第 080 题 / 80

若 $\bigtriangleup {ABC}$ 内一点 $P$ 满足 $\angle {PAB} = \angle {PBC} = \angle {PCA} = \theta$ ,则称点 $P$ 为 $\bigtriangleup {ABC}$ 的布洛卡点, $\theta$ 为 $\bigtriangleup {ABC}$ 的布洛卡角. 如图,已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 中, ${BC} = a,{AC} = b,{AB} = c$ ,点 $P$ 为 $\bigtriangleup {ABC}$ 的布洛卡点, $\theta$ 为 $\bigtriangleup {ABC}$ 的布洛卡角.

(1) 若 $b = c$ ，且满足 $\frac{PB}{PA} = \sqrt{3}$ ，求 $\angle {ABC}$ 的大小.
(2) 若 $\bigtriangleup {ABC}$ 为锐角三角形.
(i) 证明: $\frac{1}{\tan \theta } = \frac{1}{\tan \angle {BAC}} + \frac{1}{\tan \angle {ABC}} + \frac{1}{\tan \angle {ACB}}$ .
(ii) 若 ${PB}$ 平分 $\angle {ABC}$ ,证明: ${b}^{2} = {ac}$ .