第 006 题 / 82

【第一期 · 原第6题】
已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{-ax}\sin x$ ，其中 $a > 0$ ，定义域为 $[0,\pi]$ .

(1) 当 $a = 1$ 时，求 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 内的极值点；

(2) 讨论函数 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的单调性，并指出极值点个数；

(3) 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 内的极大值点，证明：$\dfrac{1}{\mathrm{e}\sqrt{1 + a^2}} < f(x_0) < \dfrac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$ .