第 018 题 / 82

【第一期 · 原第18题】
已知 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - \frac{1}{2}ax^{2} - x - 1$ .

(1) 当 $a = 0$ 时，证明：对于任意 $x \in \mathbf{R}$，均有 $f(x) \geq 0$；

(2)
①若 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，证明：$a = 1$；

②证明：当 $a > 1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一的极值点 $x_{1}$ 和唯一的零点 $x_{2}$，且 $x_{2} \in (x_{1}, 2x_{1})$ .