第 006 题 / 121

【第一期 · 原第6题】
已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\left( a > b > 0\right)$ 的左焦点为 $F\left( -1,0\right)$，离心率为 $\frac{1}{2}$。

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 0 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$。

(i) 若 $\bigtriangleup PQR$ 的面积是 $\bigtriangleup PFO$ 的面积的 3 倍，求 $l$ 的方程；

(ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值。