第 099 题 / 100

已知正项数列 $\left\{ {a}_{n}\right\} ,\left\{ {b}_{n}\right\}$ ,满足 ${a}_{n + 1} = \frac{{b}_{n} + c}{2},{b}_{n + 1} = \frac{{a}_{n} + c}{2}$ (其中 $c > 0)$ .
(1) 若 ${a}_{1} \neq {b}_{1}$ ，且 ${a}_{1} + {b}_{1} \neq {2c}$ ，证明：数列 $\left\{ {{a}_{n} - {b}_{n}}\right\}$ 和 $\left\{ {{a}_{n} + {b}_{n} - {2c}}\right\}$ 均为等比数列；
(2) 若 ${a}_{1} > {b}_{1},{a}_{1} + {b}_{1} = {2c}$ ，以 ${a}_{n},{b}_{n},c$ 为三角形三边长构造序列 $\bigtriangleup {A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}$ （其中 ${A}_{n}{B}_{n} = c,{B}_{n}{C}_{n} = {a}_{n},{A}_{n}{C}_{n} = {b}_{n}$ ），记 $\bigtriangleup {A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}$ 外接圆的面积为 ${S}_{n}$ ,证明: ${S}_{n} > \frac{\pi }{3}{c}^{2}$ ;
(3) 在(2)的条件下证明：数列 $\left\{ {S}_{n}\right\}$ 是递减数列.