第 048 题 / 88

（湖南省邵阳市邵东创新实验学校 2024 届高三上学期第二次月考数学试题）新型冠状病毒属于 $\beta$ 属的冠状病毒,有包膜,颗粒常为多形性,其中包含着结构为数学模型的 $y = B\cos {\omega \beta },y = {k\beta } + b$ ,人体肺部结构中包含 $y = A\sin {\omega \beta }$ , $y = \ln \beta$ 的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的，表现为 $f\left( \beta \right)$ . 则下列结论正确的是（ ）
A. 若 $\frac{1}{2} + \sqrt{f\left( \beta \right) - {f}^{2}\left( \beta \right) } = f\left( {\beta + a}\right) \left( {a > 0}\right)$ ,则 $f\left( \beta \right)$ 为周期函数
B. 对于 $\forall \beta \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack ,\frac{\sin \beta }{\beta }$ 的最小值为 2
C. 若 $f\left( \beta \right) = a\sin \left( {1 - \beta }\right) + \ln \beta$ 在区间 $\left( {0,1}\right)$ 上是增函数,则 $a \leq 0$
D. 若 $f\left( \beta \right) = \sin \left( {{\pi \beta } + \varphi }\right) - 2\cos \left( {{\pi \beta } + \varphi }\right) ,0 < \varphi < \pi$ ,满足 $f\left( {\beta + 1}\right) = f\left( {1 - \beta }\right)$ ,则 $\sin {2\varphi } = - \frac{4}{5}$