第 049 题 / 82

【第二期 · 原第22题】
已知函数 $f(x) = \sin^n x + \cos^n x$ ($n \in \mathbf{N}_+$).

(1) 当 $n = 4$ 时，判断 $f(x)$ 的奇偶性；

(2) 当 $n$ 为偶数时，方程 $f(x) = \frac{1}{2025}$ 有解，求 $n$ 的最小值；

(3) 若存在 $n$，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) + a(\sin x + \cos x) - a \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.