第 037 题 / 40

现有一种不断分裂的细胞 $X$ ,每个时间周期 $T$ 内分裂一次,一个 $X$ 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 $X$ 细胞,每次分裂后原 $X$ 细胞消失,设每次分裂成一个新 $X$ 细胞的概率为 $p$ ,分裂成两个新 $X$ 细胞的概率为 $1 - p$ ; 新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂,每个细胞间相互独立.设有一个初始的 $X$ 细胞,在第一个周期 $T$ 中开始分裂,其中 $p \in \left( {\frac{1}{2},1}\right)$ .
（1）设 ${2T}$ 结束后， $X$ 细胞的数量为 $\xi$ ，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；
（2）设 ${nT}\left( {n \in {\mathrm{N}}^{ * }}\right)$ 结束后， $X$ 细胞数量为 $m$ 的概率为 ${P}_{m}\left( n\right)$ .
(i) 求 ${P}_{2}\left( n\right)$ ;
(ii) 证明: ${P}_{3}\left( n\right) < \frac{8}{{27}{p}^{2}}$ .