第 083 题 / 100

设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 是等差数列, $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 是等比数列,且 ${a}_{1} = {b}_{1} = {a}_{2} - {b}_{2} = {a}_{3} - {b}_{3} = 1$ .
（1）求 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 与 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 ${S}_{n}$ ，求证： $\left( {{S}_{n + 1} + {a}_{n + 1}}\right) {b}_{n} = {S}_{n + 1}{b}_{n + 1} - {S}_{n}{b}_{n}$ ；
（3）求 $\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{2n}}\left\lbrack {{a}_{k + 1} - {\left( -1\right) }^{k}{a}_{k}}\right\rbrack {b}_{k}$ .