第 041 题 / 82

【第二期 · 原第14题】
已知函数 $f(x) = ax\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{m}x^{2} + b$ ($m \in \mathbf{R}$)，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y = 2x + 1$。

(1) 求实数 $a, b$；

(2) 当 $m = \ln 2$ 时，证明 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有唯一零点；

(3) 对 $\forall x \in [-1, +\infty)$，$f(x) + \mathrm{e}^{2x} \le \mathrm{e}^{2x - m}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。