第 003 题 / 121

【第一期 · 原第3题】
已知椭圆 $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ,下顶点为 $A$ ,右顶点为 $B,|AB| = \sqrt{10}$ .

(1)求 $C$ 的方程；

(2)已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$ .

(i) 设 $P(m, n)$ ,求 $R$ 的坐标 (用 $m, n$ 表示);

(ii) 设 $O$ 为坐标原点, $Q$ 是 $C$ 上的动点,直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的 3 倍,求 $|PQ|$ 的最大值.