第 089 题 / 100

已知数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S}_{n},{S}_{n} = {a}_{n} - 4{a}_{n + 1},{a}_{1} = - 1$ .
(1) 证明：数列 $\left\{ {2{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right\}$ 为等比数列；
(2) 设 ${b}_{n} = \frac{{a}_{n + 4}}{n\left( {n + 1}\right) }$ ，求数列 $\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和；
(3) 是否存在正整数 $p,q\left( {p < 6 < q}\right)$ ,使得 ${S}_{p},{S}_{6},{S_q}$ 成等差数列? 若存在,求 $p,q$ ; 若不存在,说明理由.