 16

已知函数 $f\left( x\right) = \left( {{\mathrm{e}}^{x} - a}\right) \sin x + b\cos x,a,b \in \mathbf{R}$ .
(1)若 $a = b$ ,讨论 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0,\frac{3\pi }{4}}\right)$ 上的单调性.
（2）设 ${x}_{n}$ 为方程 $f\left( x\right) = 0$ 的实数根，其中 ${x}_{n} \in \left( {{n\pi },{n\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) ,n \in \mathbf{N}$ .
(i) 证明: $\forall n \geq 2,n \in \mathbf{N}$ ,有 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 2}}^{n}\sin \frac{1}{{x}_{i}^{2}} < \frac{3}{4{\pi }^{2}}$ ;
(ii) 若 $a = 0,b = - 1$ ,证明: ${x}_{n} - {n\pi } > \frac{\cos {x}_{0}}{{\mathrm{e}}^{{x}_{n}}}$ .