第 090 题 / 90

在平面四边形 ${ABCD}$ 中, ${AB} = {AC} = {CD} = 1,\angle {ADC} = {30}^{ \circ },\angle {DAB} = {120}^{ \circ }$ ，将 $\bigtriangleup {ACD}$ 沿 ${AC}$ 翻折至 $\bigtriangleup {ACP}$ ,其中 $P$ 为动点.
(1)设 ${PC} \bot {AB}$ ,三棱锥 $P - {ABC}$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上.
(i) 证明: 平面 ${PAC} \bot$ 平面 ${ABC}$ ;
(ii) 求球 $O$ 的半径
(2)求二面角 $A - {CP} - B$ 的余弦值的最小值.