第 072 题 / 73

如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 (称为“Dandelin 双球”). 在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、 截面相切,截面分别与球 ${O}_{1}$ ,球 ${O}_{2}$ 切于点 $E,F$ ( $E,F$ 是截口椭圆 $C$ 的焦点). 设图中球 ${O}_{1}$ ,球 ${O}_{2}$ 的半径分别为 4 和 1，球心距 $\left| {{O}_{1}{O}_{2}}\right| = \sqrt{34}$ ，则（）

A. 椭圆 $C$ 的中心不在直线 ${O}_{1}{O}_{2}$ 上
B. $\left| {EF}\right| = 4$
C. 直线 ${O}_{1}{O}_{2}$ 与椭圆 $C$ 所在平面所成的角的正弦值为 $\frac{5\sqrt{34}}{34}$
D. 椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{3}{5}$