第 009 题 / 82

【第一期 · 原第9题】
已知函数 $f(x) = a\mathrm{e}^{1 - x} + \cos x, x \in (0, 2\pi), a$ 为常数, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(\pi, f(\pi))$ 处的切线的斜率为 $-\mathrm{e}^{1 - \pi}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式.

(2) 证明: 当 $x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right)$ 时, 导函数 $f'(x)$ 恰有一个极大值.

(3) 证明: 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, 2\pi\right)$ 上恰有两个零点 $\alpha, \beta$.