第 034 题 / 40

某校开展科普知识团队接力闯关活动, 该活动共有两关,每个团队由 $n\left( {n \geq 3,n \in {\mathrm{N}}^{ * }}\right)$ 位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下: 若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功， 则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束. 已知 $\mathrm{A}$ 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ ,且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.

（1）若 $n = 3$ ，用 $X$ 表示A团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 $X$ 的均值；
（2）记A团队第 $k\left( {1 \leq k \leq n - 1,k \in {\mathrm{N}}^{ * }}\right)$ 位成员上场且闯过第二关的概率为 ${p}_{k}$ ，集合 $\left\{ {k \in {\mathrm{N}}^{ * }\left| {\;{p}_{k} < \frac{3}{128}}\right. }\right\}$ 中元素的最小值为 ${k}_{0}$ ， 规定团队人数 $n = {k}_{0} + 1$ ，求 $n$ .