第 007 题 / 121

【第一期 · 原第7题】
已知椭圆 $\Gamma : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过椭圆 $\Gamma$ 的焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $\Gamma$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$。
(1) 求椭圆 $\Gamma$ 的方程；
(2) 设点 $A, B$ 均在椭圆 $\Gamma$ 上，点 $C$ 在抛物线 $y^2 = \frac{1}{2}x$ 上，若 $\triangle ABC$ 的重心为坐标原点 $O$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{6}}{4}$，求点 $C$ 的坐标。