第 036 题 / 40

有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗, 期间只能摘一次, 并且只可以向前走, 不能回头.结果, 他的学生两手空空走出麦田, 因为他不知前面是否有更好的,所以没有摘,走到前面时,又发觉总不及之前见到的,最后什么也没摘到. 假设该学生在麦田中一共会遇到 $n$ 颗麦穗（假设 $n$ 颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗,现有如下策略: 不摘前 $k\left( {1 \leq k < n}\right)$ 颗麦穗,自第 $k + 1$ 颗开始,只要发现比他前面见过的麦穗都大的, 就摘这颗麦穗,否则就摘最后一颗.设 $k = {tn}$ ,该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为 $P$ . (取 $\frac{k}{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = k}}^{{n - 1}}\frac{1}{j} = \frac{k}{n}\ln \frac{n}{k}$ )
(1)若 $n = 4,k = 2$ ,求 $P$ ;
（2）若 $n$ 取无穷大，从理论的角度，求 $P$ 的最大值及 $P$ 取最大值时 $t$ 的值.