第 030 题 / 100

某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 ${20}\mathrm{{dm}} \times {12}\mathrm{{dm}}$ 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 ${10}\mathrm{{dm}} \times {12}\mathrm{{dm}}$ ， ${20}\mathrm{{dm}} \times 6\mathrm{{dm}}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 ${S}_{1} = {240}{\mathrm{{dm}}}^{2}$ ，对折 2 次共可以得到 $5\mathrm{dm} \times {12}\mathrm{dm}$ ， ${10}\mathrm{dm} \times 6\mathrm{dm}$ ， ${20}\mathrm{dm} \times 3\mathrm{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 ${S}_{2} = {180}{\mathrm{dm}}^{2}$ ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为___；如果对折 $n$ 次，那么 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{S}_{k} =$ ___ $\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{2}$ .