第 015 题 / 82

【第一期 · 原第15题】
若函数 $f(x), g(x)$ 的图象与直线 $x = m$ 分别交于 $A, B$ 两点，与直线 $x = n$ 分别交于 $C, D$ 两点 $(m < n)$，且直线 $AC, BD$ 的斜率互为相反数，则称 $f(x), g(x)$ 为“$(m, n)$相关函数”.

(1) 若 $f(x), g(x)$ 均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数 $m, n$，使得 $f(x), g(x)$ 为“$(m, n)$相关函数”；

(2) 若 $f(x) = \mathrm{e}^{ax}, g(x) = ax^2$，若存在实数 $mn > 0$，使得 $f(x), g(x)$ 为“$(m, n)$相关函数”，且 $|AB| = |CD|$，求实数 $a$ 的取值范围.