第 053 题 / 82

【第二期 · 原第26题】
已知函数 $f(x) = a^2x^2 - 3ax\ln x, a > 0$.

(1) 当 $a = 1$ 时,求曲线 $y = f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程;

(2)讨论 $f(x)$ 的零点个数；

(3)当 $a > \frac{3}{2}$ 时,证明: $f(x) > 2\sin x$.