第 050 题 / 82

【第二期 · 原第23题】
已知函数 $f(x) = a\ln x - 2x + 2a\ (a \in \mathbf{R})$.

(1) 若 $f(x)$ 恰有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2) 当 $a > \dfrac{2}{\mathrm{e}^2}$ 时，证明：$a^2\mathrm{e}^x > xf(x) + 2x^2 - 2ax$.