第 059 题 / 82

【第三期 · 原第5题】
已知函数 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + a(\ln x - x)$。
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；
(2) 讨论关于 $x$ 的方程 $f(x) = f(a)$ 的零点个数；
(3) 设函数 $g(x) = (3 - a)x - f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2(x_1 < x_2)$，证明：$g(x_1) + g(x_2) < 10 - \ln a$。