第 022 题 / 82

【第一期 · 原第22题】
已知函数 $f(x) = a^x, g(x) = \log_a x$，其中 $a > 1$。

(I) 求函数 $h(x) = f(x) - x\ln a$ 的单调区间；

(II) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_1, f(x_1))$ 处的切线与曲线 $y = g(x)$ 在点 $(x_2, g(x_2))$ 处的切线平行，证明：$x_1 + g(x_2) = -\frac{2\ln\ln a}{\ln a}$；

(III) 证明：当 $a \geq \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ 时，存在直线 $l$，使 $l$ 是曲线 $y = f(x)$ 的切线，也是曲线 $y = g(x)$ 的切线。