第 100 题 / 100

混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中, 比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一,假设在一个混沌系统中,用 ${x}_{n}$ 来表示系统在第 $n\left( {n \in {\mathbf{N}}^{ * }}\right)$ 个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态 ${x}_{n + 1}$ 满足 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) ,\;0 < {x}_{1} < 1$ ,其中 $f\left( x\right) = - a{x}^{2} + {ax}.$
(1)当 $a = 3$ 时,若满足对 $\forall n \in {\mathbf{N}}^{ * }$ ,有 ${x}_{n} = f\left( {x}_{n + 1}\right)$ ,求 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2)证明: 当 $a = 1$ 时, $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 中不存在连续的三项构成等比数列;
(3)若 ${x}_{1} = \frac{1}{2},a = 1$ ,记 ${S}_{n} = {x}_{n}^{2}{x}_{n + 1}^{2}$ ,证明: ${S}_{1} + {S}_{2} + \cdots + {S}_{n} < \frac{1}{8}$ .