第 047 题 / 88

（福建省福州市九县（市、区）一中2023-2024 学年高二下学期 7 月期末联考数学试题）已知函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{\sin x} + {\mathrm{e}}^{\cos x}$ ， 则（ ）
A. $f\left( x\right)$ 的图象关于 $x = \frac{5\pi }{4}$ 对称
B. $f\left( x\right) \cdot f\left( {x + \pi }\right) \geq 4$
C. $f\left( x\right) + f\left( {-x}\right) > 3$
D. $f\left( x\right)$ 在区间 $\left\lbrack {\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ 上的极小值为 $2{\mathrm{e}}^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

图解：$f(x)=e^{\sin x}+e^{\cos x}$ 的周期为 $2\pi$；$x=\frac{\pi}{4}$ 处取最大值 $2e^{\frac{\sqrt2}{2}}$，$x=\frac{5\pi}{4}$ 处取最小值 $2e^{-\frac{\sqrt2}{2}}$，两条竖直虚线都是图象的对称轴。