第 019 题 / 82

【第一期 · 原第19题】
已知函数 $f(x) = \sqrt{x} - \ln x$.

(1) 求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程;

(2) 若 $f(x)$ 在 $x = x_1, x_2(x_1 \neq x_2)$ 处导数相等, 证明: $f(x_1) + f(x_2) > 8 - 8\ln 2$;

(3) 若 $a \leq 3 - 4\ln 2$, 证明: 对于任意 $k > 0$, 直线 $y = kx + a$ 与曲线 $y = f(x)$ 有唯一公共点.