第 025 题 / 82

【第一期 · 原第25题】
已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{2ax} - (x + 1)\mathrm{e}^{ax}$ .

(1) 当 $a = 1$ 时,求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程;

(2)讨论函数 $f(x)$ 的零点个数;

(3)当 $a = 1$ 时,函数 $y = f(x) + b$ 与 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 存在不为零的相等零点,求证: $b \in \left(-\frac{1}{4},0\right)$ .