第 040 题 / 82

【第二期 · 原第13题】
已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x - a} - \sqrt{2}\cos x$（$a > 0$）.

(1) 证明：$f(x)$ 在 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 有唯一零点 $x_0$，且 $f'(x_0) \le 2$；

(2) 当 $x \ge -\pi$ 时，$f(x) \ge 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$，求 $a$ 的取值范围.