第 015 题 / 16

设函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\cos x,g\left( x\right)$ 为 $f\left( x\right)$ 的导函数.
(I) 求 $f\left( x\right)$ 的单调区间;
(II) 当 $x \in \left\lbrack {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 时,证明 $f\left( x\right) + g\left( x\right) \left( {\frac{\pi }{2} - x}\right) \geq 0$ ;
(III) 设 ${x}_{n}$ 为函数 $u\left( x\right) = f\left( x\right) - 1$ 在区间 $\left( {{2n\pi } + \frac{\pi }{4},{2n\pi } + \frac{\pi }{2}}\right)$ 内的零点,其中 $n \in N$ ,证明 ${2n\pi } + \frac{\pi }{2} - {x}_{n} < \frac{{e}^{-{2n\pi }}}{\sin {x}_{0} - \cos {x}_{0}}$ .