已知 {an}\left\{ {a}_{n}\right\}{an} 是等差数列， a2+a5=16,a5−a3=4{a}_{2} + {a}_{5} = {16},{a}_{5} - {a}_{3} = 4a2+a5=16,a5−a3=4 .（1）求 {an}\left\{ {a}_{n}\right\}{an} 的通项公式和 ∑i=2n−12n−1ai(n∈N∗)\mathop{\sum }\limits_{{i = {2}^{n - 1}}}^{{{2}^{n} - 1}}{a}_{i}\left( {n \in {\mathrm{N}}^{ * }}\right)i=2n−1∑2n−1ai(n∈N∗) .（2）设 {bn}\left\{ {b}_{n}\right\}{bn} 是等比数列，且对任意的 k∈N∗k \in {\mathrm{N}}^{ * }k∈N∗ ，当 2k−1≤n≤2k−1{2}^{k - 1} \leq n \leq {2}^{k} - 12k−1≤n≤2k−1 时，则 bk<an<bk+1{b}_{k} < {a}_{n} < {b}_{k + 1}bk<an<bk+1 ，(i) 当 k≥2k \geq 2k≥2 时,求证: 2k−1<bk<2k+1{2}^{k} - 1 < {b}_{k} < {2}^{k} + 12k−1<bk<2k+1 ;(ii) 求 {bn}\left\{ {b}_{n}\right\}{bn} 的通项公式及前 nnn 项和.