第 034 题 / 82

【第二期 · 原第7题】
已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - \frac{a}{3}x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2ax$.

(1) 当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；

(2) 若 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3) 若 $f(x)$ 的最小值为 $1$，求 $a$.