第 005 题 / 82

【第一期 · 原第5题】
已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2(a + 1)\mathrm{e}^{x} + 2ax$，且 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增.

(1) 求 $a$;

(2) 若 $g(x) = f(x) - (x - 3)\mathrm{e}^{x} - 2x$，证明:

(i) $g(x)$ 存在两个极值点 $x_1, x_2(x_1 < x_2)$;

(ii) $\dfrac{7}{64} < g(x_1) < \dfrac{3}{16}$.

参考数据: $\mathrm{e}^{-\frac{7}{4}} \approx 0.174, \mathrm{e}^{\frac{3}{2}} \approx 4.48$