第 024 题 / 82

【第一期 · 原第24题】
已知 $1 < a \leq 2$，函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - x - a$，其中 $\mathrm{e} = 2.71828\ldots$ 为自然对数的底数.

(1) 证明：函数 $y = f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一零点；

(2) 记 $x_{0}$ 为函数 $y = f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上的零点，证明：

(i) $\sqrt{a - 1} \leq x_{0} \leq \sqrt{2(a - 1)}$；

(ii) $x_{0}f(\mathrm{e}^{x_{0}}) \geq (\mathrm{e} - 1)(a - 1)a$。