第 036 题 / 82

【第二期 · 原第9题】
已知函数 $f(x) = -2(x + a)\ln x + x^2 - 2ax - 2a^2 + a$，其中 $a > 0$。

(1) 设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论 $g(x)$ 的单调性；

(2) 证明：存在 $a \in (0,1)$，使得 $f(x) \geq 0$ 在区间 $(1, +\infty)$ 内恒成立，且 $f(x) = 0$ 在 $(1, +\infty)$ 内有唯一解。