第 004 题 / 121

【第一期 · 原第4题】
已知双曲线 $C : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\left( a > 0, b > 0\right)$ 的焦点到其渐近线的距离为 $\sqrt{2}$，点 $\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上运动，且 $|AB| = 2\sqrt{2}$，线段 $AB$ 的中点为 $M$.

(i) 设 $E\left(0,\sqrt{3}\right), F\left(0, -\sqrt{3}\right)$，求 $|ME| \cdot |MF|$ 的最大值;

(ii) 设 $P(-t,0), Q(t,0)\left(t > 1\right)$，点 $M$ 不在 $x$ 轴上，若 $\angle MQP = 2\angle MPQ$，求 $\frac{|MP|}{|MQ|}$ 的取值范围.