第 054 题 / 82

【第二期 · 原第27题】
已知函数 $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x - a}}{x} - \ln x + \ln (a + 1)$ ($a > 0$) ($\mathrm{e}$ 是自然对数的底数).

(1) 当 $a = 1$ 时，试判断 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上极值点的个数；

(2) 当 $a > \dfrac{1}{\mathrm{e} - 1}$ 时，求证：对任意 $x > 1$，$f(x) > \dfrac{1}{a}$。