第 003 题 / 82

【第一期 · 原第3题】
已知函数 $f(x) = \left( \dfrac{1}{x} + a\right) \ln (1 + x)$ .

(1) 当 $a = -1$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；

(2) 是否存在 $a, b$，使得曲线 $y = f\left( \dfrac{1}{x}\right)$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明理由.

(3) 若 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围.